Простое радиальное напряженное состояние

Для решения плоской задачи в напряжениях в полярной системе координат имеем два уравнения равновесия (7.1) и уравнение нераз­рывности деформаций (7.3). Однако часто приходится иметь дело с на­пряженным состоянием, при котором во всех точках тела действу­ют только радиальные нормальные напряжения s_r. Остальные состав­ляющие напряжений, как и составляющие объемных сил, равны нулю. Такое напряженное состояние называется простым радиальным.

В этом случае одно уравнение равновесия обращается в тождество, а другое уравнение и уравнение неразрывности деформаций значитель­но упрощаются:

(а)

Систему уравнений (а) можно проинтегрировать в общем виде мето­дом Фурье. Для этого представим напряжение s_r, являющееся функ­цией двух переменных r и q, в виде произведения двух функций:

(б)

первая из которых является функцией только одной переменной r, а вторая—только переменной q.

Подставляя функцию (б) в уравнения (а), получаем два обыкновен­ных дифференциальных уравнения с двумя неизвестными функциями j и y:

(в)

Первое уравнение (в) после деления на y дает

откуда после разделения переменных

Интегрируя, получаем

или

Потенцируя, находим функцию

(г)

Для отыскания функции y подставим найденную функцию j во второе уравнение (в):

После деления на дробь С/r³ получаем дифференциальное урав­нение

Его решение представляется в виде

(д)

Подставляя решения (г) и (д) в выражение (б), находим

(е)

Для удобства дальнейших выкладок введем новые произвольные постоянные k и q₀:

Тогда функция (е) примет вид

(7.6)

или, если применить тригонометрическую формулу преобразования косинуса разности двух углов,

Следовательно, простое радиальное напряженное состояние пред­ставляется следующими напряжениями:

(7.7)

Постоянные k и q₀ определяются из граничных условий.

Клин, нагруженный в вершине сосредоточенной силой

Решение (7.7) можно применить к задаче о клине, в вершине кото­рого приложена сила Р произвольного направления (рис. 34). Угол раствора клина равен 2a. Начальный радиус-вектор r₀ совпадает с бис­сектрисой угла. Линия действия силы составляет с начальным радиус-вектором угол b. Покажем, что в этом случае клин находится в простом радиальном напряженном состоянии. Для этого воспользуемся выра­жением напряжения s_r в форме (7.6):

(7.8)

 

и определим постоянные k и q₀, при которых удовлетворяются гра­ничные условия поставленной задачи.

Рис. 34

Исключим из рассмотрения закрепление нижней кромки клина, ко­торое оказывает влияние на распределение напряжений только вбли­зи от места закрепления.

 

Рис. 35

 

На боковых поверхностях клина, т. е. при q = ±a, s_q = t_rq = 0. Из формул (7.8) следует, что это условие тождественно выполняется во всех точках боковой поверхности, кроме полюса О. В полюсе при r = 0 указанные формулы неприемлемы. Для включения в граничные условия силы Р заменим ее на основании принципа Сен-Венана экви­валентной нагрузкой, распределенной по дуге малого радиуса р (рис. 35).

Рассмотрим равновесие элемента клина, отсекаемого дугой произ­вольного радиуса r. Спроецируем все силы, приложенные к этому элементу, на вертикальную и горизонтальную оси. Принимая толщи­ну клина в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, рав­ной единице, получим:

После подстановки напряжения s_r из формул (7.8) при r = r эти условия равновесия преобразуются в следующие:

(а)

Интегрируя, получаем систему двух уравнений для определения постоянных k и q₀:

откуда

Разделив почленно второе уравнение (б) на первое, получаем усло­вие для определения постоянной q₀:

(7.9)

Возведем оба уравнения (б) в квадрат и сложим:

Извлекая корень, находим

(7.10)

Таким образом, удалось удовлетворить граничным условиям и, следовательно, рассматриваемый клин находится в простом радиаль­ном напряженном состоянии. При этом постоянные k и q₀ определяют­ся формулами (7.9) и (7.10).

Сжатие клина

Задачу о сжатии клина сосредоточенной силой, приложенной к его вершине (рис. 36), можно рассматривать как частный случай задачи, разобранной в 7.3, когда q = 0. При этом постоянные q₀ и k согласно формулам (7.9) и (7.10) принимают следующие значения:

(7.11)

 

Внося эти значения в формулы (7.8), получаем такие составляющие напряжений:

(7.12)

Эпюра радиальных напряжений s_r в сечении r = const показана на том же рисунке.

Для исследования напряженного состояния в сжатом клине удоб­но перейти к его поперечным и продольным сечениям. Если ось х сов­местить с осью симметрии клина, а ось у направить вправо, то в попе­речном сечении будут действовать составляю­щие напряжений s_х и t_yx а в продольном - s_y и t_xy .

Связь между составляющими напряжений в декартовой и полярной системах координат для плоской задачи получим из формул (1.7) и (1.10), изменяя в них обозначения соответ­ствующих направлений:

(а)

В этих формулах направляющие косинусы l и m определяют положение оси х по отно­шению соответственно к осям r и q:

(б)

а направляющие косинусы l₁ и m₁ - поло­жение оси у:

Рис. 36

 

После подстановки направляющих косинусов (б) и (в) в формулы (а) получаем

(7.13)

Пользуясь значениями напряжений (7.13), находим

(г)

Перейдем в правой части полученных равенств от полярных коор­динат к декартовым, связь между которыми выражается следующим образом:

(7.14)

Подставляя эти соотношения в формулы (г), получаем

(7.15)

Исследуем выведенные формулы на примере клина с углом a = p/6 рад. В сечении mn, находящемся на расстоянии х₀ от вершины,

. (д)

Эпюры этих напряжений изображены на рис. 36.

Для сравнения приведем решение с позиций сопротивления материалов, где принимают, что при сжатии нормальные напряжения в по­перечном сечении распределены равномерно, а напряжения и отсутствуют:

Сопоставляя эти напряжения с напряжениями (д), заключаем, что нормальное напряжение , получаемое методами сопротивления мате­риалов, отличается от максимального нормального напряжения s_х, получаемого методами теории упругости, на 17%. В случае, когда угол a = p/6 рад, эта разница достигает 36%. Отсюда следует, что методика сопротивления материалов непригодна для расчета сжатых стержней переменного сечения с большим углом раствора a.

Изгиб клина

Задачу об изгибе клина силой, приложенной к его вершине (рис. 37), можно также рассматривать как частный случай задачи, ра­зобранной в 7.3, при b = p/2. Придерживаясь той же последовательности, что и в предыдущем параграфе, находим значения постоянных:

и составляющих напряжений:

(7, 16)

Эпюра радиальных напряжений s_r в сечении r = const показана на указанном рисунке.

Рис. 37

Переходя с помощью формул (7.14) и (7.15) к декартовой системе координат, находим

Их эпюры также показаны на рис. 37.

Для сравнения приведем решение, получаемое методами сопротив­ления материалов:

(7.18)

Эпюры этих напряжений при том же значении угла a представлены на рис. 38.

Сравнивая соответствующие эпюры на рис. 37 и 38 замечаем, что они значительно отличаются друг от друга. Эпюра нормальных на­пряжений s_x построенная по формулам (7.17), криволинейная, а эпю­ра напряжений , построенная по формулам (7.18), прямолинейная, причем максимальные значения напряжений отличаются на 17%. С увеличением угла a эта разница возрастает.

Эпюры касательных напряжений и t_xy вообще не имеют ничего общего. Нормальные напряжения по всему сечению равны нулю, а максимальное значение нормального напряжения s_у для исследуе­мого угла а составляет около 22% от максимального значения нормаль­ного напряжения s_х.

Рис. 38

 

С уменьшением угла а расхождение между решениями теории уп­ругости и сопротивления материалов также уменьшается. Следова­тельно, методика сопротивления материалов пригодна лишь для ма­лых углов.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: