Полное напряжение в точке некоторой площадки в массиве

 

С целью оперирования напряжениями при математических выкладках определим системы их обозначений: графическую и аналитическую (в виде тензора). При этом нормальные напряжения будем обозначать греческой буквой s, а касательные - t. Эти напряжения представим на гранях бесконечно малого кубика вблизи некоторой точки 0 в массиве (рис. 1.1.) со следующими индексами, ориентирующими напряжения относительно осей координат:

 

 

Рис. 1.1. Составляющие напряжений на гранях бесконечно малого параллелепипеда вблизи некоторой точки тела при естественном напряженном состоянии

 

s_x, s_y, s_z - нормальные напряжения, параллельные осям x, y, z, на трех взаимно перпендикулярных площадках (гранях элементарного кубика), проведенных через данную точку, для которых внешние нормали соответственно параллельны осям x, y, z;

t_xy и t_xz - касательные напряжения, параллельные оси x, на площадках с нормалями, соответственно параллельными осями y и z;

t_xy и t_xz - касательные напряжения, параллельные оси y, на площадках с нормалями, соответственно параллельными осями x и z;

и - касательные напряжения, параллельные оси z на площадках с нормалями, соответственно параллельными осям x и y.

Составляющие напряжений на гранях бесконечно малого кубика (см. рис. 1.1.) образуют тензор напряжений:

(1.1)

т.е. совокупность компонентов напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках тела, находящегося в однородном напряженном состоянии.

В первой строке тензора (1.1) расположены все компоненты напряжений, имеющие направление, оси x, во второй и третьей строках – компоненты напряжений, параллельных осям y и x. В первом столбце сгруппированы напряжения, действующие на площадке, нормаль которой параллельна оси x, во втором столбце – все напряжения на площадке с нормалью, параллельной оси y, и в третьем столбце – на площадке с нормалью, параллельной оси z.

В связи с этим первый индекс у напряжений, расположенных в одной строке, является общим: для первой строки это x, для второй – y, для третьей – z (поэтому строки матрицы можно считать за направления). Вторые индексы у напряжений (для нормального напряжения тот же единственный индекс) являются общими по вертикали (адреса). Так, у первого столбца второй индекс x, у второго – y, у третьего – z.

Нормальное напряжение, вызывающие растяжение, считается положительным. За положительное касательное напряжение принимают положительное направление осей координат, если растягивающее нормальное напряжение на рассматриваемой площадке направлено в сторону, противоположную положительному направлению оси, то положительным касательным напряжением на этой площадке будет напряжение, направленное в сторону отрицательного направления оси.

На основании закона парности t_xy = t_yx, t_yz = t_zy, t_zx = t_xz, поэтому в тензоре напряжений, согласно выражению (1.1), всего шесть компонентов.

Для однозначности определения полного напряжения, как и других понятий теории упругости и пластичности, примем следующие основные термины: волокно – совокупность точек, расположенных вдоль некоторой линии; линейный элемент тела – дифференциально малый отрезок какого-либо волокна; слой тела – совокупность точек, располагающихся на некоторой поверхности; элементарная площадка тела – бесконечно малый элемент какого-либо слоя.

Интенсивность, или напряжение внешних (поверхностных) и внутренних сил, представляет собой величину усилия, приходящегося на единицу поверхности, по которой действуют силы.

Рассмотрим например обозначения интенсивности (напряжения). Пусть имеется некоторое тело, находящееся в равновесии под действием внешних сил, опорных реакций, объемных сил (сил тяжести, инерции и т.д.). Тело определенным образом ориентировано относительно декартовой системы координат (рис. 1.2). Рассматриваемая точка находится на какой-либо элементарной площадке (например, на поверхности тела), внешняя нормаль к которой у этой точки v не параллельна ни одной из координатных осей x, y, z.

Рис.1.2. Полное напряжение в точке тела на площадке с нормалью n

 

 

Направление интенсивности усилия или полного напряжения в этой точке, совпадает с усилием на этой площадке. Очевидно, что

где DN_n - усилие, приходящееся на рассматриваемую элементарную площадку DF.

Кроме того, можно записать

 

(1.2)

где , и - проекции на координатные оси (рис. 1.2).

Между интенсивностью внешней нагрузки, действующей на какую-либо площадку тела, и компонентами напряжений внутри тела в окрестности точки приложений силы существует определенная зависимость. Для отыскания этой зависимости необходимо выделить бесконечно малый элемент тела вблизи рассматриваемой точки и составить для него уравнения равновесия.

Чтобы определить форму такого элемента мысленно рассечем тело рядом параллельных координатным осям плоскостей. Тогда тело будет представлять собой совокупность ряда элементарных параллелепипедов внутри тела и элементарных тетраэдров на поверхности (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Мысленное разбиение тела на элементарные объемы: 1- параллелепипеды внутри; 2- тетраэдры на поверхности тела

 

Для оценки равновесия всего тела следует рассмотреть равновесие отдельно элементарных тетраэдров и элементарных параллелепипедов вблизи каких-либо выбранных точек, а затем сложить, т.е. проинтегрировать дифференциальные уравнения равновесия элементарных объемов.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: