Представление чисел в форме с фиксированной точкой

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 27Следующая ⇒

В этом случае положение точки фиксируется в определённом месте разрядной сетки и не меняет своего положения. Обычно подразумевается, что точка находится перед старшим разрядом, или после младшего. В первом случае это дробные числа, во втором – целые (рисунок 2.1).

По абсолютному значению числа представлены в диапазонах:

в первом случае –.11111…1 ≤  X ≤  . 0000…00,

что соответствует десятичным значениям 1-2^-ⁿ ≤   X  ≤   0,

во втором случае – 11111...11. ≥ Х ≥ 0000…00.

что соответствует десятичным значениям 2ⁿ– 1 ≥  X ≥ 0,

где n – количество разрядов.

Если значение числа превышает верхнюю границу диапазона, то произошло переполнение разрядной сетки.

2 ⁿ 2 ⁿ^-1 2 ⁿ^-² 2³ 2² 2¹ 2⁰

знак

X_n

X_n_-1

X_n_-2

∙ ∙ ∙

X₃

X₂

X₁

X₀

(а)

2 ^-¹ 2^-2 2 ^-3 2 ^-ⁿ^–² 2 ^-ⁿ^-1 2 ^-ⁿ

знак

X₁

X₂

X₃

∙ ∙ ∙

X_n_-2

X_n_-1

X_n

(б)

Рисунок. 2.1–Представление двоичного числа в форме с фиксированной точкой: а) целого числа; б) числа по модулю меньше 1.

Достоинство формы представления с фиксированной точкой в том, что выполнение арифметических операций выполняется значительно проще, чем операции над числом с плавающей точкой, что значительно упрощает схемотехнику процессоров, однако требует предварительного выравнивания масштабов представления данных.

Дробное число меньше единицы на 32-разрядной сетке с диапазоном представления чисел 0 ³ X ³ 1- 2^-31, выглядит следующим образом:

2^-1 2^-2 2^-30 2^-31

знак

Х₁

Х₂

…

Х₃₀

Х₃₁

Значения целых чисел на такой же 32− разрядной сетке лежат в пределах 0 £ X £ 2³¹-1, что соответствует диапазону от 0 до 2, 15 × 10⁹.

2³⁰ 2²⁹ 2¹ 2⁰

знак

Х₂₉

Х₂₈

…

Х₂

Х₁

Видно, что диапазон чисел, представленных в формате с фиксированной точкой достаточно узок и не может использоваться во многих инженерных и научных расчетах.

Представление числа в форме с плавающей точкой

В этом случае число Х записывается в разрядную сетку в виде двух групп цифр (рисунок 2.2). Одна группа характеризует порядок числа, другая – мантиссу: X = P ⁿ × M.

где P – основание системы счисления;

n – порядок числа, указывающий положение точки в числе;

М – мантисса (дробное число).

знак мантиссы знак порядка

Х₀

Y₀

Y₆

Y₅

Y₄

…

Y₁

Х₂₄

Х₂₃

…

Х₂

Х₁

порядок n мантисса M

Рисунок 2.2− Представление двоичного числа в форме с плавающей точкой

Мантисса всегда меньше 1, и её знак соответствует знаку числа. Порядок Р - всегда целое число, а его значение определяет положение точки в числе. Если изменяется порядок числа, то изменяется и положение точки в числе, то есть точка как бы плавает в изображении числа. Знак порядка определяет целое число или дробное. Если для порядка отведено 7 разрядов (со знаком), то при использовании обычного дополнительного кода, порядок может быть любым числом в диапазоне от – 64 до + 63. Если же N = 16, то в этой разрядной сетке можно представлять числа от 16^-64 до 16⁶³, что в десятичной системе соответствует диапазону от 10^-77 до 10⁷⁶. Для выполнения операций над числами, представленными в форме с плавающей точкой, необходимо иметь специальное арифметико-логическое устройство для выполнения операций над порядком. причем необходимо нормализовать числа и выровнять их порядки. Поэтому скорость выполнения операций над такими числами меньше, чем в случае с фиксированной точкой.

Числа со смещенным порядком

Для упрощения операций над порядками их сводят к действиям над целыми положительными числами. Для чего используют представления чисел со смещённым порядком. При записи числа к его порядку прибавляется целое число N – смещение. При этом N = 2 ^k, где k – количество разрядов для изображения порядка. Таким образом получаем смещённый порядок Р` = Р + N (рисунок 2.3).

Если количество разрядов порядка равно 6, то N = 64, и смещенный порядок Р` будет принимать значения от Р` = 127 (при Р = 63), до Р`= 0 (при Р = - 64).

знак смещённый порядок модуль мантиссы

Р`

63 62 52 51 (а) 0

знак смещённый порядок модуль мантиссы

79 78 64 63 (б) 0

Рисунок 2.3 − Представление числа с плавающей точкой:

а) формат короткого слова; в) формат длинного слова

Типы данных 32 − разрядных ЭВМ

Современные процессоры непосредственно поддерживают (используют в качестве операндов) знаковые и беззнаковые целые числа, строки байт, строки цифр и символов, битовые строки и числа с плавающей точкой. Слова записываются в двух смежных байтах, и адресом слова является адрес его младшего байта. Двойные слова расположены в четырёх смежных байтах, начиная с младшего, адрес которого есть адрес двойного слова. В некоторых других процессорах применяют и обратный порядок. На рисунке 2.4 представлены форматы данных, обрабатываемые 32− разрядными процессорами, ниже приведены типы данных, используемые CPU ЭВМ.

Форматы данных CPU

§ Бит (Bit) – единица информации. Бит в памяти задается базой (адресом слова) и смещением (номером бита в слове).

§ Битовое поле (Bit Field) – группа до 32 смежных бит, располагающихся не более чем в 4 байтах.

§ Битовая строка (Bit String) –набор смежных бит длиной до 4 Гбит.

§ Байт (Byte) –8 бит.

§ Числа без знака: байт/слово/двойное/учетверенное слово (Unsigned Byte/ Word/Double Word/Quade Word), 8/16/32/64 бит.

§ Целые числа со знаком: байт/слово/двойное/учетверенное слово (Integer Byte/ Word/Double Word/Quade Word). Единичное значение самого старшего бита (знак) является признаком отрицательного числа, которое хранится в дополнительном коде.

Двоично-десятичные числа (BCD — Binary Coded Decimal):

a) 8-разрядные упакованные (Packed BCD), содержащие два десятичных разряда в одном байте;

b) 8-разрядные неупакованные (Unpacked BCD), содержащие один десятичный разряд в байте.

Строки байт, слов и двойных слов (Bit String, Byte String, Word String, Double Ward String) длиной до 4 Гбайт.
Указатели:

a) длинный указатель (48 бит) – 16-битный селектор (или сегмент) и 32-битное смещение;

b) короткий указатель – 32-битное смещение;

c) просто указатель–16-битный селектор и 16-битное смещение.

16-разрядные процессоры не поддерживают учетверенные слова всех типов, битовые поля и строки, строки двойных слов.

один бит

1. Байт без знака (8 бит)

знак

2. Байт со знаком (8 бит)

7 0 7 0 7 0

3.Строка байт

N-й байт

∙ ∙ ∙ ∙

1-й байт

0-й байт

15 8 7 0

4. Слово без знака (два байта)

1-й байт

0-й байт

знак 15 8 7 0

5. Слово со знаком (два байта)

1-й байт

0-й байт

15 0 15 0 15 0

6. Строка слов

N-е слово

∙ ∙ ∙ ∙

1-е слово

0-е слово

31 24 16 15 7 0

7. Двойное слово без знака

3-й байт

2-й байт

1-й байт

0-й байт

знак 31 24 16 15 7 0

8. Двойное слово cо знаком

3-й байт

2-й байт

1-й байт

0-й байт

31 0 31 0 31 0

9. Строка двойных слов

N-е слово

∙ ∙ ∙

1-е слово

0-е слово

10. Учетверённое слово без знака:

63 48 47 32 31 16 15 8 7 0

11. Учетверённое слово со знаком:

63 48 47 32 31 16 15 8 7 0

знак

Рисунок 2.4− Форматы целых данных 32− разрядных процессоров.

Форматы данных FPU

Числа в формате с плавающей точкой и упакованные 80-битные BCD-числа обрабатываются блоками FPU процессоров класса 486 и выше, а также сопроцессорами 8087/287/387. BCD числа (Binary Coded Decimal) – это двоично- десятичное числа, в которых каждая десятичная цифра записана четырех битовым двоичным кодом. Упакованные 64-битные и 128-битные данные обрабатываются процессорами с ММХ и SSE. Ниже перечислены форматы данных, обрабатываемых блоками FPU/MMX и ХММ.

Действительные числа в формате с плавающей точкой:

a) одинарной точности (Single Precision), 32 бит — 23 бит мантисса, 8 бит порядок;

b) двойной точности (Double Precision), 64 бит — 52 бит мантисса, 11 бит порядок;

c) повышенной точности (Extended Precision), 80 бит — 64 бит мантисса, 15 бит порядок.

Упакованные двоично− десятичные 80− битные числа (18 десятичных разрядов и знак).
Упакованные действительные числа одинарной точности, в формате с плавающей точкой.
Упакованные целые числа, знаковые и беззнаковые:

a) упакованные байты − восемь байт;

b) упакованные слова − четыре слова;

c) упакованные двойные слова − два двойных слова;

d) учетверенное слово − одно слово.

Форматы некоторых из перечисленных данных приведены на рисунке 2.5.

§ Упакованные целые числа (обрабатываются блоком ММХ):

56 55 48 47 40 39 3 2 31 24 23 16 15 8 7 0

Число 7

Число 6

Число 5

Число 4

Число 3

Число 2

Число 1

Число 0

a) упакованные байты (восемь байт);

63 48 47 32 31 16 15 0

Число 3

Число 2

Число 1

Число 0

b) упакованные слова (четыре слова);

63 32 31 0

Число 1

Число 0

c) упакованные двойные слова (для ММХ);

63 0

Число

d) учетверенное слово.

§ Действительные числа в формате с плавающей точкой:

31 30 23 22 0

Порядок

Мантисса (дробная часть)

a) одинарной точности;

Знак порядка

63 62 52 51 0

Порядок

Мантисса (дробная часть)

b) двойной точности;

Знак порядка

79 78 64 63 0

Порядок

Мантисса (дробная часть)

c) повышенной точности

Знак порядка

127 96 95 64 63 32 31 23 22 0

Пор.

Мантисса

Пор.

Мантисса

Пор.

Мантисса

Порядок

Мантисса

знаки порядков

d) упакованные числа с плавающей точкой одинарной точности.

Рисунок 2.5− Форматы данных обрабатываемые процессорным блоком FPU/MMX и XMM

В зависимости от разрядности регистров процессора, в них размещаются числа различного диапазона. В таблице 2.4 представлены значения чисел, в естественной форме, которые можно разместить в регистрах процессора.

Таблица 2.4− Диапазоны чисел, обрабатываемые процессорами

Размер регистра	Наличие знака	Диапазон данных
Десятичные	Шестнадцатиричные
	нет	0 ÷ 255	00 ÷ FFH
	да	- 128 ÷ + 127	80H ÷ 7FH
	нет	0 ÷ 65535	0000H ÷ FFFFH
	да	-32768 ÷ + 32767	8000H ÷ 7FFFH
	нет	0 ÷ 4294967295	00000000H ÷ FFFFFFFFH
	да	- 2147483648 ÷ + 2147483647	80000000 ÷ 7FFFFFFFH
	нет		0000000000000000H ÷ FFFFFFFFFFFFFFFFH
	да	-9223372036854775808 ÷	8000000000000000 ÷ 7FFFFFFFFFFFFFFFH

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒