Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства истинных числовых равенств и неравенств.

 

Неравенство — отношение, связывающее два числовые выражения или два числа посредством одного из знаков ”> ” (больше), ”< ” (меньше), ”³ ” (больше или равно), ”£ ” (меньше или равно), ”¹ ” (не равно).

Равенство с переменной f(х) = g(х) называется уравнением с одной переменной.

Понятия о равенствах, неравенствах, уравнениях раскрываются во взаимосвязи.

Числовые равенства и неравенства изучаются параллельно.

 

На подготовительном этапе в дочисловой период, нужно в процессе практических упражнений с использованием пар понятий научить детей

сравнивать предметы и устанавливать отношение “больше”, “меньше”, “одинаково”. Приведем примеры наиболее распространенных пар понятий: больше-меньше, выше-ниже, шире-уже, правее-левее, старше-моложе.

С первых же уроков отрабатывается умение сравнивать численности множеств.

Основой таких упражнений могут служить различные ситуации из обыденной жизни: каждому ученику в классе взаимно однозначно соответствует его ранец; каждой чашке в чайном приборе однозначно отвечает блюдце, на которое ставят чашку.

В традиционной школе преобладает знаковое моделирование — вводятся знаки отношений “> ”, “< ”, “=”.

Первые числовые равенства, с которыми знакомятся дети, образованы при ознакомлении с действиями сложения, вычитания в концентре “Десяток”.

Введение знака “< ” можно осуществить, выполняя такое упражнение. Учитель на доске, а учащиеся в тетрадках рисуют один предмет, например квадрат (закрашивают одну клеточку). Отступив немного (три клетки) вправо, рисуют два квадрата. Ученики делают вывод, что слева квадратов меньше, чем справа. Под одним квадратом пишут цифру 1, а под двумя — цифру 2, произносят: “Число 1 меньше числа 2” и между написанными цифрами 1 и 2 ставят знак “< ”. Подобным образом вводятся записи вида 1=1, 2> 1.

Чтобы учащиеся не путали знаки “< ” и “> ”, полезно воспользоваться мнемоническим приемом: где палочки расходятся, записывают большее число, а где сходятся — меньшее число.

Работа над неравенствами ведется с I класса.

Числовые неравенства учащиеся получают в результате сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Поэтому знаками соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Таким образом, первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных неравенствах.

Равенства и неравенства бывают как верные, так и неверные.

Ознакомление с неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий.

Сравнить два выражения, значит, сравнить их значения. Сравнение выражений впервые включается уже в конце изучения сложения и вычитания в пределах 10, а затем при изучении действий во всех концентрах эти упражнения систематически предлагаются учащимся. Например, надо сравнить Суммы: 6+4 и 6+3. Ученик рассуждает так: первая сумма равна 10, вторая-9, 10 больше, чем 9, значит, сумма чисел 6 и 4 больше, чем сумма чисел 6 и 3. Это рассуждение отражается в записях:

При изучении действий в других концентрах упражнения на сравнение выражений усложняются: более сложными становятся выражения, учащимся предлагаются задания вставить в одно из выражений подходящее число так, чтобы получить верные равенства или неравенства; проверить, верные ли равенства (неравенства) даны, неверные исправить, изменив знак отношения или число в одном из выражений; составить из данных выражений верные равенства или верные неравенства.

Сами выражения подбираются таким образом, чтобы, сравнивая выражения, учащиеся наблюдали свойства и зависимости между компонентами и результатами действий. Например, после того как установили с помощью вычислений, что сумма 60+40 больше суммы 60+30, учитель предлагает сравнивать соответствующие слагаемые этих сумм, и дети отмечают, что первые слагаемые в этих суммах одинаковые, а второе слагаемое в первой сумме больше, чем во второй. Много раз, подмечая эту зависимость, учащиеся приходят к обобщению и затем свои знания используют при сравнении выражений.

Рассматривая во II классе, например, неравенство х+3< 10, учащиеся путем подбора находят, при каких значениях буквы х значение суммы х+3 меньше, чем 10. В каждом таком задании дается множество чисел - значений переменной. Ученики подставляют значения буквы в выражение, вычисляют значение выражения и сравнивают его с заданным числом. В результате такой работы выбирают значения переменной, при которых данное неравенство является верным.

Термины " решить неравенство", " решение неравенства" не вводятся в начальных классах, поскольку во многих случаях ограничиваются подбором только нескольких значений переменной, при которых получается верное неравенство.

Позднее в упражнениях с неравенствами значения переменной не даются, учащиеся сами подбирают их. Такие упражнения, как правило, выполняются под руководством учителя.

Упражнения с неравенствами закрепляют вычислительные навыки, а также помогают усвоению арифметических знаний.

Свойства числовых равенств

1) Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

2) Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Пусть f и g – два числовых выражения. Соединим их знаком > или <. Получим предложение f > g, которое называют числовым неравенством.

Например, если соединить выражения 6+2 и 13-7 знаком >, то получим истинное числовое неравенство 6+2 > 13-7. Если соединить те же выражения знаком <, получим ложное числовое неравенство 6+2 < 13-7. Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство – это высказывание, истинное или ложное.

Свойства числовых неравенств.

1) Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.

2) Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и тоже числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство.

3) Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменяем знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство.

 

Теоремы о равносильности уравнений.

Два уравнения с одной переменой

f(x)=g(x) и h(x)=q(x)

называются равносильными, если множества решений этих уравнений совпадают.
Два уравнения равносильны, если у них одинаковые корни или если у них нет решений.

Например, уравнение х− 3=3 имеет корень х=6, а уравнение (x− 3)2=9 имеет два корня х=6 и х=0. Один из корней совпадает, тогда уравнение (x− 3)2=9является следствием уравнения х− 3=3.
Два уравнения являются равносильными, тогда и только тогда, когда каждое из уравнений является следствием другого уравнения.

Формально, схему решения любого уравнения можно описать так. Исходное уравнение преобразуют в более простое уравнение. Получившиеся уравнение преобразуют в еще более простое уравнение и так, пока не получится совсем простое уравнение, которое легко решить. Но стоит заметить, уравнения нельзя преобразовывать как вздумается. Для каждого класса уравнений есть свои правила и требования.

 

34.Величины и именованные числа (лекции на занятиях и материла, вынесенный на самостоятельную работу)

Цели изучения величин

- Научить выделять величины как свойства реальных предметов. Сформировать реальное представление о каждой величине.
- Познакомить с единицами измерения каждой величины. Сформировать представление о каждой единице, ее зрительный или " мускульный" образ.
- Познакомить с приборами и инструментами для измерения величин. Научить пользоваться этими приборами и инструментами.
- Научить измерять и отмеривать величины с помощью измерительных приборов и инструментов и с помощью мерок (моделей), сформировать измерительные навыки.
- Научить сравнивать величины непосредственно и на основе измерений.
- Дать понятие о простом и составном именованном числе. Научить их сравнивать и преобразовывать.
- Научить выполнять арифметические действия с именованными числами.
- Поднести к усвоению таблиц единиц измерения величин.
- Научить решать задачи, связанные с величинами.

Общая методика работы над любой величиной

При изучении большинства величин соблюдаются следующие этапы.

1. Подготовительный этап: выявление представлений ребенка о данной величине, приобретенных им до школы.

Этот этап организуется в подготовительный (дочисловой) период. Нужно учитывать опыт ребенка, приобретенный им до школы. Дети еще в дошкольный период имеют некоторые представления о величинах. Поэтому необходимо выяснить, какие знания имеются у детей и уточнить соответствующие пары понятий: длинный – короткий, широкий – узкий, тяжелый – легкий, раньше - позже и т.п.

2. Введение величины как свойства реальных предметов.

Л.Г. Петерсон [31] считает необходимым на первых этапах знакомства с величинами (при изучении длины) дать обобщенное представление о величине. Детям предлагается назвать знакомые им свойства предметов (цвет, форма, размер, материал, назначение, запах и.т.д.). Далее учитель сообщает: " Мы начинаем изучать такие свойства предметов, по которым их можно сравнить с помощью знаков " больше", " меньше", " равно". Такие свойства предметов называются величинами". Уточняется, что цвет не является величиной (мы не можем определить, какой цвет больше или меньше). Дети приводят примеры таких свойств предметов, которые являются величинами, например, они могут назвать длину, ширину, рост, температуру и т. п. После этого идет ознакомление с длиной как одной из первых изучаемых величин. После знакомства с длиной Л.Г. Петерсон предлагает проговорить с детьми основные выводы: " Величина – это количественная характеристика некоторого свойства предметов. Длина является величиной. Она характеризует, длиннее предмет или короче".

Введение термина " величина" предусмотрено и в учебниках математики в системе " Школа 2100" (авт. Т.Е. Демидовой, С.А. Козлова, А.П. Тонких). При введении длины делаются выводы: " Длина предмета – это величина. Величина – это такое свойство (признак) предметов, которое можно измерить и результат измерения записать с помощью числа".

Для выделения величины как свойства нужно предлагать следующие задания и упражнения:

- Определи, одинаковые предметы или разные.
- Определи, чем похожи предметы, а чем отличаются.
- Определи, что изменилось, а что не изменилось.
- Найди такой же предмет по заданному признаку.

3. Сравнение однородных величин.

а) Непосредственное сравнение величин (без использования измерений)

Величины могут сравниваться визуально (на глаз), на основе тактильных ощущений (например, " на руку" ), с помощью наложения, приложения.

б) Опосредованное сравнение величин (с помощью посредника или мерки).

4. Знакомство с первой единицей измерения величины.

Знакомство с первой единицей измерения величины осуществляется на основе следующей методики:

а) Показ необходимости введения единицы измерения как стандартной мерки.

До введения первой единицы измерения учащиеся измеряют величины с помощью произвольных мерок и на этой основе выполняют сравнение величин.

Детям предлагается измерить одну и ту же величину с помощью разных мерок. У них получаются разные результаты. Учащиеся подводятся к выводу о неудобстве использования произвольных мерок и о необходимости введения общепринятой стандартной мерки.

В качестве такой стандартной мерки обычно берется достаточно распространенная и удобная для измерения единица: для длины – сантиметр, для массы – килограмм, для емкости – литр, для площади – квадратный сантиметр, для времени – час.

Вопрос о том, какая единица измерения должна вводиться первой, является спорным. Например, многие методисты считают, что первой единицей длины должен быть метр, т.к. метр - это эталон, он наиболее часто встречается в речи, наиболее понятен. Но в большинстве программ по математике первым вводится сантиметр, т.к. с ним легче организовать практическую работу по измерению длины.

б) Знакомство с первой единицей измерения величины, создание реального представления о ней.

Учитель сообщает о существовании общепринятой стандартной мерки, т.е. единицы измерения величины, называет ее, показывает запись соответствующего именованного числа (например, 1см). Далее детям дается наглядное представление о введенной единице измерения (показ эталона единицы измерения, различных моделей, вычерчивание в тетради и т.п.).

Желательно изготовить различные эталоны единицы измерения. Например, килограммовая гиря или пакеты с крупой, горохом и т.п. массой 1 кг; модель сантиметра из картона, проволоки, модель квадратного сантиметра из картона. В качестве условного эталона для часа можно использовать ленту времени, где определенная полоска соответствует часу. Сантиметр можно найти на двигательных органах ребенка, например, ширина пальца равна сантиметру.

в) Измерение и отмеривание с помощью введенной единицы измерения без использования приборов и инструментов.

Проводятся практические работы по измерению и отмериванию с помощью моделей единицы измерения. Могут использоваться и приборы и инструменты, но без шкалы (чашечные весы, циркуль и т.п.).

г) Измерение и отмеривание с помощью введенной единицы измерения с использованием приборов и инструментов.

Как правило, используются приборы и инструменты, имеющие шкалу, например, линейка, часы. Но могут использоваться и приборы без шкалы, например, чашечные весы, палетка.

Учитель знакомит детей с прибором или инструментом, предназначенным для измерения данной величины, учит им пользоваться. А затем предлагается с помощью данного прибора или инструмента выполнять измерение или отмеривание различных величин.

Измерение – это сравнение величины с выбранной единицей измерения. Отмеривание – это построение величины с помощью заданной мерки (единицы измерения) и указанного числа (количества таких единиц).

 

5. Сравнение величин на основе их измерения.

Детям предлагаются задания по сравнению величин. Они могут сравнить их непосредственно, например, сделать прикидку на глаз, а затем выполнить соответствующие измерения и проверить правильность своих предположений.

^. Введение новых единиц измерения. Работа с именованными числами (сравнение, преобразование, арифметические действия над именованными числами).

Методика введения любой новой единицы измерения величины, кроме первой (для единиц измерения длины, массы, площади, объема), включает несколько этапов:

а) Показ практической необходимости новой единицы измерения.

Необходимо создать практическую ситуацию, в которой детям было бы неудобно использовать известные им единицы измерения величины, и у них возникла бы необходимость в новой единице измерения (более крупной или более мелкой).

б) Введение новой единицы измерения, создание реального представления о ней.

в) Установление соотношения новой единицы измерения с ранее изученными единицами.

г) Измерение и отмеривание с помощью новой единицы измерения.

д) Выполнение упражнений с именованными числами:

а) преобразование именованных чисел: замена крупных мер мелкими, например,

5 кг 24 г =  г; замена мелких мер крупными, например, 300 см =  м

б) сравнение именованных чисел, например, 45 см * 4 дм;

в) арифметические действия с именованными числами.

Основой работы во всех этих упражнениях является знание соотношений между различными единицами измерений, например 1 м = 100 см, 1 кг = 1000 г и т.д.

7. Обобщение знаний о величине. Составление и заучивание таблицы единиц измерения величины.

В 4 классе знания о величине систематизируются и обобщаются. Составляются и заучиваются таблицы единиц измерения величины. Для всех величин, кроме времени, важно показать связь представленных в таблице соотношений с десятичной системой счисления.

Требования к методике работы над величинами

1. Понятие о величине должно вводиться на основе практических действий по сравнению величин.

2. Необходимо опираться на личный опыт и наблюдения учащихся, осуществлять связь с жизнью. Важно создавать жизненные ситуации, которые помогали бы убедиться в необходимости новых единиц измерения, в важности выполнения точных и правильных измерений.

Для установления связи с жизнью можно использовать различные игры, в которых предполагается работа с величинами, например, " Магазин", " Почта", " Поездка на транспорте" и т.п.

3. Изучение величин должно быть активным. Его нельзя сводить только к заучиванию таблиц единиц измерения и к решению задач, в которых фигурируют различные величины. Нужно строить работу так, чтобы дети сами изготавливали единицы измерения величин, активно работали с измерительными приборами и инструментами, выполняли измерения с помощью приборов и инструментов и без них, учились применять на практике свои измерительные навыки.

4. Изучение величин должно быть наглядным. Нужно, чтобы дети четко представили каждую единицу измерения, используя разные органы чувств..

5. Особое внимание нужно уделять развитию глазомера, зрительных и тактильных ощущений, формированию умения ориентироваться в пространстве.

Измерению с помощью инструментов должно предшествовать определение размеров предмета на глаз, массы предмета – на руку.

6. Нужно осуществлять связь изучения величин с изучением других разделов начального курса математики. При этом измерительные инструменты можно использовать как наглядные пособия. Например, линейку можно использовать в качестве счетной машины, а весы – как основу для введения уравнений.

7. Закрепление знаний о величинах нужно проводить не только на уроках математики, но и на уроках трудового обучения (технологии), физкультуре, ознакомления с окружающим миром, а также во внеклассной работе.

8. Нужно учитывать, что у детей с отклонениями в развитии формирование навыков происходит очень медленно. Требуется большое количество упражнений для освоения различных действий. Поэтому упражнения в измерениях нужно проводить систематически. Можно предлагать не только фронтальные задания, но и индивидуальные.

 

 

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться:

Популярное:

1. А. Гамельтон об имущественном неравенстве.
2. Второе начало термодинамики. Равенство Клаузиуса, энтропия. Энтропия идеального газа.
3. Государственное регулирование распределения доходов. Проблемы неравенства и бедности в Российской Федерации.
4. Классификация болезней из группы «истинных колик»
5. Необходимый признак сходимости числовых рядов
6. Непрерывные случайные величины: законы распределения и числовые характеристики.
7. НЕРАВЕНСТВО В РАСПРЕДЕЛЕНИИ НАЦИОНАЛЬНОГО ДОХОДА. КРИВАЯ ЛОРЕНЦА. КОЭФФИЦИЕНТ ДЖИННИ
8. Право провозглашает приоритет принципов свободы, равенства, гуманизма, справедливости,
9. Принцип равенства граждан и организаций перед законом и судом
10. Принцип равенства граждан перед законом
11. Принцип равенства граждан перед законом
12. Ранние формы неравенства и система редистрибуции