Точки разрыва функции и их классификация.

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 18Следующая ⇒

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = х₀ ─ точка разрыва функции у = f(x), то в ней выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности функции, а именно:

1) Функция определена в окрестности точки х₀, но не определена в самой точке х₀.

Например, функция у = не определена в точке х₀ = 2.

2) Функция определена в точке х₀ и её окрестности, но не существует предела f(x) при

х→ х₀.

Например, Функция f(x) = определена в точке х₀ = 2, однако в точке

х₀=2 имеет разрыв т.к. эта функция не имеет предела при х→ 2: f(x)=1, а f(x)=0.

3) Функция определена в точке х₀ и её окрестности, существует f(x), но этот предел не

равен значению функции в точке х₀: f(x)≠ f(x₀).

Например, функция f(x) =

Здесь х₀ = 0 ─ точка разрыва: f(x)=1, а f(x₀)=2.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т.е. f(x)=A₁ и f(x)=A₂. При этом

а) если А₁ = А₂, то х₀ ─ точка устранённого разрыва.

б) если А₁ ≠ А₂, то х₀ ─ точка конечного разрыва.

Величина │ А₁− А₂│ называется скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у = f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1. у = , х₀ = 2 ─ точка разрыва второго рода.

Пример 2.

f(x) = х₀ = 0 ─ точка разрыва первого рода, скачёк функции равен 1.

Пример 3.

f(x) = х₀ = 0 является точкой устранимого разрыва первого рода.

Положив g(x) = 1 при х = 0, разрыв устранится, функция станет непрерывной.

Лекция 15.

Производная и дифференциал функции. Правила дифференцирования.

Определение. Пусть на некотором промежутке (а; b) определена функция у=f(x). Возьмём произвольную точку х₀Î (а; b) и придадим аргументу х в точке х₀ произвольное приращение ∆ х токое, что точка х₀ + ∆ хÎ (а; b). Производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел при ∆ х→ 0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если этот предел существует. Обозначается предел функции f(x) в точке х₀ через f '(x₀), т.е.

f '(x₀) = = .

Если функция у=f(x) имеет конечную производную в каждой точке хÎ (а; b), то производную f '(x) можно рассматривать как функцию от х, определённую на (а; b).

Если для некоторого значения х₀ выполняется условие

= + ∞ (или = − ∞ ),

то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус).

Пример. Найти производную функции f(x) = x² в точке х = х₀.

Решение. Придавая аргументу х в точке х₀ приращение ∆ х, находим

Тогда =

Теперь находим f '( ) = =

Таким образом можно составить таблицу производных простейших элементарных функций:

1. (C)' = 0, где С = const;

2. ( )' = . В частности ,

3. . В частности, .

4. × . В частности,

7. (tg )' . 10. .

8. (ctg )' . 11. (arctg )' .

9. . 12. (arcctg )' .

Из школьного курса математики известно: геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции f(x) в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в точке М(х₀; f(x₀)), т.е.

f '(x₀) = tgφ (рис.1).

Пример. Составить уравнение касательной, проведённой из точки М(1; − 3) к параболе f(x) = x².

Решение. Пусть касательная в точке (х₀; f(x₀)) к параболе f(x)=x² имеет уравнение у=kx+b. Тогда по геометрическому смыслу касательной k = f '(x₀) = 2x₀. Так как касательная проходит через точки (1; − 3) и (х₀; х₀²), то имеем систему:

откуда, вычитая из второго уравнения первое, получим

или

Если , то и уравнение касательной имеет вид у = .

Если , то и уравнение касательной ─ у = .

Определение. Функция у = f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если она имеет в этой точке конечную производную. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (а; b), то она называется дифференцируемой на (а; b).

В связи с этим определением операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х₀, то справедливы следующие утверждения:

1) ∆ у = А× ∆ х + α (∆ х)∆ х, где ∆ х ─ приращение аргумента, ∆ у ─ приращение функции, А ─

число, не зависящее от ∆ х, α (∆ х) ─ бесконечно малая функция при ∆ х→ 0.

Очевидно, что А = = f '(x₀).

2) функция у = f(x) непрерывна в точке х₀.

Однако, не всякая непрерывная функция является дифференцируемой. Например, функция у = непрерывна в точке х₀ = 0, т.к. f(x) = = 0 = f(x₀).

Однако производная у' = ( )'= в точке х₀ = 0 не существует, т.е. функция в точке х₀ = 0 не дифференцируема.

Определение. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х₀. Дифференциалом функции f(x) в точке х₀ называется часть приращения функции

dy = f '(x₀)× ∆ x.

Дифференциалом независимой переменной х называется приращение этой переменной, т.е. dx = ∆ x. Таким образом,

Геометрический смысл дифференциала функции у = f(x) состоит в том, что дифференциал dy в точке х₀ равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке М(х₀; f(x₀)) (рис.2).

Во многих задачах приращение функции в данной точке можно приближённо заменить дифференциалом функции в этой точке: ∆ у » dy.

Пример. Используя дифференциал функции, вычислить приближённо .

Решение. Пусть функция у = . Положим и приращение аргумента . Тогда

∆ у = » dy = y' .

Теперь » 1+ 0, 00015 = 1, 00015.

Правила дифференцирования функций сформулируем в следующей теореме.

Теорема 1. Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х₀, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что v(x₀)≠ 0) также дифференцируемы в этой точке, причём имеют место следующие формулы:

1) ;

2) ;

3) .

Доказательство.

1) =

= ±

± .

= +

+ = .

3) Пусть .

= .

Следующая теорема даёт правило дифференцирования сложной функции.

Теорема 2. Если функция х = φ (t) имеет производную в точке t₀, а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке х₀ = φ (t₀), то сложная функция f(φ (t)) имеет производную в точке t₀, причём имеет место следующая формула

у'(t₀) = f '(x₀)× φ '(t₀).

Пример. Вычислить у', если у = .

Решение.

Данную функцию можно представить в виде у = , где . Тогда по теореме 2

у'( ) = у '( )× '( ) = ( )'× ( )' = × = × .

Замечание. В теореме 2 мы рассмотрели сложную функцию, где у зависит от переменной t через одну промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость ─ с несколькими промежуточными переменными. При этом правило дифференцирования остаётся прежним.

Пример. Вычислить производную функцию у = tg²( ²+1).

Решение. Данную функцию можно представить в виде у = ², = tg , = ²+1. Тогда

у'( ) = у '( )× '( )× '( ) = ( ²)'× (tg )'× ( ²+1)' = = tg .

Мы уже отмечали, что производная f '(х) функции у = f(x) сама является функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

Определение. Назовём f '(х) производной первого порядка функции у = f(x),

дифференцируемой на некотором промежутке ( ). Производная от f '(х) называется производной второго порядка функции у = f(x) и обозначается f ''(x). Производная от

f ''(x) называется производной третьего порядка, обозначается f '''(x). Таким образом определяется производная n-го порядка для любого натурального n. Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка и обозначаются: у'', у''', у⁽⁴⁾, у⁽⁵⁾, …, у⁽ⁿ⁾, …. Итак, по определению

у⁽ⁿ⁾= (у⁽^n-1))', n = 2, 3, ….

Пример. Вычислить производную третьего порядка функции у = .

Решение.

1) у' = .

2) у'' = (у')' = .

3) у''' = (у'')' = ( )' =

Определение. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка. Дифференциал dy = f '(x)dx называется дифференциалом первого порядка функции у = f(x). Дифференциалы высших порядков (второго, третьего и т.д.) определяются следующей формулой

dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ, n = 2, 3, ….

Пример. Вычислить дифференциал d²y, где у = х⁴− 3х²+ 4.

Решение.

1) dy = (х⁴− 3х²+ 4)'dx = (4х³ – 6х)dx.

2) d²y = (4x³ – 6x)'(dx) = (12x² – 6)(dx)².

Лекция 16.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Правило Лопиталя-Бернулли.

Теорема Ферма.

Пусть функция f(x) определена ( ) и в некоторой точке х₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х₀ существует производная, то она равна нулю, т.е. f ¢ (x)=0.

Доказательство. Пусть для определённости в точке х₀ функция f(x) имеет наибольшее значение, т.е. для любого хÎ ( ) выполняется неравенство f(x) £ f(x₀). Это означает, что ∆ у = f(x₀+∆ x) − f(x₀) £ 0 для любого приращения аргумента ∆ х.

Возможны два случая:

1) ∆ х > 0. Тогда £ 0 и, следовательно,

= £ 0.

2) ∆ х < 0. Тогда ³ 0 и, следовательно,

= ³ 0.

По условию, f ¢ (x) существует, поэтому существует . Но тогда существует односторонние пределы и , причём

0£ = = £ 0.

Всё это возможно только при = 0, т.е. при f ¢ (x)=0.

Аналогично рассматривается случай, когда в точке х₀ функция f(x) имеет наименьшее значение.

Теорема Ролля. Пусть на [ ] определена функция f(x), причём: 1) f(x) непрерывна на [ ]; 2) f(x) дифференцируема на ( ); 3) f( ) = f( ). Тогда существует точка Î ( ), в которой f ¢ ( ) = 0.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [ ], то по второй теореме Вейерштрасса она имеет на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m, т.е. существуют такие точки х₁, х₂Î [ ], в которых f(x₁) = m, f(x₂) = M и выполняются неравенства

m £ f(x) £ M

для всех хÎ [ ].

Возможны два случая:

1) M = m. Тогда f(x) = const = M = m. В этом случае для любого хÎ ( ) имеем f '(x) = 0. Теорема верна.

2) m < M. Так как f( ) = f( ), то хотя бы одно значение m или М достигается на ( ), т.е. существует Î ( ) такая, что f( ) = m или f( ) = M. Поскольку f(x) дифференцируема в точке , то по теореме Ферма f '( ) = 0.

Теорема Лагранжа. Пусть на отрезке [ ] определена функция f(x), причём 1) f(x) непрерывна на [ ]; 2) f(x) дифференцируема на ( ). Тогда существует точка Î ( ) такая, что справедлива формула

Доказательство. Введём в рассмотрение на [ ] вспомогательную функцию

F(x) = f(x) − f( ) − × (x− ).

Функция F(x) удовлетворяют всем трём условиям теоремы Ролля:

1) F(x) непрерывна на [ ] как разность двух непрерывных функций f(x) и линейной

функции

f( ) + × (x− );

2) F(x) дифференцируема на ( ). Действительно, f(x) дифференцируема на ( ) по

условию, поэтому производная

F'(x) = f '(x) −

существует на ( );

3) F( ) = 0; F( ) = 0, т.е. F( ) = F( ).

Тогда по теореме Ролля существует точка Î ( ) такая, что F'( ) = 0, т.е.

f '( ) = .

Равенство f( )− f( )=f '( )( ) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [ ] и дифференцируемы на ( ). Пусть, кроме того, g'(x)≠ 0. Тогда на ( ) существует точка такая, что справедлива формула

(*)

Доказательство. Прежде всего отметим, что g( ) ≠ g( ), т.е. формула (*) имеет смысл. Если предположить, что g( ) = g( ), то по теореме Ролля для функции g(x) на ( ) найдётся точка h такая, что g'(h) = 0. Это противоречит условию g'(x) ≠ 0 на ( ).

Рассмотрим на [ ] вспомогательную функцию

F'(x) = f '(x) − × g'(x),

то

f '( ) − × g'( ) = 0,

откуда, учитывая g'( ) ≠ 0, получим

Формула (*) называется формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений.

Замечание. Если в формуле Коши взять функцию g(x) = x, то получим формулу Лагранжа

Снова вернёмся к вопросу раскрытия неопределённостей. Познакомимся с простым и эффективным методом раскрытия неопределённостей, который называется правилом Лопиталя-Бернулли. Основано это правило на следующей теореме.

Теорема Лопиталя-Бернулли.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы на некотором интервале ( ), содержащем точку х₀, за исключением, быть может, самой точки х₀. Пусть, далее, f(x) = g(x) = 0 и g'(x) ≠ 0 на ( ). Тогда, если существует , причём

Пример 1. Найти .

Решение. Функции f(x)= и g(x)= определены дифференцируемы на ( ), причём f(x) = g(x) = 0. Предел отношения производных этих функций существует:

причём g'(x) = ≠ 0 для хÎ ( ). Теперь по теореме Лопиталя-Бернулли существует , причём

= =

Замечание 1.

Теорема Лопиталя-Бернулли позволяет раскрывать неопределённости

Замечание 2. Обычно при вычислении пределов записывают только необходимые преобразования, а проверку выполнения условий теоремы Лопиталя-Бернулли делают по ходу вычислений. Если при этом окажется, что отношение производных снова представляет неопределённость , то правило Лопиталя-Бернулли применяют повторно.