Чистый изгиб прямого призматического бруса

Простейшими называются задачи теории упругости, в которых на­пряжения являются линейными функциями координат или постоянны по всему объему тела. При этом уравнения неразрывности деформа­ций удовлетворяются тождественно, так как в них входят вторые про­изводные от напряжений.

Схема прямого призматического бруса изображена на рис. 5.1. Ось z направлена вдоль оси бруса, а оси х и у являются главными цент­ральными осями инерции сечения. Пары сил с моментом М₀ приложены к торцам бруса в главной плоскости хОz.

Рис. 5.1.

Задачу будем решать обратным методом в напряжениях. Из курса сопротивления материалов известно, что в случае чистого изгиба в по­перечном сечении бруса возникает напряженное состояние со следую­щими составляющими:

где х — расстояние рассматриваемой точки поперечного сечения до ней­тральной оси у; J_y момент инер­ции площади поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Проверим, возможно ли сущест­вование такого напряженного со­стояния с точки зрения теории упру­гости и соответствует ли оно чистому изгибу. Подставив значения напряжений (5.1) в дифференциальные уравнения равновесия (4.1), получим

 

т. е. условия равновесия удовлетворяются при отсутствии объемных сил или в случае, когда они настолько малы, что их можно не прини­мать во внимание.

Уравнение неразрывности деформаций (4.12) проверять не нужно, так как задача относится к простейшим (напряжения зависят от коор­динат линейно).

Переходим к условиям на поверхности (4.2). После подстановки в них нулевых значений напряжений (5.1) получаем:

 

(а)

 

Рассмотрим граничные условия на боковой поверхности бруса, Так как нормаль к ней во всех точках перпендикулярна оси z, направ­ляющий косинус п = 0, Тогда из условий (а) находим, что X_v = Y_v = Z_v = 0, т. е. боковая поверхность бруса свободна от напряжений.

На правом торце направляющий косинус п == 1, так как нормаль к нему параллельна оси z. После подстановки в условия (а) значений косинуса и напряжения s_z из формул (5.1) получаем составляющие поверхностной нагрузки на правом торце:

 

 

Убедимся, что эти составляющие сводятся к паре с моментом M₀, для чего найдем их равнодействующие,

Проекция торцовых нагрузок на оси х и у тождественно равна ну­лю, а проекция на ось zдает нормальную силу

 

 

так как последний интеграл представляет собой статический момент площади торцового сечения относительно центральной оси у и, следо­вательно, равен нулю.

Момент нагрузок на торце относительно оси r тождественно равен нулю. Подсчитаем момент этих нагрузок относительно оси х:

 

Последний интеграл, представляющий собой центробежный момент инерции площади торцового сечения относительно главных осей х и у, равен нулю и, следовательно, М_х = 0.

Момент нагрузок на торце относительно оси у

 

Поскольку последний интеграл представляет собой момент инер­ции площади торцового сечения относительно оси y то М_у — М₀. Сле­довательно, нагрузки на правом торце приводятся к паре сил с момен­том М₀ в плоскости хОz. Такой же вывод можно получить, рассматри­вая условия на левом торце.

Таким образом, напряжения (5.1) удовлетворяют основным урав­нениям теории упругости. Следовательно, их существование возможно и они соответствуют чистому изгибу. При этом пары сил на торцах должны быть распределены по тому же закону, что и напряжения s_z. Если же приложение этих пар будет иным, то и распределение напря­жений s_z не будет следовать закону (5.1). Оно окажется более сложным и переменным по длине бруса. Однако на основании принципа Сен-Венана при любом законе распределения момента M₀, приложенного к торцу бруса, напряжения s_z будут отличаться от закона (5.1) только в непосредственной близости от торца, по всей же остальной длине бруса закон распределения напряжений будет практически соответ­ствовать формулам (5.1).

Для полного решения задачи определим деформации и перемещения, Подставим значения напряжений (5.1) в формулы закона Гука (4.5), В результате получим

 

 

(5.2)

 

Здесь для сокращения записи использована известная из курса сопро­тивления материалов связь между изгибающим моментом и кривизной изогнутой оси бруса при чистом изгибе:

гдеr — радиус кривизны,

Для определения составляющих перемещений подставим выраже­ния деформаций (5.2) в формулы (4.3):

(б)

 

Интегрируя три первых уравнения (б), находим:

где произвольные функции.

 

Функции (в) должны удовлетворять трем остальным уравнениям (б), поэтому, подставляя эти функции в указанные уравнения, получаем

 

(г)

 

Для разделения входящих сюда функций продифференцируем по­следовательно эти три уравнения по координатам х, у, z. В результа­те получим следующие девять уравнений:

 

(д)

Из трех последних уравнений сложением и вычитанием находим:

(е)

Анализируя производные (д) и (e)_s устанавливаем, что функции j и y должны быть линейными, а функция f — квадратичной:

 

 

(ж)

где а_i— произвольные постоянные. Часть из них связана между собой. После подстановки функций (ж) в уравнения (г) находим:

a₇ = -a₁, a₅ = -a₂, a₈ = -a₄.

 

Учитывая эти равенства и внося функции (ж) в соотношения (в), получаем

 

(5.3)

Остальные шесть произвольных постоянных определяются из усло­вий закрепления бруса.

Рассмотрим случай, когда брус жестко защемлен в начале коорди­нат. Это значит, что в указанной точке осуществлено такое закрепле­ние, при котором невозможны поступательные перемещения вдоль коор­динатных осей и невозможен поворот вокруг этих осей. Математичес­кие условия отсутствия поступательных перемещений точки в начале координат сводятся к следующим:

при х — у = z — 0 u = v = w = 0.

Для закреплений бруса от вращения вокруг начала координат необходимо, чтобы любые два из трех элементов dx, ду и dz (см. рис. 5.1) у начала координат оставались неподвижными. Угол поворота отрезка dz относительно оси у в плоскости хОz согласно соотношению (2.2) ра­вен du/dz. Аналогично, угол поворота отрезка dz относительно оси х в плоскости уОz равен dv/dz, а угол поворота отрезка dy относительно оси z в плоскости хОу — ди/ду. Закрепляя стержень от указанных по­воротов, получаем еще три условия:

 

при х = у = z = 0, du/dz = dv/dz = ди/ду = 0. (и)

(и)

Из условий закрепления (з) и (и) находим

a₁ = а₂ = а₃ = а₄ = а₆ = а₉ = 0.

После этого составляющие перемещений (5.3) принимают вид

(5.4)

Таким образом, задача о чистом изгибе прямого призматического бруса произвольного поперечного сечения полностью решена. Формулы (5.1) позволяют подсчитать напряжения, формулы (5.2) —дефор­мации, а формулы (5.4) — перемещения в любой точке бруса.

Исследуем форму продольной оси бруса в случае чистого изгиба. При х = у = 0 из формул (5.4) получаем уравнение изогнутой оси бруса.

Следовательно, после деформирования ось бруса искривляется по квадратной параболе в плоскости действия изгибающего момента, т. е, имеет место плоский изгиб. Тангенс угла наклона касательной к оси бруса в произвольном сечении z = z₀

Исследуем характер деформирования поперечного сечения z = z₀. Уравнение поверхности этого сечения после деформирования имеет вид

 

Подставляя сюда значение составляющей перемещения w из фор­мул (5.4), получаем

z = z₀ (1 + х/r). (к)

(к)

Это уравнение плоскости, параллельной оси у. Таким образом, плоское поперечное сечение бруса остается плоским и после деформирования. Тангенс угла наклона р плоскости поперечного сечения после деформирования получим дифференцированием уравнения (к) по координате z:

tg b = dx/dz = r/z₀.

 

Рис. 5.2.

Перемножая тангенсы, находим

 

Полученное уравнение представляет собой условие перпендику­лярности прямой и плоскости. Следовательно, поперечное сечение при чистом изгибе остается после деформирования не только плоским» но и нормальным к оси бруса. Гипотеза плоских сечений, вводимая в со­противлении материалов, в этом случае оправдывается полностью, Исследуем форму контура поперечного сечения после деформиро­вания, если до этого он имел очертания прямоугольника A BCD (рис. 5.2).

Уравнение боковых сторон AD и ВС после деформирования

После подстановки сюда функции v из формул (5.4) получаем уравнение прямых A'D' и В'С’, повернутых отно­сительно точек N и М с координатами х = 0, у = b/2:

Переходим к рассмотрению верхней и нижней сторон сечения, После дефор­мирования их уравнение

 

Подставляя сюда значение функции и из формул (5.4), находим

Это уравнение парабол А'В' и C’D’, изображенных на рис. 5.2. Верх­няя часть сечения соответствует сжатым продольным волокнам, ниж­няя — растянутым.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: