РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Основные положения метода

В последнее время в связи с широким распространением средств вычислительной техники для исследования напряженного состояния массива используются различные численные методы. Наибольшее распространение среди этих методов получил метод конечных элементов.

В методе конечных элементов рассматриваемая область разбивается на конечное число элементов.

Для плоской задачи обычно принимаются треугольные элементы. При этом связь между элементами осуществляется только в вершинах I, J, k (узлах).

Следовательно, условия равновесия и условия совместности деформаций соблюдаются только в общих (внутренних) узлах элементов.

На границе тела задаются усилия или перемещения. Задание условий на границе осуществляется в узлах.

В итоге, по заданным граничным условиям в узлах, лежащих на границе тела, необходимо найти напряжения и перемещения в узлах, лежащих внутри тела.

Таким образом, непрерывное решение задачи заменяется дискретным аналогом.

Для определения неизвестных напряжений и перемещений узлов составляются уравнения равновесия и совместимости деформаций, число которых соответствует числу узлов расчетной схемы.

Решение задачи выполняется с помощью ЭВМ.

Очевидно, чем меньше размеры элементов, тем ближе приближенное решение приближается к точному.

На практике сетка конечных элементов (размеры элементов) принимается с переменным шагом.

В областях, где ожидаются большие концентрации напряжений, размер элементов принимается меньшим.

Применительно к горным выработкам размер элементов принимается наименьшим около контура выработки. С удалением от выработки размер элементов можно увеличивать.

Увеличение числа конечных элементов влечет за собой возрастание трудоемкости расчетов на ЭВМ. Это связано с тем, что с ростом числа элементов весьма быстро увеличивается размер системы линейных уравнений, к которой, в конечном итоге, сводится решение задачи на ЭВМ.

При решении практических задач в целях уменьшения порядка системы уравнений используют геометрическую и силовую симметрию, бесконечную область заменяют конечной и выполняют другие действия.

Рассмотрим последовательность решения плоской задачи теории упругости в матричной форме для треугольного элемента с узлами i, j, k, обозначенными в направлении против часовой стрелки (рис.5.1).

Смещения в узле имеют 2 компоненты (рис.5.1):

, (5.1)

где U_i, u_i - компоненты смещений для узла i.

Вектор смещений для всего элемента будет состоять из 6 компонентов (по 2 компонента на каждый из 3-х узлов):

, (5.2)

где {U} - вектор узловых перемещений для элемента.

Каждый из 6 компонентов (U, u) описывается с помощью линейных многочленов:

, (5.3)

где a₁, a₂, … a₆ - параметры, постоянные для элемента.

 

Рис.5.1. Схема смещений треугольного элемента

Смещения узлов элемента происходят относительно их начального положения, которое описывается их координатами в декартовой системе.

Следовательно, компоненты перемещений U и u треугольного элемента можно выразить как произведение матрицы декартовых координат узловых точек на матрицу-вектор параметров поля деформаций:

, (5.4)

где {U} - вектор узловых перемещений, {a} - вектор параметров, [A] - матрица декартовых координат узлов.

. (5.5)

Из уравнения (5.4) теперь могут быть найдены неизвестные параметры {a}:

, (5.6)

где [A]^-1 - матрица обратная матрице координат.

Общие деформации элемента определяются из соотношений Коши:

(5.7)

Подставляя в эти уравнения выражения (5.3) для перемещений, получим

(5.8)

Эту формулу можно представить в виде

, (5.9)

где

Подставляя в выражение (5.9) значения параметров (5.6) получим

(5.10)

где

матрица [E] для случая плоской деформации имеет вид

Подставляя в уравнение (5.10) выражения (5.9), получим выражения для напряжений через перемещения

(5.11)

Элементы взаимодействуют между собой только в узлах, поэтому деформирование элемента, характеризуемое вектором перемещений {u}, обусловлено действием сил, приложенных в узлах (рис.5.1).

Взаимосвязь векторов {u} и {X} определяется матрицей жесткости элемента

(5.12)

где [k] - матрица жесткости элемента, которая находится с использованием принципа возможных перемещений:

;

D - площадь треугольного элемента:

;

индекс «т» означает транспонирование матрицы.

После построения сетки конечных элементов для решения конкретной задачи и определения матриц жесткости элементов строится матрица жесткости всей системы конечных элементов и составляется система линейных уравнений

(5.13)

где {X} и {u} - векторы сил, приложенных в узлах сетки конечных элементов и перемещений узлов:

M - число узлов в системе; [K] - матрица жесткости рассматриваемой системы, имеющая порядок 2M и состоящая из элементов

(5.14)

где - элемент матрицы жесткости r-го элемента, характеризующий вклад j-го единичного перемещения в i-й компонентузловых сил; N - число конечных элементов в системе.

Для решения поставленной задачи в систему уравнений (5.13) вводятся граничные условия, и эта система решается относительно перемещений. Далее с помощью выражений (5.10) и (5.12) определяются соответственно деформации и напряжения в элементах.

Матрица жесткости системы (5.12) содержит координаты узлов и деформационные характеристики среды, отсюда и её название.

На практике разбивка тела на элементы производится автоматически, а матрица жесткости симметрична относительно главной диагонали.

МКЭ позволяет производить расчеты обделок не только на основе уп­ругой модели взаимодействия их с массивом, но и с учетом нелинейности деформирования массива. В таких случаях вычисления производятся много­кратно (итерационным путем). На каждом шаге вносятся коррективы ввеличины модулей деформации элементов в соответствии с уровнем напряжений и принятой моделью упругопластического материала.

Применение МКЭ позволяет значительно приблизить расчетную схему к реальному объекту, дает возможность учесть наиболее важные свойства среды, а также реальную геометрию сооружения. Использование метода МКЭ наибо­лее эффективно в тех случаях, когда не имеется точных аналитических решений: для расчета незамкнутых и сборных обделок; для расчета обделок, расположенных в неоднородном грунтовом массиве; для учета постадийности возведения обделки.

Метод МКЭ эффективен для расчета сложных пространственных конструкций подземных сооружений.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: