Кручение круглого бруса постоянного сеченИя

Круглый брус, подверженный кручению моментом М₀, изображен на рис. 14. Будем искать решение задачи в перемещениях обратным ме­тодом. Следуя Сен-Венану, зададим перемещения точек бруса следую­щим образом. Перемещение точки А в плоскости поперечного сечения (рис. 15) определяется только поворотом этого сечения на угол j'z от­носительно сечения, находящегося на расстоянии z от рассматривае­мого. Это перемещение равно А А' - j'zr. Здесь j' - dj/dz — угол закручивания, приходящийся на единицу длины; r - радиус-вектор точки. Перемещение вдоль оси zотсутствует, т. е. w = 0.

Рис. 5.3

 

Раскладывая перемещение А А' по осям х и у, находим: и = —A A' sina, v = A A' cosa, или с учетом того, что r cosa = x и rsina= у, получаем следующие составляющие перемещений точек бруса при кручении:

(а)

Перемещения (а) должны удовлетворять уравнениям Ламе (4.8). Так как в эти уравнения входят вторые производные от перемещений, то они в случае отсутствия объем­ных сил обращаются в тождества. Остается удовлетворить условиям на п оверхности, для чего найдем деформации и напряжения.

Подставляя перемещения (а) в формулы (4, 3), получаем

(5.5)

Таким образом, из составляющих деформаций отличны от нуля только две угловые деформации в плоскостях уОz и хОz. Интересно отметить, что при кручении объем тела не меняется, так как согласно формуле (2.6) объемная деформация q = 0.

По формулам закона Гука (4.6) находим составляющие напряжений

(5.6)

Рис. 5.4.

 

Из составляющих напряжений отличны от нуля только две.

Рассмотрим условия на боковой поверхности бруса. Направляющие косинусы нормали v в любой точке боковой поверхности, согласно рис. 5.4, равны:

(б)

После подстановки напряжений (5.6) и направляющих косинусов (б) в условия на поверхности (4.2) находим Х_v = Y_v = Z_v = 0, т. е. боковая поверхность свободна от нагрузок.

На правом торце при z= L направляющие косинусы составляют m = 0 и n = 1 и условия на поверхности (4.2) дают

(в)

Равнодействующие внутренних сил на правом торце:

Подставляя в эти выражения напряжения (в), находим

так как входящие сюда интегралы представляют собой статические моменты площади сечения относительно центральных осей х и y, a

(г)

так как входящий сюда интеграл представляет собой полярный момент инерции.

Таким образом, напряжения на правом торце сводятся к паре сил с моментом М₀ в плоскости торца. Аналогично можно показать, что и на левом торце напряжения сводятся к паре сил, но противополож­ного направления. Следовательно, перемещения (а), деформации (5.5) и напряжения (5.6) являются решением задачи о кручении круглого бруса постоянного сечения.

В заключение найдем равнодействующие касательных напряжений в каждой точке поперечного сечения и установим закон их распределе­ния по сечению. На рис. 5.5 показаны составляющие напряжений в точ­ке А с учетом их знаков согласно формулам (5.6). Равнодействующая

(5.7)

или с учетом соотношения (г)

(5.8)

т. е. касательные напряжения t распределяются по сечению пропор­ционально расстоянию точки р до центра сечения. На том же рисунке показана эпюра этих напряжений вдоль одного из диаметров, причем

Рис. 5.5

 

Таким образом, направление напряжений т перпендикулярно ра­диус-вектору в каждой точке поперечного сечения. Следовательно, ре­шение задачи о кручении круглого бруса постоянного сечения совпа­дает с решением, полученным в сопротивлении материалов.

С помощью остальных уравнений теории упругости полезно самостоятельно убедиться, что в рассмотренном случае, как и при чистом изгибе, полностью соблюдается гипотеза плоских сечений.

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

Плоская деформация

Все уравнения теории упругости значительно упрощаются в тех слу­чаях, когда задачу можно свести к отысканию функций только двух пе­ременных, например х и у. В упругом теле плоская деформация возни­кает, если перемещения происходят только параллельно плоскости хОу:

(а)

Такие перемещения возникают в длинном призматическом или ци­линдрическом теле, продольная ось которого параллельна оси Оz, при действии нагрузки, перпендикулярной этой оси и постоянной вдоль нее. Близкими к этому случаю являются задачи о длинной подпорной стенке или плотине (рис. 6.1, а), тоннеле метрополитена (рис. 6.1, б)_, длинном цилиндрическом катке (рис. 6.1, в), длинной пластинке (рис. 6.1, г) при условии, что нагрузка не меняется вдоль оси Оz. В таких задачах приходится иметь дело с деформациями, которые возникают только в плоскости хОу. Подставляя составляющие перемещения (а) в формулы (4.3), получаем

(б)

Отсутствие линейных деформаций в направлении оси Оz ведет тем не менее к появлению нормальных напряжений s_z. Эти напряжения зависят от напряжений, действующих в плоскости хОу, Действительно из третьей формулы закона Гука (4.5) при отсутствии деформации e_z следует, что

откуда

(6.1).

 

Подставляя это соотношение в первые две формулы (4.5), находим

(в)

Рис 6.1

 

Из анализа формул (б), (в) и (4.6) следует, что

На основании соотношения (6.1) напряжения , также является функцией только двух координат:

Основные уравнения теории упругости в случае плоской деформации упрощаются следующим образом. Из дифференциальных уравнений равновесия (4.1) остаются только два:

(6.2)

а третье обращается в тождество

Так как на боковой поверхности во всех точках направляющий косинус , то из условий на поверхности (4.2) остаются также только два;

(6.3)

Шесть геометрических соотношений Коши (4.3) сводятся к трем:

(6.4)

Из шести уравнений неразрывности деформаций (4.4) остается только одно:

(6.5)

а остальные обращаются в тождества.

Из шести формул закона Гука (4.5). с учетом соотношений (б), (в) и (3.1) остаются только три:

(г)

Если ввести новые упругие постоянные

(6.6)

то эти формулы примут более удобный вид:

(6.7)

причем значение коэффициента пропорциональности в третьем уравнении не меняется:

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: