Уравнения равновесия элементарных объемов в массиве

Для рассмотрения элементарного тетраэдра зададим действующие внешние силы на наружной (косой) грани F_v с внешней нормалью v и внутренние силы на трех взаимно перпендикулярных гранях F_x, F_y, F_z (рис. 1.4). На внутренних гранях действуют напряжения s_x, s_y и s_z, на наружной - p_n, раскладываемое по осям координат на составляющие p_xn, p_yn, и p_zn.

Рис.1.4. Равновесие элементарного тетраэдра: а- площадки внутренних граней; б и в – компоненты напряжений на трех взаимно перпендикулярных внутренних гранях и на наружной («косой») грани соответственно

 

Условие равновесия в проекции на ось x

p_xnF_n - s_xF_x - t_xyF_y -t_xzF_z = 0;

разделив все члены этого уравнения на F , получим

p_xn - s_x - t_xy - t_xz = 0, (1.3)

где

где l, m и n – направляющие косинусы, т.е. косинусы углов соответственно между осями координат x, y и z внешней нормалью v. Следует иметь в виду, что

l² + m²+ n²= 1. (1.4)

Теперь можно записать выражение (1.3) в виде

p_xn - s_xl -t_xym - t_xzn = 0.

По правилу круговой подстановки можно получить и два других уравнения, тогда система уравнений равновесия элементарного тетраэдра примет вид

p_xn = s_xl + t_xym - t_xzn;

p_yn = t_xyl + s_ym + t_yzn; (1.5)

p_zn = t_zyl + t_zym + s_zn.

Система (1.5) является системой переходных формул от внутренних сил возле границы твердого тола (s_x, s_y, s_z, , t_xy, t_xz, t_yx, t_xz, t_zx, t_zy) к внешним силам (p_xn, p_yn, p_zn.), действующим на наружной поверхности того же тела. Уравнения (1.5) являются алгебраическими, их называют условиями на контуре тела, или статическим граничными условиями. В эти уравнения не входят объемные силы (собственный вес) и инерционные члены (при движении тела с ускорением), потому что последние являются бесконечно малыми третьего порядка. В самом деле, равнодействующая нормальных сил на площадке F_x равна s_xF_x – бесконечно малой второго порядка, а проекция объемной силы на ось x равна rXdx dy dz/ 6(здесь r – плотность материала тела; X – проекция объемной силы на ось x, отнесенная к единице массы; dx, dy и dz – размеры элементарного объема) и представляет собой бесконечно малую третьего порядка.

Чтобы определить условия равновесия элементарного параллелепипеда под действием внешних и внутренних (объемных) сил выделим в теле некоторую точку 0 и построим вблизи нее элементарный параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 1.5). Так как напряжения на гранях параллелепипеда являются непрерывными функциями координат, то на расстояниях dx, dy, dz от точки 0 напряжения получат соответствующие приращения.

Спроектируем все силы, действующие на элементарный параллелепипед, и запишем условие равновесия. Для оси x:

(1.6)

Рис. 1.5. Распределение нормальных и касательных напряжений по граням элементарного параллелепипеда вблизи точки 0 под действием внешних и объемных сил; X, Y, и Z – проекции объемных сил на соответствующие координатные оси

Аналогично могут быть получены уравнения проекций всех сил на оси y и z. Раскрыв скобки и произведя преобразования выражения (1.6) и ему аналогичных, получим систему:

(1.7)

Уравнения системы (1.7), в отличие от алгебраических уравнений равновесия для тетраэдра (1.5), являются дифференциальными в частных производных. Кроме того, в уравнения для элементарного тетраэдра (1.5) входят направляющие косинусы, в управлениях для параллелепипеда (1.7); в уравнениях (1.5) не входят объемные силы, тогда как в уравнениях (1.7) они присутствуют.

Условия равновесия предполагают еще и равенство нулю моментов всех сил относительно координатных осей. Составим уравнение моментов, например, относительно оси y (рис. 1.5):

(1.8)

Раскрыв скобки в уравнении (1.8), после некоторых преобразований получим

(1.9)

а сократив все члены уравнения (1.9) на произведение dxdydz, запишем

В выражении (1.9) все члены, кроме t_zx и t_xz, имеют порядок малости более высокий, чем t_zx и t_xz, а также переменные знаки, поэтому ими без большой погрешности можно пренебречь.

Получив уравнения моментов всех сил относительно осей x, xy и z и преобразовав их, получим систему:

t_xy = t_yx; t_yz = t_zy; t_xz = t_zx; (1.10)

которая соответствует известному из курса сопротивления материалов закону парности (взаимности) касательных напряжений. Таким образом, независимых касательных напряжений всего три.

С учетом трех нормальных напряжений на гранях параллелепипеда, следовательно, действуют всего шесть неизвестных напряжений: s_x, s_y, s_z, t_xy, t_xz, t_yz, но так как дифференциальных уравнений только три, в поставленном виде задача является статически неопределимой. Для ее решения необходимо рассмотреть деформации тела и перемещения его точек под действием заданных нагрузок.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: