Составляющие перемещения и деформации. Зависимость между ними

Исследуем деформацию упругого тела. Для ее определения необхо­димо сравнить положение точек тела до и после приложения нагруз­ки. На рис. 10 показаны тело и точка А с координатами х, у, z. Под дей­ствием нагрузки точка А переместится в новое положение А' с координатами х', у', z', Вектор АA' на­зывается вектором перемещения точки А.

Различают два вида перемеще­ний: перемещение всего тела как единого целого без его деформиро­вания и перемещение, связанное с деформированием тела. Перемеще­ния первого вида изучаются в тео­ретической механике как переме­щения абсолютно твердого тела. В теории упругости рассматри­ваются только перемещения, свя­занные с деформированием тела.

Будем считать, что рассматриваемое тело закреплено так, чтобы оно не могло перемещаться как абсолютно твердое тело. Обозначим проекции вектора перемещения точки А на координатные оси через u, v, w, Они равны разности соответствующих координат точек А и А'

и = х' - x; v = у' - у; w = z' - z

и являются функциями координат;

и = и (х, у, z); v = v (х, у, z)\ w = w (x, у, z).

Разница в значениях перемещений различных точек тела вызывает его деформирование. Бесконечно малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, вырезанный из упругого тела около произвольной точки.4, вследствие различных перемещений его точек деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначаль­но прямые углы между гранями.

Рис. 2.1

 

На рис. И изображены два ребра этого параллелепипеда: ребро АВ, параллельное оси х. и ребро АС, параллельное оси z. Длина ребра АВ равна dx, ребра АС — dz. После деформирования точки A, B и С займут новые положения: А', В', С'. При этом точка А получит пере­мещение, составляющие которого в плоскости чертежа равны и и w. Точка В, отстоящая от точ­ки A на бесконечно малом расстоянии dx, получит пе­ремещение, составляющие которого будут отличаться от составляющих переме­щения точки А на беско­нечно малую величину за счет изменения координа­ты х:

Составляющие переме­щения точки С будут отличаться от составляющих перемещения точки А на бесконечно малую величину за счет изменения координаты z:

Длина проекции ребра ABна ось х после деформирования

(2.1)

Проекция абсолютного удлинения ребра А В на ось х

Относительное удлинение вдоль оси х

(а)

называется линейной деформацией по направлению оси х.

Аналогично получим линейные деформации по направлениям коор­динатных осей у и z:

(б)

Итак, линейная деформация по любому направлению равна част­ной производной составляющей перемещения в этом направлении по переменной в том же направлении.

Рассмотрим изменения углов между ребрами параллелепипеда (рис. 11). Тангенс угла поворота ребра А В в плоскости xOz

Ограничиваясь рассмотрением только малых деформаций, можно положить tg a₁» а₁и пренебречь линейной деформацией e_x ввиду малости по сравнению с единицей. Тогда

Аналогично находим угол поворота ребра АС в той же плоскости:

(2.2)

Угол сдвига в плоскости xOz_y т. е. искажение прямого угла ВАС, называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер АВ и АС:

g_zx= а₁+ а₂=¶w/¶x+¶u/¶z.(а)

Аналогично найдем угловые деформации в двух других координат­ных плоскостях:

g_xy=¶u/¶y - ¶v/¶x; g_yz=¶v/¶z + ¶w/¶z.(б)

 

Итак, угловая деформация в любой плоскости равна сумме частных производных составляющих перемещения в этой плоскости по пере­менным в перпендикулярных направлениях.

Формулы (а), (б), (в) и (г) дают шесть основных зависимостей составляющих линейных и угловых деформаций от составляющих пере метения:

(2.3)

Эти геометрические соотношения были выведены Коши и иногда называются уравнениями Коши.

В пределе, когда длины ребер параллелепипеда стремятся к нулю, формулы (2.3) определяют линейные и угловые деформации в окрест­ности точки А.

Правило знаков для составляющих деформации.

1. Положительным линейным деформациям отвечают удлинения по соответствующим направлениям, а отрицательным — укорочения.

2. Положительным угловым деформациям соответствует уменьше­ние углов между положительными направлениями координатных осей, а отрицательным — увеличение тех же углов.

Объемная деформация

В общем случае деформирования объем тела изменяется. Рассмот­рим бесконечно малый параллелепипед объемом dV = dxdydz. С точностью до бесконечно малых величин высшего порядка можно считать, что изменение этого объема связано только с изменением длины ребер, но не с угловыми деформациями.

Длина ребра АВ (см. рис.2.3), первоначально равная dx, после деформирования согласно формуле (2.1) составит

dx₁= dx (1 +ди/дх).

Воспользовавшись первым уравнением (2.3), получим

dx₁= dx (1 + e_x). (2.4)

Аналогично вычисляются длины двух других ребер после дефор­мирования:

. (2.5)

Объем параллелепипеда после деформирования найдем как произ­ведение новых длин ребер:

. (2.6)

Раскрывая скобки, получаем

.(2.7)

Пренебрегая в скобках величинами второго и третьего порядков малости и учитывая, что dxdydz = dV, находим

.

Тензор деформации

Пусть при деформации среды точки по­следней получили смещение и, составляющие которого обозначим через и_х, и_у, и_z. Деформация среды характеризуется симметричным тензором деформации

 

 

составляющие которого равны

(2.8)

Тензор деформации, как и всякий симметричный тензор, приво­дится к главным осям:

причем e₁, e₂, e₃ называются главными удлинениями. Это означает, что всякая деформация может быть осуществлена простыми растя­жениями в трех взаимно перпендикулярных направлениях (главных направлениях). Разности

(2.9)

называются главными сдвигами. Наибольший по величине сдвиг в данной точке будем называть максимальным сдвигом g_max.

2. Малая деформация. В случае малой деформации компоненты e_x, e_y, ..., g_хz малы по сравнению с единицей; если, кроме того, до­статочно малы углы поворота (анализ этого вопроса дан в курсе теории упругости В. В. Новожилова Г²⁷1), то в формулах (2.1) можно

пренебрегать произведениями , следовательно,

Здесь e_x, e_y, e_z представляют собой относительные удлинения соот­ветственно в направлениях осей х, у, z, аg_хy , g_yz , g_xz относительные сдвиги (g_хy —изменение угла между осями х, у и т. д.);

Относитель­ное изменение объема равно

(2.10)

Эти геометрические соотношения были выведены Коши и называются уравнениями Коши.

Эти простые формулы непригодны, если необходимо описать зна­чительные формоизменения массивных тел; тогда компоненты дефор­мации сравнимы по величине с единицей, и нужно исходить из общих зависимостей (2.8). Подчеркнем также, что даже при малых удлине­ниях и сдвигах линейные соотношения (2.9) часто оказываются не­достаточными в вопросах деформации и устойчивости гибких тел (стержни, пластины, оболочки) вследствие того, что элементы тела испытывают значительные перемещения и повороты. В дальнейшем, говоря о малой деформации, мы будем подразумевать такую дефор­мацию, когда формулы (2.9) применимы.

Ниже нередко используются тензорные обозначения компонент деформации

(2.11)

где x_i — декартовы координаты, и_i составляющие вектора переме­щения. Легко видеть, что

3. Инварианты. Инварианты тензора деформации образуются так же, как для тензора напряжения, и в главных осях имеют вид:

(2.12)

Удобно пользоваться представлением тензора деформации в виде суммы

(2.13)

где — шаровой тензор, соответствующий объемному расшире­нию, а девиатор деформации

характеризует изменение формы элемента среды, обусловливаемое сдвигами. Инварианты девиатора деформации равны

(2.14)

В теории пластичности важную роль играет квадратичный инвариант I₂ (D_e), который можно рассматривать как суммарную характеристику искажения формы элемента среды. Неотрицательная величина

(2.15)

называется интенсивностью деформаций сдвига [2] ). В случае чистого сдвига

Внося эти значения в (2.1), находим:

Численный множитель перед корнем в (2.9) выбран так, чтобы при чистом сдвиге интенсивность r равнялась величине сдвига у.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: