![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Методы решения плоской задачи для прямоугольных односвязных областей
Отыскание бигармонической функции, удовлетворяющей условиям на контуре прямоугольной области, возможно различными методами. Ограничимся рассмотрением лишь некоторых из них: решением плоской задачи в полиномах (целых функциях) и в тригонометрических рядах. 1. Решение в полиномах. Решение плоской задачи осуществимо полуобратным методом, если сначала задаться аналитической формой функции напряжений, удовлетворяющей бигармоническому уравнению (6.11), а затем определить, каким нагрузкам на контуре она соответствует. В качестве бигармонической функции можно принимать алгебраические полиномы разных степеней. Полином первой степени Рассмотрим функцию напряжений в виде полинома второй степени
Четвертые производные этой функции: и, следовательно, уравнение (6.11) обращается в тождество при любых значениях коэффициентов а2, b2, с2. Таким образом, полином второй степени является бигармонической функцией и может быть применен к решению плоской задачи, Если функцию напряжений принять в виде полинома третьей степени
то уравнение (6.11) по-прежнему будет обращаться в тождество при произвольных значениях коэффициентов а3, b3, с3 и d3, т. е. полином третьей степени является бигармонической функцией и также может быть применен для решения плоской задачи, Зададим функцию j(х, у) в виде полинома четвертой степени:
Четвертые производные этой функции подставляя их в бигармоническое уравнение (6.11), получаем откуда
Таким образом, не все коэффициенты полинома четвертой степени произвольны. Независимыми могут быть только четыре коэффициента, например а4, b4, с4 и d4 пятый следует взять из соотношения (а). Следовательно, для того чтобы полином четвертой степени был бигармонической функцией, он должен иметь такой вид: Рассмотрим полином пятой степени:
Подставляя их в бигармоническое уравнение (6.11) и группируя слагаемые по аргументам хну, получаем Чтобы это уравнение обращалось в тождество при любых значениях аргументов, необходимо коэффициенты при этих переменных приравнять нулю:
Если независимыми принять коэффициенты а5, b5, с5 и d5, то остальные два выразятся через них согласно уравнениям (б) следующим образом:
Внося коэффициенты e5 и f5 из соотношений (в) в формулу (6.15), находим
В такой форме полином пятой степени является бигармонической функцией и применим к решению плоской задачи. С помощью алгебраических полиномов можно решить ряд простых задач: задачу о чистом изгибе балки, изгибе балки на двух опорах под действием равномерно распределенной нагрузки, задачу о треугольной подпорной стенке, 2. Метод тригонометрических рядов Рибьера—Файлона. В качестве функции напряжений j(х, у) можно применять тригонометрические ряды Исследуем с этой целью тригонометрическую функцию
где Y функция, зависящая только от координаты у;
n - любое целое число; l - длина пластинки в направлении оси х. Выясним, при каких условиях функция j является бигармонической, j удовлетворяет уравнению (6.11). Подсчитаем четвертые производные функции j: Подставляя их в указанное уравнение, получаем или Это уравнение обращается в тождество при любых значениях аргумента х, если Y(у) удовлетворяет дифференциальному уравнению решение которого можно представить с помощью гиперболических функции
Подставляя это решение в выражение функции ср, получим бигармоническую функцию в виде Аналогично можно показать, что функция также является бигармонической и может быть применена для решения плоской задачи, Если числу п в соотношении (г) давать различные значения, то каждый раз будут получаться новые функции, отличающиеся значениями параметра а и постоянных Ап, Вп, Сп, Dn. Поэтому общее решение бигармонического уравнения (6Л1) может быть представлено как сумма всех его возможных частных решений, т.е. в виде бесконечного ряда
Постоянные Ап, Вп, ..., С'n, D’n определяются из условий на контуре. Нагрузка на контуре должна быть разложена в тригонометрический ряд Фурье по синусам и косинусам, С помощью функции напряжений (6.18), добавляя в случае необходимости степенные полиномы, можно получить решения для более широкою круга задач, чем с помощью только степенных полиномов. Среди них можно назвать задачу об изгибе балки-стенки, задачу о действии на пластинку нагрузок, распределенных вдоль контура по любому закону (в том числе сосредоточенной силы), |
Последнее изменение этой страницы: 2017-05-06; Просмотров: 1027; Нарушение авторского права страницы