Обоснование принципа Сен-Венана

Принцип Сен-Венана сформулирован в § 1 гл. I. Он использован при рассмотрении граничных условий в задаче об изгибе консоли (см. 6.6 настоящей главы). В расчете балки на двух опорах под действием равномерно распределенной нагрузки этот принцип применен для смягчения граничных условий (см. 6.6). Последняя задача позво­ляет дать количественную оценку принципу Сен-Венана. Из формул (6.25) следует, что на торцах рассмотренной балки, т. е. при х = ±l (см. рис. 22), возникают нормальные на­пряжения

Эпюра этих напряжений на правом торце показана на рис. 30. Максимальное значение достигается при у = h/2:

 

Рис. 30

Рис. 31

Влияние подсчитанных напряжений на напряжения max s_x в раз­личных поперечных сечениях балки иллюстрирует табл. 1. Из нее вид­но, что это влияние по мере удаления от торца очень быстро угасает. Так, в сечении на расстоянии от торца, равном высоте балки, напряже­ния составляют лишь 0, 74% от действующих в этом сечении максимальных напряжений s_x.

Кроме указанных примеров для обоснования принципа Сен-Вена­на можно привести еще решение для узкой прямоугольной пластинки, сжимаемой по коротким сторонам силами Р. На рис» 31 показаны эпю­ры напряжений s_y в трех поперечных сечениях. Сечения взяты на рас­стояниях от нагруженного конца, равных b/4, b/2 и b. Числа на эпю­рах обозначают значения напряжений в долях от среднего напряже­ния s_ср =Р / b - l. Из рисунка видно, что по мере удаления от точки приложения силы эпюры быстро выравниваются и на расстоянии, рав ном ширине пластинки, распределение напряжений становится прак­тически равномерным.

 

Сечение	x = 4, 95 h	x = 4, 75 h	x = 4, 5 h	x = 4 h
	11, 8	2, 66	1, 38	0, 74

 

Сен-Венан сформулировал свой принцип для призмы сплошного сечения, нагруженной сжимающими силами по концам. В дальнейшем этот принцип был распространен на сплошное тело, в малой части ко­торого действует нагрузка, прикладываемая различными способами.

В тонкостенных стержнях и оболочках принцип Сен-Венана сле­дует применять весьма осторожно, а именно только в том случае, ког­да область приложения нагрузки имеет порядок, соизмеримый с тол­щиной элементов сечения.

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Основные уравнения

При решении плоской задачи встречаются тела, ограниченные по­верхностями кругового цилиндра и радиально расходящимися плос­костями. В этих случаях переход от декартовой системы координат к полярной значительно упрощает решение.

 

В полярной системе координат положение любой точки на плоскости определяется двумя величинами: радиус-вектором r и полярным углом q, отсчитываемым от начального радиус-векто­ра r₀. Рассмотрим основные уравнения плоской задачи в полярных координатах: дифференциальные уравнения равновесия, уравнение неразрывности деформаций, формулы Коши и формулы обобщенного закона Гука, Вырежем из пластинки толщиной, равной единице, элемент abcd (рис. 32). Для этого проведем радиус Oab под произвольным углом q к начальному радиус-вектору, затем дадим углу бесконечно малое при­ращение dq и проведем радиус Odc. Произвольным радиусом q = r проведем дугу ad, затем дадим радиусу r приращение ab = dr и проведем вторую дугу — bc. Стороны полученного элемента имеют следую­щие размеры:

На границах элемента действуют следующие составляющие нап­ряжений: s_r — радиальное нормальное напряжение; s_q — тангенциальное нормальное напряжение; t_qr = t_rq — касательные напряжения; R и Q — составляющие объемной силы.

Составим уравнения проекций всех сил на оси r и q:

 

При упрощении учтем, что ввиду малости угла dq можно принять

Тогда, отбрасывая величины третьего порядка малости и деля оба уравнения на площадь элемента dr • rdq, получаем дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи в полярной системе координат:

(7.1)

 

Особенностью этих уравнений по сравнению с условиями равновесия (5.2) для плоской задачи в декартовых координатах является наличие в знаменателе величины r. Чем ближе к началу координат (полюсу) расположена рассматриваемая точка, тем быстрее будут возрастать сла­гаемые, содержащие множитель 1/ r, так как r неограниченно убывает. Поэтому уравнения (7.1) неприемлемы для точек, лежащих вблизи полюса.

Преобразуем к полярным координатам уравнение неразрывности деформаций. В декартовых координатах оно записывалось в виде (6.9)

(a)

Сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикуляр­ным площадкам в плоской задаче является инвариантом. Действи­тельно, подставляя в первый инвариант напряженного состояния (1.12) s_z = 0, получим, что при обобщенном плоском напряженном состоя­нии инвариантной величиной является

При плоской деформации согласно формуле (6.1) напряжение

и инвариантной величиной является

Таким образом, в плоской задаче в каждой точке сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам есть ве­личина постоянная, и можно составить следующее тождество:

Заменяя с его помощью напряжения к формуле (а), получаем урав­нение неразрывности деформаций для плоской задачи в полярной системе координат:

(б)

Однако оператор Лапласа в полярной системе имеет иной вид, чем в декартовой. Заменим в формуле (6.9) декартовы координаты на по­лярные, Для этого на рис. 32 ось х совместим с начальным радиус-век­тором r₀, а ось у направим вниз. В этом случае полярные координа­ты связаны с декартовыми следующими зависимостями;

(7-2)

Дифференцируя эти зависимости по х и у и учитывая, что х/r = = cos q, у/r = sin q, находим

(в)

Вычисляем первые производные по х и у произвольной функции y(r, q):

используя выражения (в), получаем

(г)

Аналогично вычисляем вторые производные той же функции:

(д)

Совместим ось х с радиус-вектором r. В этом случае q = 0 и произ­водные в декартовой системе координат (г) и (д) выразятся через про­изводные в полярной системе следующим образом:

(е)

*

Тогда оператор Лапласа принимает вид

(ж)

Используя это выражение в уравнении (б), получим развернутое уравнение неразрывности деформаций для плоской задачи в полярной системе координат:

(7.3)

Выразим теперь в этой системе геометрические соотношения Коши. Обозначим составляющую перемещения вдоль оси r через u, а вдоль оси q — через v.

На рис. 33 изображен элемент abcd до деформирования и положе­ние точек а₁, b₁ и d₁ после деформирования.

Относительное удлинение в направлении r за счет перемещения и находим аналогично тому, как это сделано в декартовой системе коор­динат (см. § 1 гл. II):

(з)

Относительное удлинение вдоль оси q зависит как от составляю­щей перемещения u, так и от со­ставляющей v. В первом случае

во втором, по аналогии с формулой (з),

Рис. 33

Здесь элемент дуги ds заменен на произведение r¶q. Суммарное удлинение

(и)

Угловая деформация в рассматриваемой плоскости

Где ; ; (к)

Таким образом, геометрические соотношения Коши в полярной системе координат образуют систему уравнений (з), (и), (к):

(7.4)

Формулы закона Гука для обобщенного плоского напряженного состояния в полярных координатах сохраняют такой же вид, как ив декартовой системе [см. соотношения (6.8)], при замене индексов х и у на r и q:

(7.5)

В случае плоской деформации упругие постоянные E и n в форму­лах (7.5) должны быть заменены соответственно на упругие постоянные E₁ и n₁ согласно формулам (6.6).

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: