ЧАСТОТНАЯ КОРРЕКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

В инженерной практике более широкое применение нашел первый способ. Это связано с более наглядной физической интерпретацией, как самой постанов­ки задачи, так и основных этапов решения. Поэтому материал настоящего посо­бия ориентирован именно на такой подход.

ПРИМЕР СИНТЕЗА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА ДЛЯ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Произведем синтез последовательного корректирующего устройства для про­стейшей одноконтурной системы управления электроприводом постоянного тока. Структурная схема такой САУ представлена на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 - Структурная схема системы автоматического управления двигате­лем постоянного тока

Входным сигналом x(p) в данном случае будет управляющее напряжение, а выходным сигналом y(p)(илирегулируемым параметром) - скорость вращения вала двигателя ω.

На рисунке 5.1 приняты следующие обозначения:

- передаточная функция регулятора скорости;

- передаточная функция силового преобразователя (например, тиристорного преобразователя), где - коэффициент усиления пре­образователя, , - постоянная времени силового преобразователя;

- передаточная функция датчика скорости (тахогенератора по­стоянного тока), где В∙с - коэффициент усиления датчика;

- передаточная функция двигателя постоянного тока с внутренним возбуждением, управляемого по якорной цепи, где - управляю­щее якорное напряжение, - коэффициент усиления двигателя, - электро­механическая постоянная времени двигателя.

Необходимо синтезировать корректирующее устройство последовательного типа, обеспечивающее необходимые показатели качества, при следующем задании:

В - номинальное напряжение двигателя;

кВт - номинальная мощность двигателя;

об/мин - номинальная частота вращения двигателя;

= 7 А - номинальный ток в цепи якоря;

Ом - номинальное активное сопротивление якорной цепи;

кг∙м² - приведенный к валу двигателя суммарный момент инер­ции.

В результате синтеза необходимо получить следующие показатели качества:

- при изменении управляющего напряжения с постоянной скоростью, рав­ной 10 В/с скоростная ошибка системы не должна превышать 0,2 В, т.е. В;

- перерегулирование при номинальном ступенчатом воздействии на входе не должно превышать величины ;

- время регулирования при аналогичном воздействии не должно превышать значения с.

Производим синтез корректирующего устройства в следующей последова­тельности:

I. Конкретизируем передаточную функцию двигателя. Для этого определим значения коэффициента усиления и электромеханической постоянной вре­мени .

1. Вычислим номинальную угловую скорость вращения вала двигателя:

. (5.1)

2. Определим конструктивную постоянную двигателя:

(5.2)

Для более точных расчетов в ряде случаев используют два значения постоян­ных двигателя: постоянную по моменту и постоянную по противо-ЭДС . При этом постоянную двигателя по противо-ЭДС определяют по формуле (5.2) аналогично определению конструктивной постоянной, а постоянную по момен­ту определяют из выражения:

(5.3)

где - номинальный вращающий момент двигателя, определяемый

(5.4)

Следует отметить, что теоретически в системе СИ Однако при использовании упрощенной формулы (5.3) и формулы (5.2) строгое равенство может не наблюдаться.

3. Определим искомые параметры и :

; , (5.5)

или, используя значения постоянных и :

; . (5.6)

Для рассматриваемого примера воспользуемся упрощенными формулами и определим и из выражений (5.5):

с, .

Теперь передаточные функции всех элементов нескорректированной систе­мы управления полностью определены.

II. Приведем заданную структурную схему САУ к структуре с единичной об­ратной связью. Это необходимо сделать в связи с тем, что все теоретические све­дения, изложенные в главе 3, справедливы для САУ с единичной обратной свя­зью. После преобразования получим структурную схему, изображенную на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2 - Структурная схема САУ двигателем постоянного тока, приведенная к единичной обратной связи

В дальнейшем будем рассматривать замкнутую систему без учета звена с пе­редаточной функцией . Это допустимо, т.к. датчик скорости моделируется безынерционным элементом с передаточной функцией и, следова­тельно, звено с передаточной функцией может только масштабировать выходную координату САУ, не меняя динамических параметров. Запишем пере­даточную функцию разомкнутой нескорректированной системы

(5.7)

Для рассматриваемого примера

III. Определим требуемый коэффициент усиления разомкнутой системы, при котором , обеспечивается заданная точность в установившемся режиме. Этот коэффициент, называемый добротностью по скорости, определяется по за­данной скоростной ошибкеε_ск . Для рассматриваемого примера скорость изме­нения управляющего напряжения v=10 В/с. Следовательно, коэффициент уси­ления скорректированной системы, необходимый для обеспечения В,будет равен:

IV. Строим ЛАЧХ разомкнутой нескорректированной системы с учетом требуемого коэффициента усиления . Для этого предварительно находим:

дБ,

и частоты перегиба

; ;

; .

Откладываем при ординату дБ, и через точку с этой ординатой проводим низкочастотную асимптоту с наклоном -20 дБ/дек до . Начиная с частоты будут проявляться свойства апериодичес­кого звена с передаточной функцией , значит при этой частоте изменяем наклон ЛАЧХ на -20 дБ/дек. Начиная с частоты , ЛАЧХ нескорректированной системы будет иметь наклон -60 дБ/дек (в соответствии с проявле­нием свойств апериодического звена с передаточной функцией ).

ЛАЧХ исходной нескорректированной системы изображена на рисунке 5.3.

V. По логарифмическому критерию устойчивости оцениваем устойчивость исходной нескорректированной системы. Для этого по найденной передаточной функции разомкнутой САУ (5.7) строим ЛФЧХ системы

По результатам построений, показанным на рисунке 5.3, можно сделать вывод что система устойчива, т.к. линия пересекает ось "раньше", чем кривая пересекает линию -180°.

VI. Теперь для выбора корректирующего устройства, обеспечивающего за­данные динамические свойства системы, строим желаемую ЛАЧХ .

1. Определяем параметр ВЧХ, соответствующий заданному значению перерегулирования . Для этого задаемся значением перерегулирования , выбираем По графику изображенному на рисунке П.1.1, определяем максимальное значение ВЧХ, соответствующее выбран­ному значению , . Теперь находим минимальное значение ВЧХ по (3.5)

Проверяем правильность выбранного нами значения подсчетом общего пере­регулирования по (3.6)

Получаем значение перерегулирования, соответствующее заданному . Следовательно, выбрано верно.

2. Определяем частоту положительности исходя из требуемого времени регулирования и перерегулирования . Частоту находим с помощью графика изображенного на рисунке П.1.1, при и заданном c

;

3. Выбираем частоту среза желаемой ЛАЧХ по найденному значению

Выбираем частоту среза

с

4. Наносим на ось частот. Через эту точку проводим среднечастотную асимптоту с наклоном -20 дБ/дек.

5. Для определения граничных частот среднечастотной асимптоты строим области запрета для ЛАЧХ и ЛФЧХ системы. Для этого находим по графику зависимости запасов устойчивости по амплитуде и фазе от величины перерегулирования (рисунок П.1.2) значения дБ и ∆φ, соответствующие заданной величине перерегулирования =33%. Из графиков получаем значения ∆L=14 дБ; = 30°. Граничные частоты среднечастотной асимптоты и определяем графически по уровню ±2 дБ по отношению к ±∆L (3.9):

с ; с .

На этом построение среднечастотной асимптоты заканчиваем.

6. За низкочастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ принимаем низкочастотную асимптоту нескорректированной системы с требуемым коэффициентом усиления . При этом будет достигнута требуемая точность в установившемся режиме. Высокочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ совпадает с высокочастотной асимптотой ЛАЧХ нескорректированной системы.

7. Производим сопряжение построенных участков желаемой ЛАЧХ следующим образом: сопрягаем низкочастотную асимптоту со среднечастотной прямолинейным отрезком с наклоном -40 дБ/дек; среднечастотную с высокочастотной - отрезком с наклоном -20 дБ/дек.

8. После формирования желаемой ЛАЧХ проверяем обеспечивается ли требуемое значение запаса устойчивости по фазе, определенное из графика на рисунке П.1.2 (в нашем случае = 30°). Для этого рассчитываем фазовый сдвиг в двух крайних точках среднечастотной асимптоты и . Расчет фазового сдвига делаем на основании передаточной функции желаемой системы, определенной по построенной желаемой ЛАЧХ

,

где

Фазочастотная характеристика желаемой системы имеет вид

Подсчитываем запас устойчивости по фазе в точке с

.

Находим запас устойчивости в точке с

.

Так как запас устойчивости по фазе в граничных точках получился не меньше заданного ( ), то можно принять построенную желаемую ЛАЧХ за ЛАЧХ скорректированной системы.

VII. Определяем требуемую передаточную функцию корректирующего устройства и его электрическую схему.

1. Определяем ЛАЧХ корректирующего устройства, которая получается вычитанием ординат ЛАЧХ нескорректированной системы из ординат желаемой ЛАЧХ (3.3). Полученная ЛАЧХ корректирующего устройства показана на рисунке 5.3. Для окончательного формирования ЛАЧХ КУ необходимо переместить полученную характеристику вдоль оси ординат на

дБ.

ЛАЧХ требуемого корректирующего устройства изображена на рисунке 5.3 и отдельно на рисунке 5.4.

2. По полученной ЛАЧХ корректирующего устройства восстанавливаем его передаточную функцию

где ;

c;

c;

c;

c - постоянные времени корректирующего устройства, определенные по графику (рисунок 5.3).

3. Так как корректирующее устройство должно уменьшать коэффициент усиления разомкнутой системы, то для его схемной реализации можно выбрать пассивное корректирующее устройство из таблицы П.2.1. Так как требуемая ЛАЧХ в таблице отсутствует, то выбираем близкую к ней ЛАЧХ инерционно-форсирующего звена (рисунок 5.5).

Рисунок 5.4 - К выбору корректирующего устройства

Передаточная функция звена

,

где ; ;

Фазочастотная характеристика

Рисунок 5.5 - Принципиальная электрическая схема и ЛАЧХ инерционно-форсирующего звена

Очевидно, что требуемая передаточная функция корректирующего устройства может быть получена из табличной путем умножения на постоянный коэффициент , который обеспечивается введением в схему делителя напряжения. Принципиальная электрическая схема такого устройства представлена на рисунке 5.6.

При соединении делителя напряжения с корректирующим звеном необходимо следить затем, чтобы нижнее плечо делителя ( ) не оказалось зашунтированным элементами звена. При практическом исполнении схемы необходимо учитывать, что .

4. Определяем величины сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов, входящих в электрическую схему корректирующего устройства.

Рисунок 5.6 - Принципиальная электрическая схема корректирующего устройства

Выражая постоянные времени полученного нами корректирующего устройства через номиналы резисторов и конденсаторов, можно составить систему уравнений для определения этих величии

Так как имеется четыре неизвестных параметра и три уравнения связи между ними, то для определения номиналов резисторов и конденсаторов зададимся значением одного из них. Примем кОм, тогда

мкФ; кОм; мкФ

Для практического исполнения корректирующей цепи выбираем из стандартного ряда (см. приложение 4) следующие номинальные значения:

=6,2 мкФ (ряд Е24), = 240 кОм (ряд Е24), =0,1 мкФ(ряд Е24).

Для определения номиналов резисторов делителя напряжения и используем следующие соотношения:

Выберем = 2+10 кОм = 6 кОм, исходя из того, что регулятор в данной схеме управления реализуется на операционном усилителе, и делитель напряжения оказывается включенным на его выходе. Для нормальной работы регулятора входное сопротивление делителя выбирается не меньше 1 кОм. Рекомендуется брать в диапазоне 2¸10 кОм. Теперь определяем номиналы резисторов по полученным выше соотношениям:

кОм; кОм.

Для практического исполнения делителя принимаем в соответствии со стандартным рядом 3,3 кОм, 2,7 кОм, (в соответствии с рядом Е24).

VIII. Строим логарифмическую фазочастотную характеристику скорректированной системы. Для этого определяем выражение для ЛФЧХ системы

Учитывая, что , получим

Результаты построений приведены на рисунке 5.3.

Из анализа логарифмической амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик разомкнутой скорректированной системы (рисунок 5.3) можно сделать вывод, что соответствующая замкнутая система устойчива и обладает запасами устойчивости по амплитуде дБ и по фазе ∆φ= 78°.

IX. Записываем передаточную функцию скорректированной системы в разомкнутом состоянии

Учитывая, что Т_сп<<Т_ку1и , передаточную функцию можно упростить и записать в виде:

X. Определяем передаточную функцию скорректированной системы управления в замкнутом состоянии

На этом синтез САУ электроприводом постоянного тока заканчивается.

6. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ"

1. Произвести синтез последовательного корректирующего устройства по ло­гарифмическим частотным характеристикам для обеспечения заданных показа­телей качества системы автоматического управления электроприводом постоян­ного тока (рисунок 5.1).

2. Рассчитать кривые переходных процессов в скорректированной системе при поступлении на вход сигналов и . Под номиналь­ной амплитудой следует понимать уровень задающего сигнала, соответству­ющий номинальной скорости или номинальному углу поворота вала двигателя ( или ). Для расчета кривых использовать программу «MatLab».

3. Произвести оценку показателей качества переходных процессов и срав­нить их с заданными.

4. Построить годограф комплексного коэффициента передачи и логариф­мические частотные характеристики скорректированной системы с использова­нием программы «MatLab».

5. Сравнить результаты построений "вручную" и на ЭВМ.

Вариант задания для выполнения курсовой работы выбирается из таблицы в приложении 3 по двум последним цифрам зачётки.

Для вариантов, где регулируемым параметром является скорость вращения вала двигателя , передаточная функция двигателя записывается в виде . Если в качестве регулируемого параметра выбирается угол поворота вала , то передаточная функция двигателя имеет вид (т.к. ).

ЛИТЕРАТУРА

1. Бесекерский В А, Попов Е.П. Теория систем автоматического регулиро­вания.-М.: Наука, 2010.-768 с.

2. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления: Автоматичес­кое регулирование непрерывных линейных систем.-М.: Энергия, 1980.- 312 с.

3. Теория автоматического управления. Ч.1/Под ред. А.В. Нетушила.-М.: Высш. школа, 1967.-424 с.

4. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования.-Киев: Высш. школа, 1975.-424 с.

5. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления/ Под ред. Е.А. Санковского.-Мн.: Высш. школа, 1973.- 584 с.

6. Перепелкин С.Р. Расчет следящих систем (частотный метод).-Харьков: Высш. школа, 1978,-124 с.

7. Беседы по автоматике/Под ред. П.И. Чинаева.-Киев: Техника, 1971.- 232 с.

8. Расчет автоматических систем/ Под ред. А.В. Фатеева.-М.: Высш. школа, 1973.-336 с.

9. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егунов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления.-М.: Машиностроение, 1986. -440 с.

10. Коновалов Л.И., Петелин Д.П. Элементы и системы электроавтоматики: Учеб. пособие для студентов вузов.-М.: Высш. школа, 1980.-392 с.

11. Танатар А.И. Элементы промышленной автоматики и их динамические свойства.-Киев: Техника, 1975.-232 с.

12. Александров К,К., Кузьмина Е.Г. Электротехнические чертежи и схемы. - М.: Энергоатомиздат, 1990. -288 с.

13. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника: Справочное руко­водство.-Пер. с нем.-М.: Мир, 1982.-512 с., ил.

14. Усатенко С.Т., КаченюкТ.К., Терехова М.В. Выполнение электрических схем по ЕСКД: Справочник.-М: Издательство стандартов, 1989.-325

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ухтинский государственный технический университет»

З.Х. Ягубов, С.В. Полетаев

ЧАСТОТНАЯ КОРРЕКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

(Элементы синтеза и курсовое проектирование)