Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.

 

Рассмотрим функцию у=f(x), определённую на промежутке ( ). Пусть х₀Î ( ), δ ─ некоторое положительное число. Будем называть δ - окрестностью точки х₀ интервал (х₀ − δ; х₀ + δ ) и обозначать его О(х₀; δ ).

 

Определение. Если можно указать такую δ -окрестность точки х₀, принадлежащую ( ), что для всех хÎ О(х₀; δ ), х ≠ х₀, выполняется неравенство

f(x₀) > f(x),

 

то у₀ = f(x₀) называют максимумом функции у = f(x) и обозначают через max f(x). Если же для всех хÎ О(х₀; δ ), х ≠ х₀, выполняется неравенство

f(x₀) < f(x),

 

то у₀ = f(x₀) называют минимумом функции у = f(x) и обозначают через min f(x).

 

Отметим, что максимум и минимум функции имеют локальный характер (это наибольшее и наименьшее значение функции в достаточно малой окрестности соответствующей точки); отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов ой же функции (рис.3).

Определение. Максимум и минимум функции называют экстремумом. Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума.

 

Теорема (необходимое условие экстремума).

В точке экстремума дифференцируемой функции производная её равна нулю.

Доказательство. Пусть х₀ ─ точка экстремума дифференцируемой функции f(x). Для определённости положим, что х₀ ─ точка максимума. Тогда для достаточно малых ( < δ, δ > 0) , поэтому . Теперь

< 0 при > 0;

> 0 при < 0;

откуда

≤ 0,

≥ 0.

Так как функция дифференцируема, то

0 ≤ = f '(x₀) = ≤ 0,

откуда следует f '(x₀) = 0. Аналогично рассматривается случай, когда х₀ ─ точка минимума функции.

 

Замечание 1. Если f '(x₀) = 0, то отсюда ещё не следует, что х₀ ─ точка экстремума. Например, для функции f(x) = x³, f '(x) = 3x², f '(0) = 0, но х₀ = 0 не является точкой экстремума, т.к. f(x) > 0 при х > 0 и f(x) < 0 при х < 0 (рис.4).

 

 

 

Замечание2. Функция может достигать экстремума также в точке, в которой производная не существует. Например, функция у = не имеет производной в точке х₀ = -1, но достигает в ней максимума (рис.5).

Функция у = не имеют конечной производной в точке х₀ = 0, т.к.

у' = при х = х₀ = 0 обращается в бесконечность, но в этой точке функция имеет минимум (рис.6).

Определение. Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной. Стационарные точки, а также точки, в которых функция имеет бесконечную производную или в которой производная не существует, называются критическими.

Таким образом, точки экстремума следует искать среди критических точек.

 

Определение. Говорят, что функция у = f(x) меняет знак при переходе через точку х=х₀, если f(x₁)f(x₂) < 0 для любых х₁, х₂ из некоторой окрестности этой точки, удовлетворяющих неравенствам х₁ < x₀ < x₂; знак меняется с плюса на минус, если f(x₁)> 0, f(x₂) < 0; знак меняется с минуса на плюс, если f(x₁) < 0, f(x₂) > 0.

 

Теорема (достаточное условие экстремума).

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀. если в точке х = х₀ производная функции f(x) равна нулю и меняет знак при переходе через точку х₀, то точка х₀ является точкой экстремума, причём: 1) х₀ ─ точка максимума, если знак меняется с плюса на минус; 2) х₀ ─ точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.

Доказательство. Пусть в точке х₀ производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, т.е. f '(x₀) = 0, f '(x) < 0 при х₀ − δ < x < x₀, f '(x) > 0 при х₀ < x < x₀ + δ (δ > 0). Тогда функция f(x) по теореме о достаточном условии возрастания и убывания функции убывание (х₀ − δ; х₀) и возрастает на интервале (х₀; х₀+δ ), т.е. f(x₀) < f(x) для всех хÎ О(х₀, δ )= =(х₀− δ; х₀+δ ), х ≠ х₀. Следовательно, х₀ ─ точка минимума.

Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак с плюса на минус.

 

Достаточное условие экстремума можно выразить также с помощью второй производной.

 

Теорема (достаточное условие экстремума).

Если в точке х = х₀ первая производная дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀ функции у = f(x) равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то х₀ является точкой экстремума, причём: 1) х₀ ─ точка минимума, если f ''(x₀) > 0; 2) х₀ ─ точка максимума, если f ''(x₀) < 0.

 

Пример. Найти экстремумы функции f(x) = .

Решение. Поскольку f '(x) = , то критическими являются только

 

стационарные точки , , .

 

Исследуем знак второй производной f ''(x) = в этих точках:

 

f ''( ) = 12× 2 − 20 > 0, f ''(0) = − 20 < 0, f ''( ) = 12× 5 − 20 > 0.

 

Следовательно, , ─ точки минимума, ─ точка максимума,

 

причём min f(x) = f( ) = f( ) = -10, max f(x) = f(0) = 15.

 

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. В которых не соблюдается условие джечаб
2. В том, что любой живой организм состоит из клеток, но клетки выполняют разные функции.
3. Вопрос 1. Понятие чека и его функции.
4. Вопрос №82. Правопорядок: понятие, структура, функции. Соотношение правового и общественного порядка.
5. Восприимчивость к эмоциональным состояниям партнера -профессионально необходимое качество для тех, кто работает с людьми.
6. Глава I. Развитие памяти младших школьников с ЗПР как условие полноценного обучения
7. Главное условие — признать Папу.
8. Деньги и их функции. Спрос на деньги. Денежные агрегаты.
9. Исследование функции двух переменных на экстремум, наибольшее и наименьшее значение.
10. Назовите основное условие начала ГНВП
11. Необходимое и достаточное условие LL(1)-грамматики
12. Необходимое количество жидкости для промывания желудка ребенку старше года