Типы граничных условий на поверхности тела

Из предыдущего видно, что решение задачи теории упругости лю­бым способом сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющих поведение упруго­го тела во внутренних точках. К этим уравнениям добавляются усло­вия на поверхности, ограничивающей тело. Эти условия диктуют за­дание или внешних поверхностных сил, или перемещений точек по­верхности тела. В зависимости от этого обычно формулируют один из трех типов краевых задач.

Первая краевая задача — кинематическая. В объеме тела отыски­ваются составляющие перемещений, принимающие на поверхности оп­ределенные значения, В условии на поверхности тела таким образом задаются уравнение поверхности и значения составляющих перемеще­ний на этой поверхности,

Вторая краевая задача - статическая. В этом случае на поверхно­сти тела не наложены никакие ограничения на перемещения и задают­ся уравнение поверхности, направляющие косинусы нормали к по­верхности и значения составляющих поверхностных нагрузок. Эти данные вносятся в уравнения (4.2).

В случае, когда поверхность тела совпадает с координатными плос­костями, краевые условия могут быть сформулированы непосредствен­но в напряжениях. Тогда достаточно указать уравнение поверхности и задать значения составляющих напряжений на этой поверхности,

Третья краевая задача — смешанная. В этом случае на одной части поверхности тела задаются кинематические условия, а на другой — статические.

Этими тремя задачами не исчерпывается, однако, все разнообразие краевых условий. Например, на некотором участке поверхности могут быть заданы не все три составляющие перемещения или составляющие поверхностной нагрузки.

Теорема единственности. Методы решения задачи

Теории упругости

При решении задач теории упругости может возникнуть вопрос о том, является ли полученное решение однозначным, т. е. соответству­ет ли заданным объемным и поверхностным силам одна система напря­жений или их несколько.

Докажем следующую теорему. Для тела, находящегося в естест­венном состоянии, решение задачи теории упругости единственно, ес­ли справедлив принцип независимости действия сил.

Предположим обратное: под действием заданных поверхностных X_v, У_v, Z_v и объемных X, У, Z сил возможно возникновение двух раз­личных совокупностей напряжений:

Обе совокупности должны удовлетворять уравнениям равновесия (4.1):

 

и условиям на поверхности (4.2):

 

Вычтя почленно соответствующие уравнения систем (а) и (б), полу­чим новую систему уравнений равновесия:

 

(в)

и условий на поверхности:

(г)

На основании принципа независимости действия сил разности на­пряжений, входящие в эти системы уравнений, можно принять за новую совокупность напряжений, которая согласно уравнениям (в) и (г) возникает при отсутствии объемных и поверхностных сил. Но для тела, находящегося в естественном состоянии, эти напряжения долж­ны быть равны нулю, т. е,

или

Следовательно, обе совокупности напряжений совпадают и реше­ние задачи теории упругости, когда заданы объемные и поверхност­ные силы, единственно. Точно так же можно доказать единственность решения задачи теории упругости и в случае, когда на поверхности уп­ругого тела заданы перемещения.

Из доказанной теоремы следует: так как решение задач теории уп­ругости единственно, то безразлично, каким математическим методом она решена. Можно указать три основных метода математического решения задачи теории упругости:

L Прямой метод. Он заключается в непосредственном ин­тегрировании уравнений теории упругости совместно с заданными условиями на поверхности.

2. Обратный м е т о д. В этом случае задаются функциями перемещений или напряжений, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям, и определяют, каким внешним нагрузкам соответствует рассматриваемая система перемещений или напряжений.

3. Полуобратный метод Сен-Венана. Он состоит в задании части функций напряжений или перемещений. Затем с по­мощью уравнений теории упругости устанавливаются зависимости, который должны удовлетворять оставшиеся функции напряжений и перемещений. При этом дифференциальные уравнения настолько уп­рощаются, что решение их не представляет особых трудностей. Полу­обратный метод является одним из наиболее эффективных методов решения задачи теории упругости.

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: