Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ



Рассмотрим некоторые основные понятия и определения, необходимые для синтеза систем автоматического управления и расчета корректирующих устройств.

Передаточная функция. Обратимся к линейной САУ, на входе которой дей­ствует сигналx(t), а на выходе - сигналy(t) (рисунок 1.1).

 

 

Рисунок 1.1 - Условное представление САУ в координатах " вход/выход"

 

В общем случае такая система может быть описана линейным дифференци­альным уравнением вида:

(1.1)

где n - порядок уравнения системы.

Преобразуем это уравнение по Лапласу. Прямое преобразование Лапласа зак­лючается в замене некоторой функции времени f(t), называемой оригиналом, функцией комплексной переменной F(p) изображением

(1.2)

Для перехода от изображенияF(p) к оригиналу f(t) используется обратное преобразование Лапласа

(1.3)

где с - положительная константа.

Применим прямое преобразование Лапласа к (1.1)

Учитывая, что , получим уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение в изображениях по Лапласу:

(1.4)

Вынося Х(р) и Y(p) за скобки, перепишем это уравнение так:

(1.5)

Из (1.5) получим отношение:

(1.6)

где n≥ m (для физически реализуемых систем).

Это отношение называется передаточной функцией (ПФ) линейной систе­мы. Таким образом, передаточная функция САУ может быть определена как от­ношение изображения по Лапласу выходного сигнала системы к изображению по Лапласу входного сигнала системы при нулевых начальных условиях.

Существуют системы, в которых часть коэффициентов знаменателя в выра­жении (1.6) равна нулю (b0=b1=…=bν -1=0). В этом случае передаточная функ­ция может быть представлена в следующем виде:

(1.7)

где - коэффициент усиления САУ, v - порядок астатизма, опреде­ляемый количеством интегрирующих звеньев, входящих в САУ.

Для статических систем (v=0) коэффициент усиления безразмерный. Для систем с астатизмом первого порядка (v=1) .

При решении задач синтеза передаточную функцию системы удобно пред­ставлять в виде произведения сомножителей типа (1+ Тр):

(1.8)

Если знаменатель или числитель (1.6) содержит комплексные корни, то в (1.8) появятся сомножители вида , где - показатель зату­хания или коэффициент демпфирования.

Формула (1.8) особенно удобна при построении логарифмических частот­ных характеристик.

Частотные характеристики. Кроме передаточной функции любая линейная САУ может быть охарактеризована частотными характеристиками. Для получе­ния частотных характеристик используется преобразование Фурье, которое свя­зывает функцию времениf(t) с ее частотным изображениемF(jω ) выражения­ми

(1.9)

(1.10)

где F и F-1 - обозначения операций прямого и обратного преобразования Фурье.

Преобразуем дифференциальное уравнение (1.1) по Фурье:

(1.11)

Учитывая, что , из (1.11) получим:

(1.12)

Из уравнения (1.12) можно получить отношение:

13)

Функция W(jω ) называется комплексным коэффициентом передачи (ККП) линейной САУ. Таким образом, комплексный коэффициент передачи линейной САУ может быть определен как отношение изображения по Фурье выходного сигнала системы к изображению по Фурье входного сигнала системы.

ФункцииY(jω ) и X(jω ) принято называть спектрами функции y(t) и x(t). В соответствии с этим, комплексный коэффициент передачи можно определить как отношение спектров выходного и входного сигналов САУ.

Комплексный коэффициент передачи, как любая комплексная функция, может быть представлен в алгебраической и показательной формах. В алгебраи­ческой форме комплексный коэффициент передачи записывается в виде:

(1.14)

где P(ω ) - вещественная составляющая комплексного коэффициента передачи, называемая вещественной частотной характеристикой (ВЧХ);

Q(ω ) - мнимая составляющая, называемая мнимой частотной характеристи­кой (МЧХ).

В показательной форме комплексный коэффициент передачи записывается в виде:

(1.15)

где - модуль комплексного коэффициента передачи, называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) САУ;

- аргумент ККП, называемый фазочастотной характерис­тикой (ФЧХ) САУ.

Для перехода от одной формы записи к другой используются следующие со­отношения:

(1.16)

Геометрическое место концов векторов комплексного коэффициента пере­дачи при изменении частоты от нуля до бесконечности называется частотным годографам или амплитудно-фазовой частотной характеристикой звена (АФЧХ). Эту характеристику можно построить в декартовой и полярной системах коорди­нат. Обычно полярную систему координат совмещают с декартовой. За полюс принимается начало декартовых координат, а за полярную ось - положительная вещественная ось. Для построения АФЧХ в декартовой системе координат ком­плексный коэффициент передачи представляют в алгебраической форме (1.14). По оси абсцисс откладывается вещественная часть Р(ω ) и по оси ординат - мни­мая частьQ(ω ). Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные точки соединяются плавной кривой. Около нанесенных точек ука­зываются соответствующие им частоты. Для построения АФЧХ в полярной сис­теме координат комплексный коэффициент передачи представляют в показатель­ной форме (1.15). Задаваясь различными значениями частоты, строят вектор в полярной системе координат, длина которого определяется модулемА(ω ), а угол его поворота относительно полярной оси - аргументомφ (ω )комплексного ко­эффициента передачи системы. Пример построения амплитудно-фазовой час­тотной характеристики показан на рисунке 1.2.

 

Рисунок 1.2 - К построению частотного годографа

Вместо амплитудно-фазовой частотной характеристики можно построить отдельно АЧХ и ФЧХ. Это построение показано на рисунке 1.3.

Фактически АЧХ представляет собой кривую зависимости модуля комплек­сного коэффициента передачиА(ω ) от угловой частотыω. Она показывает, как система преобразует сигналы различной частоты и определяется отношением амплитуд выходного и входного сигналов (координат). С практической точки зрения, АЧХ - это зависимость коэффициента усиления (преобразования) САУ от частоты:

где постоянная на всех частотах амплигуда входного гармонического сиг­нала;

амплитуда соответствующей реакции САУ, т.е. гармонического колебания выходной координаты (различная на разных частотах).

Физическая размерность АЧХ может быть разной. Например, если выход­ной координатой САУ является температура воздуха в помещении ( ) а входное воздействие на систему задается в виде напряжения ( ), то .

Если же, к примеру, выходной координатой является скорость вращения вала электродвигателя ( ), а в качестве задающего воздействия фигурирует давление газа ( ), то .

Для большинства же чисто электронных системA(ω ) безразмерна, т.к. вы­ходная и входная координаты (или сигналы) измеряются в одинаковых единицах (В, А, Вт).

Рисунок 1.3 - К построению АЧХ и ФЧХ

Фазочастотная характеристика представляет собой кривую зависимости ар­гумента комплексного коэффициента передачиφ (ω ) от частоты ω, и показывает, как изменяется сдвиг по фазе между выходным и входным гармоническим сигналом на различных частотах.

Можно построить отдельно также вещественную и мнимую частотные ха­рактеристики по аналитическим выражениям для Р(ω ) и Q(ω ) (см. рисунок 1.4).

Вещественная частотная характеристика представляет собой кривую зави­симости вещественной части ККП Р(ω ) от частотыω, а мнимая частотная ха­рактеристика - зависимость мнимой части ККПQ(ω ) от частоты.

Следует подчеркнуть, что в отличие от других частотных характеристик (ККП, ВЧХ, МЧХ), только АЧХ и ФЧХ можно интерпретировать физически и опреде­лить экспериментально.

При исследовании систем автоматического управления АЧХ и ФЧХ удобно строить в логарифмических координатах. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, при этом возможна замена точных логарифмических амплитудно- частотных характеристик отрезками прямых - асимптотами. Во-вторых, логариф­мическая частотная характеристика цепочки последовательно соединенных зве­ньев получается сложением характеристик отдельных звеньев, что имеет перво­степенное значение при синтезе последовательных корректирующих устройств.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) строится в виде зависимости от . Величина обозначается

.

 

Рисунок 1.4 - К построению ВЧХ и МЧХ

(1.17)

В качестве единицы измерения этой величины используется децибел (дБ), равный одной десятой бела (Б). Бел представляет собой относительную логарифмическую единицу, соответствующую увеличению мощности в 10 раз. Учитывая, что мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, можно опре­делить бел через отношение амплитуд сигналов. Поясним это следующим обра­зом. Если мощность выходного сигнала САУ в десять раз больше мощности вход­ного сигнала, то

Так как бел слишком большая единица, то удобнее пользоваться производ­ной единицей - дБ. Поскольку же 1 Б = 10 дБ, то величина, имеющая размер­ность в дБ, должна записываться так:

При увеличении отношения амплитуд в десять раз отношение мощностей увеличивается в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в выражении (1.17) стоит множитель 20.

Запись выражения (1.17) нуждается еще в одной существенной оговорке, так как логарифмировать можно только безразмерную величину. Но выше отмеча­лось, чтоА(ω ) может иметь различную размерность. В этой связи более коррект­на запись:

где А0 - эталонная величина, принимаемая за единицу ( и т.п.)

Такое же замечание относится и к величине . Угловая частотаω имеет размерность и, строго говоря, не может логарифмироваться. Поэтому под ω следует понимать относительную угловую частоту в соответствии с выра­жением

где истинное (размерное) значение угловой частоты;

эталонная частота, равная

фактически относительная частота, совпадающая по величине с истин­ной.

Логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ) строится в полу­логарифмических координатах в виде зависимостиω от lgω , чтобы обе характе­ристики были связаны одним масштабом на оси абсцисс.

Для построения JIAЧX и ЛФЧХ используется стандартная сетка (рисунок 1.5). По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т.е. наносятся отметки, соответствующие lgω , а около отметок пишется само значе­ние частотыω в рад/с (в свете сделанного выше замечания относительно размер­ности логарифмируемых величин, здесь имеется в виду ). Единица при­ращения логарифма соответствует одной декаде, т.е. изменению частоты в 10 раз.

По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дБ). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точ­ку 0 дБ, что соответствует значению модуляА(ω ) = 1.

Ось ординат может пересекать ось частот в произвольном месте, так как точка ω =0 лежит на оси частот слева в бесконечности. Поэтому ось ординат проводят левее самой малой сопрягающей частоты ЛАЧХ.

Для построения ЛФЧХ используется та же ось абсцисс. По оси ординат от­кладывается фаза в градусах в линейном масштабе. Допускается оцифровывать эту ось и радианах.

Рисунок 1.5 - Оси для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ

На практике часто используются упрощённые или асимптотические ЛАЧХ.

Рассмотрим построение асимптотической JIAЧX на примере апериодического звена первого порядка.

Передаточная функция звена имеет вид

(1.18)

где k коэффициент усиления звена;

Т - постоянная времени.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика строится по выра­жению

(1.19)

Построение асимптотической ЛАЧХ показано на рисунке 1.6. На стандартной сет­ке проводим вертикальную прямую через точку с частотой , называемой частотой перегиба. Для частот меньших, чем частота перегиба, т.е. , можно пренебречь вторым слагаемым под корнем в выражении (1.19). Тогда

т.е. .

Этому выражению соответствует прямая линия, параллельная оси частот и про­ходящая на уровне 20lg k (прямая ab). Это и есть первая асимптота.

Для частот больших, чем частота перегиба можно пренебречь под корнем единицей по сравнению с в выражении (1.19). Тогда

т.е.

 

Рисунок 1.6 - ЛАЧХ апериодического звена первого порядка

В этом случае характеристика представляет собой прямую, имеющую наклон - 20 дБ/дек (прямая bc). Эта линия является второй асимптотой. Действительно, при увеличении ω на декаду, т.е. в 10 раз,

Таким образом, величина L(ω ) уменьшилась на 20lg10, т.е. на 20 дБ.

Ломанная линия abc называется асимптотической ЛАЧХ. Действительная ЛАЧХ (показана на рисунке 1.6 пунктиром) будет несколько отличаться от асимпто­тической, причем наибольшее отклонение будет в точке перегиба . Оно не должно превышать 3 дБ. На всем остальном протяжении влево и вправо от частоты перегиба действительная JIAЧX должна мало отличаться от асимптоти­ческой (< < 3 дБ). Поэтому во многих практических расчетах достаточно ограни­читься построением асимптотической ЛАЧХ.

Временные характеристики применяют для оценки динамических свойств САУ. В теории автоматического управления в зависимости от вида входного воз­действия различают переходную характеристику (ПХ) и импульсную переходную функцию (ИПФ).

Переходная характеристика h(t) представляет собой переходный процесс на выходе САУ, возникающий при подаче на вход единичного ступенчатого воздей­ствия x(t) = 1(t), что соответствует х = 0 приt 0 и x =1 приt > 0. Это иллюстри­руется рисунок 1.7.

Переходная характеристикаh(t) может быть определена через передаточную функцию с помощью обратного преобразования Лапласа. Учитывая, что получим

(1.20)

Рисунок 1.7 - К определению переходной характеристики

Импульсная переходная функция g(t) или функция веса представляет собой реакцию системы на входное воздействие в виде δ - функции Дирака (рисунок 1.8). δ -функция Дирака называется единичным импульсом, так как она имеет еди­ничную площадь при бесконечно большой амплитуде и бесконечно малой дли­тельности.

Математически δ - функцию можно записать так:

При этом согласно определению

Импульсная переходная функцияg(t) может быть также определена по пе­редаточной функцииW(p) с помощью обратного преобразования Лапласа

(1.21)

Кроме того ИПФ g(t ) может быть получена дифференцированием по времени переходной характеристикиh(t)

(1.22)

Связь временных характеристик с частотными устанавливается с помощью следующих формул:

Рисунок 1.8 - К определению импульсной переходной функции

(1.23)

Точность регулирования САУ в установившемся режиме. Качество работы лю­бой системы управления определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым и действительным значениями регулируемой величины:

Для оценки точности САУ используется величина установившейся ошибки в раз­личных типовых режимах. Рассмотрим некоторые из них.

1. Неподвижное состояние. В качестве типового режима рассматривается ус­тановившееся состояние при постоянных значениях задающего и возмущающе­го воздействий. Ошибка системы в этом случае называется статической (ε ст).

Рассмотрим САУ, в которой возмущения отсутствуют, а входное воздействие представляет собой ступенчатую функцию x(t)=A∙ 1(t). В этом случае ошибка си­стемы будет представлять собой статическую ошибку по входному воздействию (ε xст) Для статических систем она определяется следующим образом:

где Kр - коэффициент усиления разомкнутой САУ.

Наличие статической ошибки в САУ иллюстрируется рисунком 1.9.

Для астатических систем ε xст=0.

На основе этого можно сформулировать понятие астатизма как свойства САУ.

Астатизм - это свойство системы отрабатывать внешнее воздействие с нуле­вой статической ошибкой.

Следует отметить, что словом " астатизм" часто называют не свойство САУ, а ее численную характеристику, более точно именуемую порядком астатизма [1, 3].

2. Движение с постоянной скоростью. В качестве второго типового воздей­ствия используется режим движения системы с постоянной скоростьюv=const, который наблюдается в установившемся состоянии при изменении входного воз­действия по закону , где v=const.установившаяся ошибка в этом случае носит название скоростной ошибки (ɛ ск).

Для систем с астатизмом первого порядка скоростная ошибка равна отно­шению скорости изменения входного воздействия к коэффициенту усиления разомкнутой системы

(1.25)

Заметим, что коэффициент усиления в этом случае часто называют доб­ротностью САУ по скорости.

Графически наличие скоростной ошибки иллюстрируется рисунком 1.10.

 

Рисунок 1.9 - К определению основных показателей качества регулирования: узад - заданное значение выходной координаты; ууст - установившееся значение выходной координаты; ɛ ст- статическая ошибка; утах - максимальное значение выходной координаты в процессе регулирования

У статических систем ; при астатизме выше первого порядка ε xст=0. Поэтому режим движения с постоянной скоростью, как правило, используется для оценки точности систем с астатизмом именно первого порядка.

Для исследования точности САУ используются также такие типовые воздей­ствия как движение с постоянным ускорением и гармоническое воздействие [1, 2, 4, 7].

Показатели качества переходного процесса. Применяются для оценки быст­родействия и запасов устойчивости САУ. Определяются по виду переходной ха­рактеристикиh(t ) и характеризуют поведение системы только в переходном ре­жиме.

Важнейшим показателем являетсяперерегулирование. Оно характеризует склонность системы к колебаниям, а следовательно, и запас устойчивости. Оп­ределяется перерегулирование по кривой переходного процесса, вызванного при­ложением на вход системы скачка управляющего воздействия номинальной ам­плитуды. С учетом обозначений на рисунке 1.9 формула для нахождения перерегули­рования имеет вид:

(1.26)

Допустимое перерегулирование для той или иной системы автоматического управления устанавливается исходя из свойств объекта управления и особеннос­тей технологического процесса, в котором используется система. В большинстве случаев считается, что запас устойчивости является достаточным, если величина перерегулирования не превышает 10÷ 30 %. Однако в некоторых случаях требует­ся, чтобы переходный процесс протекал вообще без перерегулирования, т.е. был монотонным. В ряде случаев допускается перерегулирование 50÷ 70 %.

Рис. 1.10. К определению скоростной ошибки САУ.

 

Другим важнейшим показателем являетсявремя регулирования (установле­ния) tуст. Оно характеризует быстродействие системы и определяется как время, протекающее от момента приложения на вход системы номинального ступенча­того воздействия до момента, после которого имеет место неравенство

где данное значение отклонения процесса от абсолютно установившего­ся значения , определяющее точность нахождения tуст.

Если величина оговаривается, то принимаем от .

Допустимое значение времени регулирования определяется особенностями технологического процесса, в котором применяется САУ.

Рассмотренные показатели качества переходного процесса иллюстрируют­ся рисунке 1.9.

Существуют также другие показатели качества переходного процесса. На­пример, интегральные оценки [1, 4, 5] или показатели, основанные на корневых методах анализа особенностей динамики САУ [2, 6, 7].


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 2710; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.062 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь