Действие сосредоточенной сипы, приложенной к границе полуплоскости

На рис. 39 изображена упругая среда, ограниченная плоскостью АВ и простирающаяся неограниченно вниз. В точке О приложена си­ла Р, перпендикулярная плоскости АВ. В случаях плоской задачи рас­сматриваемая среда называется упругой полуплоскостью. Таких слу­чаев может представиться два. Если протяженность среды в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, весьма мала, то возникает обобщенное плоское напряженное состояние. Если же протяженность среды в указанном направлении велика, то имеем дело с плоской де­формацией и в этом случае сила Р представляет собой нагрузку, рав­номерно распределенную вдоль прямой, перпендикулярной плоскости чертежа.

Полуплоскость можно рассматривать как разновидность клина при угле раствора 2a = p. Полагая также q = 0, так как сила Р на­правлена вдоль оси х, из формул (7.11) получаем постоянные q₀ = 0, k = 2Р/p.

Подставляя эти значения в формулы (7.12), находим напряжения в точках упругой полуплоскости:

(7.19)

Французским ученым Ж. Буссинеском предложено следующее графическое представление напряженного состояния внутри полуплоскости: если провести окружность, касающуюся границы полу­ плоскости в точке приложения нагрузки P, то эта окружность будет представлять собой геометрическое место точек с одинаковыми радиальными напряжениями s_r (круг Буссинеска). Докажем это положение.

На рис. 39 окружность диаметром OD, равным d касается границы полуплоскости АОВ в точке О. Радиус-вектор, проведенный в произ­вольную точку С, равен r. Из тригонометрических соотношений в пря­моугольном треугольнике OCD следует, что r = d cos q, откуда cos q/r = l/d. Используя это соотношение в первой формуле (7.19), получаем

(7.20)

Таким образом, во всех точках указанной окружности радиальные напряжения s_r одинаковы.

Формулы (7.19) можно применять для определения напряжений в основании фундамента. Хотя грунт основания чаще всего не обладает упругими свойствами, при небольших внешних давлениях практичес­ки для всех грунтов можно принимать линейную зависимость между деформациями и напряжениями и использовать уравнения теории уп­ругости.

В инженерной практике при расчете фундаментов необходимо знать распределение напряжений в толще грунта по горизонтальному и вер­тикальному сечениям, поэтому в рассмотренной задаче перейдем от напряжений в полярной системе координат к напряжениям в декартовой системе. Подставляя значения напряжений (7.19) в формулы (7.13), получаем:

или, используя формулы перехода (7.14) от одной системы координат к другой,

(7.21)

Эпюры нормальных s_х и касательных t_xy напряжений для двух го­ризонтальных сечений показаны на рис. 40, а, б. На рис. 40, в изобра­жены эпюры нормальных напряжений s_у для двух вертикальных се­чений.

Нормальные напряжения s_х, действующие в горизонтальных се­чениях, достигают максимума под силой Р и затухают при удалении от линии ее действия как в ширину, так и в глубину.

Касательные напряжения t_ху под силой равны нулю, на некотором расстоянии от линии ее действия достигают максимума, а затем посте­пенно затухают. По мере углуб­ления максимум смещается все дальше от оси х. Также как t_ху ведут себя и нормальные напря­жения s_y достигающие макси­мального значения на том же расстоянии, но по глубине.

Решение для сосредоточенной силы можно распространить на случай любой сплошной распре­ деленной нагрузки (рис. 41). Если интенсивность нагрузки в данной точке равна q, то равнодействующая нагрузки на беско­нечно малой длине dy составляет qdy. Размер dy в полярной системе координат имеет вид

Здесь знак минус появляется потому, что при возрастании у угол q убывает. Тогда элементарную нагрузку на участке dy можно пред­ставить как

Внося это значение в формулы (7.19), получаем напряжения в точке М от бесконечно малой силы dP, приложенной в произвольной точке на границе полуплоскости:

С помощью формул (7.13) переходим к напряжениям, возникающим от бесконечно малой силы dP на горизонтальных и вертикальных пло­щадках, проходящих через ту же точку М:

Если нагрузка q распределена вдоль оси у от точки А до точки В и угол q изменяется в этих границах от q₁, до q₂, то, суммируя напряжения от каждой элементарной силы dP, получаем напряжения в точке М от всей распределенной нагрузки:

(7.22)

Чтобы проинтегрировать выражения (7.22), нагрузку q необходимо представить в виде функции угла q. В случае равномерно распределен­ной нагрузки интегрирование значительно облегчается, так как q = const. В результате получаем

(7.23)

⇐ Предыдущая6789101112131415

Поделиться: