Фазовые портреты линейных систем второго порядка

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 11

Для получения уравнений, описывающих фазовый портрет системы второго порядка, необходимо в системе дифференциальных уравнений (12.6) второе уравнение поделить на первое и исключить из рассмотрения время t, в результате чего получают:

. (13.3)

Решение этого уравнения дает семейство интегральных кривых на фазовой плоскости, по которым строят фазовые траектории системы.

Фазовые портреты линейных систем второго порядка классифицируют по типам особых точек.

Линейную систему второго порядка описывают уравнением

, (13.4)

где y(t) − выходная координата системы; а₀, а₁, a₂ − постоянные коэффициенты. Обозначив y(t) = y₁(t), , тогда и уравнение (13.1) можно записать

(13.5)

Разделив второе уравнение на первое, получают

, (13.6)

решением которого будет уравнение фазовых траекторий

y₂ = f(y₁, c₁, c₂), (13.7)

где с_i − постоянные интегрирования.

Возможны шесть различных типов фазовых траекторий в зависимости от корней характеристического уравнения a₂s² + a₁s + a₀ = 0.

Случай 1. Корни − мнимые при a₁=0, a₀> 0, a₂> 0; s_{1, 2}=±iω; .

Система находится на границе устойчивости.

Уравнение системы: a₂y¢ ¢ (t) + a₀y¢ (t) = 0, его решение имеет вид

y₁(t) = Asin(wt + j), (13.8)

y₂(t) = y₁¢ (t) = Awcos(wt + j). (13.9)

График y₁(t) показан на рис. 13.1. Для получения уравнения фазовой траектории выражения (13.8) и (13.9) возводят в квадрат и складывают, в результате получают уравнение

. (13.10)

Незатухающим периодическим колебаниям в системе соответствует на фазовой плоскости замкнутая фазовая траектория. Особая точка системы является геометрическим центром фазовых траекторий и носит название центр, а сама система называется консервативной.

Рис. 13.1. Фазовый портрет типа центр: а) плоскость корней

характеристического уравнения; б) переходный процесс; в) фазовый портрет

Случай 2. Корни − комплексные и имеют отрицательные вещественные части при а₁ < 4а₀a₂; a₀ > 0, a₁ > 0, а₂ > 0: s₁, ₂ = − α ± iω (рис. 13.2а),

α = − a₁/(2а₂), − система устойчива.

Решение уравнения (13.4) имеет вид

y₁(t) = Ae^–^α^t sin(ω t+β ), (13.11)

y₂(t) = y₁¢ (t) = gAe^–^α^t cos(ω t+β +d), (13.12)

где d = arctg(a/w); .

Рис. 13.2. Фазовый портрет типа устойчивый фокус: а) расположение корней

характеристического уравнения; б) переходный процесс; в) фазовый портрет

Уравнения (13.11) и (13.12) дают в фазовой плоскости параметрическое уравнение спиралей. С каждым оборотом, соответствующим одному периоду колебаний, изображающая точка приближается к началу координат, так как значения y₁ и y₂за период колебаний становятся меньше.

Особая точка называется устойчивым фокусом.

Случай 3. Корни − комплексные и имеют положительные вещественные части при а₁ < 4а₀a₂; a₀ > 0, a₁ < 0, а₂ > 0: s₁, ₂ = α ± iω (рис. 13.3а), система неустойчива. Откуда

y₁(t) = Ae^α^t sin(ω t+β ), (13.13)

y₂(t) = y₁¢ (t) = gAe^α^t cos(ω t+β +d). (13.14)

Рис. 13.3 Фазовый портрет типа неустойчивый фокус: а) расположение корней

характеристического уравнения; б) переходный процесс; в) фазовый портрет

Состоянию неустойчивого равновесия системы соответствует особая точка, которая называется неустойчивый фокус (рис. 13.3в). В системе возникает колебательный процесс с возрастающей амплитудой.

Случай 4. Корни – вещественные отрицательные при а₁ > 4а₀a₂; a₀ > 0, a₁ > 0, а₂ > 0: s₁, ₂ = − α ±b (рис. 13.4а), α = a₁/(2а₂), − система устойчива. Этот случай соответствует апериодическому процессу в системе, сама система устойчива. Решение уравнения (13.14)

; (13.15)

. (13.16)

Границей областей с переходными процессами типа 1 и 2 служат прямые с уравнениями y₂ = − s₂y₁ и y₂ = − s₁y₁.

Все фазовые траектории вливаются в начало координат − особую точку, называемую устойчивым узлом (рис. 13.4). Время движения к состоянию равновесия теоретически равно бесконечности.

Рис. 13.4. Фазовый портрет типа устойчивый узел: а) расположение корней

характеристического уравнения; б) переходный процесс; в) фазовый портрет

Случай 5. Корни − вещественные положительные при а₁> 4а₀a₂; a₀> 0, a₁< 0, а₂> 0: s₁, ₂ = α ± b (рис. 13.5а), система неустойчива. Решение уравнения (13.4):

; (13.17)

. (13.18)

Рис. 13.5. Фазовый портрет типа неустойчивый узел: а) расположение корней

характеристического уравнения; б) переходный процесс; в) фазовый портрет

Фазовые траектории направлены от начала координат в бесконечность. Особая точка носит название неустойчивый узел (рис. 13.5). Крайние траектории определяются уравнениями y₂ = s₁y₁ и y₂ = s₂y₁.

Случай 6. Корни − вещественные и имеют различные знаки при a₀ < 0, a₁> 0, a₂ > 0: s₁ = − α ₁, s₂ = β. В этом случае система неустойчива.

Частным является случай, когда a₁=0, и, учитывая, что a₀ < 0, решение уравнения (13.6) запишется в виде

. (13.19)

Выражение (13.19) представляет собой уравнение семейства равносторонних гипербол. Асимптоты гипербол: y₂ = ± wу₁. Каждая из асимптот состоит из трех фазовых траекторий, то есть особая точка рассматривается как одна из фазовых траекторий и носит название седла.

Асимптоты на фазовой плоскости называют сепаратрисами седла (рис. 13.6). По двум сепаратрисам изображающая точка приближается к состоянию равновесия, а по двум другим удаляется от него.

Седло является неустойчивым состоянием равновесия. Возмущения приводят к тому, что изображающая точка уходит от состояния равновесия и, попав на соседнюю траекторию, неограниченно удаляться по ней.

Рис. 13.6. Фазовый портрет типа седло: а) расположение корней

характеристического уравнения; б) переходный процесс; в) фазовый портрет

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

Движение называется невозмущенным, если оно получено в результате рассмотрения идеализированной системы. Движение с учетом возмущений, возникающих в реальной системе, называется возмущенным.

Невозмущенное движение называется устойчивым, если малые возмущения сколь угодно мало отклоняют возмущенное движение от невозмущенного. Если же возмущенное движение заметно отклоняется от невозмущенного при малых возмущениях, то оно называется неустойчивым.

Рассматриваются различные виды устойчивости: орбитальная устойчивость, устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость и т.д.

Возмущение называется импульсным, если оно действует в течение короткого промежутка времени (∆ t) (рис. 14.1а). Импульс считают мгновенным, если за время ∆ t координата не успевает заметно измениться. В этом случае его влияние заключается в мгновенном сдвиге изображающей точки из начального положения M₀ в некоторое другое положение . Траектория невозмущенного движения исходит из точки M₀, а возмущенного – из (рис. 14.1б). Влияние импульса сказывается на всем движении системы, хотя он действовал только при времени ∆ t.

Координаты точки M₀ обозначим через y_i₀, i = 1,..., n; координаты точки − через y′ _i₀. При малом сдвиге разность координат удовлетворяет условию , где h – малое положительное число.

Малым возмущением называют импульсное возмущение, которое вызывает малый сдвиг начального положения изображающей точки системы. Малым возмущениям соответствуют малые η.

Рис. 14.1. Действие возмущения: а) импульсное возмущение;

б) движение в фазовом пространстве; в) непрерывно действующие возмущения

Непрерывно действующие возмущения действуют на систему не только в начальный момент времени, но и в последующие (рис. 14.1в). Непрерывное возмущение можно представить в виде последовательности импульсов, то есть разрезать весь график x(t) на импульсы длительностью dt, поэтому в дальнейшем рассматриваются лишь импульсные возмущения.

Основные виды устойчивости

Орбитальная устойчивость

Вводят понятие ε -окрестности невозмущенного движения, для чего рассматривают траекторию невозмущенного движения М₀М и строят криволинейный цилиндр радиусом ε, осью которого является эта траектория. Траектория возмущенного движения мало отклоняется от траектории невозмущенного движения, если она целиком лежит в малой ε -окрестности невозмущенного движения (рис. 14.2а).

Устойчивость – это свойство движения, имеющее качественный характер. Поэтому важна лишь возможность подобрать столь малое η, чтобы кривая возмущенного движения не вышла из ε -окрестности невозмущенного движения. Если такая возможность существует, то движение устойчиво, если она отсутствует, то неустойчиво.

Рис. 14.2. К понятию устойчивости:

а) орбитальная устойчивость; б) асимптотическая устойчивость

Система обладает орбитальной устойчивостью, если при любом ε можно подобрать такое значение η в выражении |y_i₀ − y′ _i₀| < η, чтобы траектория возмущенного движения не вышла из ε -окрестности невозмущенного движения. Если подобрать такое η нельзя, то невозмущенное движение неустойчиво.

При орбитальной устойчивости возмущенное движение может значительно отличаться от невозмущенного. Если даже траектории близки, но точки М и М' движутся с разными скоростями, то с течением времени расстояние между ними будет большим.

Устойчивость по Ляпунову

Движение называется устойчивым по Ляпунову, если для ε > 0 можно указать число η = η (ε ) > 0 такое, что из |y_i₀ − y′ _i₀| < η (ε ) при t = t₀следует неравенство |y_i − y′ | < ε для всех t > t₀. То есть движение устойчиво, если при достаточно малом начальном сдвиге |y_i₀ − y′ _i₀|точка М' в последующем движении достаточно близка к М (рис. 14.2а). Если же подобрать такое η (ε ) нельзя, то движение неустойчиво.

Асимптотическая устойчивость

Если при движении в пространстве точки М и M¢ неограниченно сближаются и разности их координат (y_i− y_i′ ) ® 0, то возмущенное движение постепенно возвращается к невозмущенному. Движение называется асимптотически устойчивым, если можно подобрать такое η, при котором |y₀ − y′ ₀| < η, то выполняется условие |y₀ − y′ ₀| ® 0 при t ® ∞.

Если движение асимптотически устойчиво, то оно наверняка устойчиво по Ляпунову. Но движение может быть устойчивым по Ляпунову и не являться асимптотически устойчивым.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 1011