IV.1.1.2. Вычисление среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения)

При анализе статистической совокупности одним из важных показателей является расположение значений элементов совокупности вокруг среднего значения (варьирование). Для характеристики варьирования в практике исследовательской работы рассчитывают среднее квадратическое отклонение (оно называется также стандартным отклонением), которое отражает степень отклонения результатов от среднего значения, выражается в тех же единицах измерения, обозначается греческой буквой s (сигма) и вычисляется по формуле:

, (2)

где - сумма разности между каждым показателем и средней арифметической величиной (сумма квадратов отклонений);

n - объем выборки (число измерений или испытуемых).

Если число измерений не более 30, т.е. n £ 30, используется формула:

. (3)

Необходимо подчеркнуть, что чем сильнее варьирует признак, тем больше величина этого показателя и, наоборот, чем слабее он варьирует, тем меньше среднее квадратическое отклонение.

Пример 2. Вычисление стандартного отклонения покажем на примере предыдущих показателей шести результатов измерения кистевой динамометрии (таблица 2).

 

Таблица 2

Вычисление среднего квадратического отклонения

 

Попытки	Показатели силы (кг)	Отклонение каждого результата от средней арифметической	Квадраты отклонений
		46-53, 16= -7, 16	51, 26
		50-53, 16= -3, 16	9, 98
		59-53, 16= 5, 84	34, 10
		60-53, 16= 6, 84	46, 78
		55-53, 16= 1, 84	3, 38
		49-53, 16= -4, 16	17, 30
Сумма (S)			162, 83

 

1. Зная среднюю арифметическую величину (53, 16) вычисляем разность между каждым показателем и данной средней (третья колонка таблицы).

2. Полученные разности возводим в квадрат и суммируем (четвертая колонка).

3. Вычисляем среднее квадратическое отклонение по формуле (3):

Чем меньше величина s, тем плотнее результаты около средней, что может говорить как о стабильности показателей одного испытуемого, так и о ровности результатов группы или одинаковой подготовленности спортсменов.

Существует и более простой способ вычисления стандартного отклонения по следующей формуле:

, (4)

где V_max – наибольшее значение показателя;
V_min – наименьшее значение показателя;
K – табличный коэффициент (таблица 3), обусловленный объемом выборки (n).

 

Таблица 3

Коэффициенты (К) для вычисления среднего квадратического отклонения
по амплитуде вариационного ряда

 

			1, 13	1, 69	2, 06	2, 33	2, 53	2, 70	2, 85	2, 97
	3, 08	3, 17	3, 26	3, 34	3, 41	3, 47	3, 53	3, 59	3, 64	3, 69
	3, 74	3, 78	3, 82	3, 86	3, 90	3, 93	3, 96	4, 00	4, 03	4, 09

 

Математическими исследованиями установлено, что при обоих методах расчета имеются вполне удовлетворительные совпадения величин. Кроме того, вычислить s по размаху выгодно при малом числе измерений (не более 20).

Следует иметь в виду, что подавляющее большинство признаков в однородной группе подчиняется закону, так называемого, нормального распределения. Это значит, что максимальная частота встречаемости признака находится около средней арифметической величины. Чем больше отклоняются величины от в ту или другую сторону, тем реже они встречаются. В зависимости от величины s форма нормальной кривой может быть пологой (при большой величине s) и более или менее крутой (при небольшой величине s). Во всех случаях нормальная кривая строго симметрична относительно центра распределения и сохраняет правильную колоколообразную форму. Для того, чтобы убедиться в том, что распределение близко к нормальному, необходимо сопоставить значения средней арифметической, моды и медианы. Если данные показатели приблизительно совпадают, то распределение можно считать нормальным.

При нормальном распределении варианты расположены в определенных границах. Так, в пределах расположено 99, 7 % всех результатов измерений.

В практике спортивных исследований часто возникают затруднения, связанные с тем, что один или несколько показателей оказываются резко отличающимися от остальных. В таких случаях используется при исключении сильно отклоняющихся «ошибочных» результатов измерений «правило трех сигм». Производится это следующим образом: 1) вычисляется и s без варианта, который резко отличается от остальных; 2) вычисляется величина ; 3) если сомнительный вариант выходит за пределы , его исключают из дальнейших расчетов.

Пример 3. При измерении угла в коленном суставе ноги, стоящей на задней колодке, в стартовом положении у 20 спортсменов получили величины от 100° до 140°. При этом только одно измерение составило 140°, а остальные – от 100° до 120°. Следует ли измерение 140° исключить из дальнейших расчетов?

По известным формулам проводим расчет и s (при этом сомнительный вариант 140° не учитываем! ). Получаем , , . Следовательно, вариант 140° не должен выходить за пределы от 111° - 22° = 89° до 111° + 22°=133°. Поскольку он больше верхнего предела 133°, то его следует исключить из дальнейших расчетов.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. IV.1.1.3. Вычисление коэффициента вариации
2. Величины и его среднего квадратического отклонения
3. Вычисление выражений с использованием стандартных функций
4. Вычисление координат вершин теодолитного хода
5. Вычисление определенного интеграла методом подстановки
6. Вычисление определителя и обратной матрицы
7. Вычисление пределов функции с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.
8. Вычисление производных, интегралов, сумм, произведений и пределов в MathCad.
9. Вычисление скорости шара в нижней точке желоба.
10. Вычисление среднего квадратического отклонения ряда измерений
11. Вычисление числа p методом Монте-Карло