Треугольная подпорная стенка

Иллюстрацией решения плоской задачи с помощью степенных по­линомов для непрямоугольной области может служить задача о тре­угольной подпорной стенке. Рассмотрим подпорную стенку с заданным углом b у вершины, простирающуюся неограниченно в направлении оси у (рис, 24). Последнее исключает влияние связи стенки с основа­нием. Стенка загружена давлением воды, изменяющимся по линейному закону gу (g — удельный вес воды), и собственным весом (g₁ — объем­ный вес материала стенки). Толщина стенки в направлении, перпендикулярном плоскости х0у, равна единице.

Таким образом, кроме поверхностной на­грузки на стенку действуют составляющие объемной силы

(а)

Поставленным условиям можно удовлет­ворить, взяв функцию напряжений в виде полинома третьей степени (6.13). Из формул (6.10) с учетом значения составляющих объ­емной силы (а) получаем следующую систему напряжений:

Рис. 24

Для определения входящих сюда коэффициентов сформулируем граничные условия сначала на вертикальной грани ОА:

Подставляя в эти условия напряжения (б), получаем два уравне­ния:

отсюда

и_, следовательно,

(в)

Переходим к граничным условиям на наклонной грани подпорной стенки ОВ:

(г)

Направляющие косинусы грани:

подставляя напряжения (в) и граничные условия (г) в уравнения (6.3), получаем еще два уравнения для определения коэффициентов:

Решая их. находим:

Подставляя значения коэффициентов b₃ и a₃ в формулы (в), полу­чаем составляющие напряжений, удовлетворяющие всем граничным условиям и, следовательно, являющиеся решением поставленной за­дачи:

(6.27)

Дадим оценку результатам, получаемым при решении аналогичной задачи методами сопротивления материалов. С точки зрения сопротивления материалов, на подпорную стенку в сечении у₀ действуют две силы (рис. 25): равнодействующая гидростатического давления на вер­тикальную грань Р₁ вызывающая изгиб, и равнодействующая собственного веса стенки Р₂, приложенная в центре тяжести треуголь­ника и создающая внецентренное сжатие. Оси х* и z* — главные центральные оси сечения у₀. Согласно формулам сопротивления материа­лов,

(я)

Рис. 25

Здесь продольная сила

поперечная сила

изгибающий момент

где эксцентриситет нагрузки Р₂ относительно нейтральной оси сече­ния z*

площадь поперечного сечения

момент инерции площади прямоугольного сечения относительно нейт­ральной оси

координата произвольной точки К относительно нейтральной оси

статический момент относительно нейтральной оси части площади се­чения, отсеченной в точке К прямой, параллельной этой оси,

После подстановки перечисленных величин в формулы (д) получа­ем

(6.28)

На рис. 26, а показаны эпюры напряжений на горизонтальном уровне у = y₀, которые подчиняются формулам (6.27), полученным методами теории упругости. Эпю­ры построены для b = p/6, g = 10 кН/м³ и g₁ = 20 кН/м³. На рис. 26, б показаны эпюры тех же напряжений, но полу­ченных методами сопротивления материалов согласно формулам (6.28).

Нормальные напряжения , подсчитанные по формулам со­противления материалов, совпа­дают с напряжениями s_y под­считанными по формулам теории упругости. Напряжениями в сопротивлении материалов пре­небрегают ввиду малости по сравнению с напряжениями , хотя, как видно из эпюр, их значение, получаемое методами теории упругости, имеет тот же порядок, что и напряжения s_y.

Касательные напряжения, подсчитанные по формулам теории уп­ругости и сопротивления материалов, отличаются не только количест­венно, но и качественно. Следовательно, решение рассмотренной за­дачи методами сопротивления материалов нельзя считать приемлемым.

У верховой грани подпорной стенки появляются растягивающие напряжения s_y, что нежелательно, С увеличением угла b эти напряжения уменьшаются, а затем изменяют знак. Определим значение b, от­вечающее нулевым напряжениям. Полагая в формуле (6.27) для s_y

Для принятых ранее у и g₁

Следовательно, чтобы у наклонной грани рассмотренной подпор­ной стенки не возникали растягивающие напряжения, необходимо иметь угол b ³ 35°

Расчет балки-стенки

Балкой-стенкой называется конструктивный элемент в виде балки, высота которой соизмерима с длиной перекрываемого пролета. На при­мере расчета неразрезной балки-стенки можно проиллюстрировать применение к решению плоской задачи тригонометрических рядов. Решение дано Б. Н. Жемочкиным [9].

Такая балка-стенка изображена на рис. 27. Она опирается на ряд колонн, расположенных с одинаковым шагом 2l, и несет нагрузку, рав­номерно распределенную по верхней грани. Собственный вес балки-стенки при расчете во внимание не принимается.

Рис 27

Пусть балка-стенка имеет бесконечное число пролетов. Если ис­ключить из рассмотрения крайние пролеты, то все остальные будут находиться в одинаковых условиях. В этом случае ось у, проходящая через ось колонны, является осью симметрии. Для выполнения усло­вий симметрии функцию напряжений j(х, у) следует взять четной по отношению к переменной х, т, е. в формуле (6.18) необходимо сохранить только члены, содержащие cos ax:

 

Попытки удовлетворить всем граничным условиям поставленной задание помощью функций напряжений (а) привели к выводу, что этой функции недостаточно и к ней следует добавить алгебраический поли­ном второй степени. Сохраняя в полиноме только четные члены по от­ношению к переменной х, получаем видоизмененную функцию напря­жений для решения поставленной задачи:

Дифференцируя эту функцию согласно формулам (6.10) и учиты­вая, что объемные силы равны кулю, находим составляющие напря­жений:

(б)

где по-прежнему a = np/l.

Полученные формулы пригодны для всех пролетов рассматривае­мой балки-стенки, так как от прибавления к абсциссе х длины 2l функ­ция косинуса не меняется. Следовательно, в соответствующих точках всех пролетов возникают одинаковые напряжения,

Для определения постоянных, входящих в формулы (б), рассмот­рим граничные условия. Два условия можно записать для верхней грани. Так как эта грань несет нормальную сжимающую нагрузку ин­тенсивностью q, то

(в)

Нижняя грань свободна от нагрузки во всех точках, кроме тех, ко­торые лежат на осях колонн, В них приложены опорные реакции, рассматриваемые как сосредоточенные силы.

Итак, имеем еще два условия:

(г)

Для включения в граничные условия опорных реакций на нижней грани рассмотрим равновесие части балки в пределах одного пролета, отсеченной горизонтальной плоскостью на произвольной высоте у (рис. 28). Из суммы проекций на ось у всех сил, действую­щих на выделенную часть балки, следует пятое усло­вие:

(д)

 

Наконец, шестое условие получаем из рассмотрения вертикальных сечений балки. По характеру внешних нагрузок усилия в них сводят­ся к изгибающему моменту и поперечной силе. Поскольку продольная сила отсутствует, сумма проекций всех сил на ось х равна нулю:

(е)

Подставляя в условия (в)—(е) составляющие напряжений (б), пос­ле интегрирования и приведения подобных членов получаем следую­щую систему уравнений:

(ж)

Из пятого уравнения (ж) находим а₂ = -q. С учетом этого резуль­тата первое уравнение принимает вид

 

Для того, чтобы суммы членов ряда, не зависящих друг от друга равнялась нулю, необходимо и достаточно, чтобы каждый член ряд; равнялся нулю. Поэтому

(з)

Аналогично из второго уравнения (ж) получаем

(и)

а из четвертого -

(к]

Согласно формулам (и) и (к), выражение, стоящее в фигурных скоб­ках шестого уравнения (ж), равно нулю и, следовательно,

с₂ = 0.

Третье из уравнений (ж) после подстановки значения а₂ принима­ет такой вид:

(л)

Для его решения нагрузку q разложим в ряд Фурье, используя извест­ную из математики формулу

которая действительна при Таким образом,

Подставляем этот ряд в формулу (л):

откуда находим А_п = 2q/a²,

После этого, решая совместно систему уравнений (з)—(к), находим остальные постоянные:

 

Учитывая, что дроби для высоких балок-стенок при высоте h_, имеющей порядок 2l, близки к еди­нице, получаем:

Подставляя значения найденных постоянных в формулы (б), нахо­дим

(м)

Здесь гиперболические функции заменены экспоненциальными сог­ласно зависимости

Ряды а формулах (м) сходятся, очень быстро во всех точках, за ис­ключением тех, которые находятся вблизи нижнего края (при малых значениях y.

Рис. 29

Результаты вычислений для балки-стенки высотой h = 2l приведе­ны на рис. 29 в виде эпюр нормальных напряжений s_x для двух верти­кальных сечений (на опоре и посередине пролета) и нормальных напря­жений s_y для двух горизонтальных сечений. Нетрудно убедиться, что эти эпюры заметно отличаются от эпюр, получаемых в сопротивлении материалов.

 

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: