Выражение деформаций через напряжения

Для совместного рассмотрения теории напряжений и теории дефор­маций необходимо установить зависимости между напряжениями и де­формациями. Эти зависимости носят физический характер. Действи­тельно, рассматривая изучаемые в курсе сопротивления материалов диаграммы растяжения различных материалов, заключаем, что зависимости напряжение — деформации определяются физическими свой­ствами материалов.

Ограничиваясь малыми деформациями упругого тела, связь между напряжениями и деформациями можно принять линейной При этом в общем случае анизотропии каждая составляющая напряжения мо­жет зависеть от всех составляющих деформации:

 

(а)

Коэффициенты а_тп называются упругими постоянными, и в общем случае их оказывается 36. Рассматривая только обратимые процессы деформирования, г. е. такие, при которых после снятия нагрузок фор­ма и размеры тела полностью восстанавливаются, можно убедиться, что между коэффициентами а_тп существует следующая зависимость:

Следовательно, коэффициенты, рассматриваемые симметрично от­носительно главной диагонали, попарно равны между собой (а₁₂ = а₂₁, а₁₃ = а₃₁и т. д.). Тогда в анизотропном теле количество упругих по­стоянных снижается до 21.

В случае изотропного тела уравнения (а) не должны изменяться при любых преобразованиях координат. Преобразуя координаты путем по­ворота осей на 180°, можно установить, что нормальные напряжения не связаны с угловыми деформациями, а касательные — с линейными (количество упругих постоянных снижается до 12). Кроме того, каса­тельные напряжения не связаны с угловыми деформациями в других плоскостях, что уменьшает общее количество независимых постоянных до 9. После поворотов осей на 90" и на произвольный угол число неза­висимых упругих постоянных сокращается до двух, в качестве которых можно принять постоянные, известные из курса сопротивления мате­риалов.

При испытании стержня на растяжение установлена пропорцио­нальность между нормальным напряжением и линейной деформацией в одном направлении

e = s/Е, (б)

называемая законом Тука. Входящая сюда упругая постоянная Е на­зывается модулем продольной упругости. Также экспериментально установлен закон, связывающий линейные деформации в продольном и поперечном направлениях:

e' = -ne. (в)

Входящая сюда вторая упругая постоянная v называется коэффициент том Пуассона.

При испытании на чистый сдвиг установлена пропорциональность между касательным напряжением и угловой деформацией в плос­кости действия этого напряжения:

g = t/G. (г)

Здесь появляется уже третья упругая постоянная G, называемая модулем сдвига. Однако модуль сдвига не является новой независимой упругой постоянной, так как он связан с первыми двумя известной из курса сопротивления материалов зависимостью

(3.1)

Чтобы установить зависимости между составляющими деформации и напряжений при объемном напряженном состоянии, выделим из тела бесконечно малый параллелепипед рассмотрим действие только нормальных напряжений s_x, s_y, s_z. Разницей между напряже­ниями на противоположных гранях можно пренебречь, так как она дает деформации более высокого порядка малости.

Определим удлинение ребра аb параллельного напряжению s_х. При действии этого напряжения согласно закону Гука (б) возникнет относительное удлинение ребра

Напряжение а_у вызовет аналогичное удлинение в направлении, перпендикулярном ребру ab,

а в направлении самого ребра — укорочение, которое согласно фор­муле (в) составляет

или с учетом выражения деформации

Аналогично можно найти относительное укорочение ребра ab при действии напряжения s_z:

На основании принципа независимости действия сил находим пол­ное относительное удлинение ребра ab как сумму удлинений при дей­ствии каждого напряжения:

или, вынося за скобки £ и v,

 

Аналогично можно найти линейные деформации по направлениям осей у и z:

Связь между угловыми деформациями и касательными напряже­ниями, согласно закону Гука при сдвиге (г), можно представить неза­висимо для каждой из трех плоскостей, параллельных координатным плоскостям:

Таким образом, имеем шесть формул:

(3.2)

 

Они выражают линейную зависимость между составляющими дефор­мации и напряжений в изотропном упругом теле и называются обоб­щенным законом Гука.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: