Виды процентных ставок и способы начисления процентов.

СМК-УМК 4.4.2-42-12

Обсуждена на заседании ПМК

Протокол № от " " __________2012 года

Санкт-Петербург

	Должность	Фамилия/ Подпись	Дата
Разработал	Профессор кафедры	С.П. Еременко
Проверил	Заместитель нач. каф.	Е.Н. Бардулин

Еременко С.П.

Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины «Основы финансовых вычислений» и выполнению контрольной работы

Направление подготовки

080100 Экономика

Квалификация (степень)

«Бакалавр»

«Основы финансовых вычислений» (Финансовая математика) используется для проведения количественного финансового анализа денежных потоков в различных отраслях экономики.

Теоретическая часть Методических рекомендаций содержит описание математических средств и методов, применяемых при расчете показателей любых финансовых инструментов, приносящих доход. Большое количество примеров способствует освоению материала и выполнению итоговых контрольных заданий.

Методические рекомендации предназначены для слушателей ИЗДО.

Рецензенты:

И.К. Сиденко

кандидат экономических наук, доцент

(Санкт-Петербургский университет МВД России);

С.А. Иванов

доктор экономических наук, профессор

(Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России)

Оглавление

Введение 4

Теоретическая часть_ 5

1. Основные понятия. 5

2. Простые проценты. 6

2.3. Простые переменные ставки. 7

2.4. Реинвестирование по простым процентам. 7

2.5. Дисконтирование и учет по простым ставкам. 7

2.6. Наращение по учетной ставке. 8

2.7. Совмещение начисления процентов по ставке наращения и дисконтирования по учетной ставке. 8

2.8. Определение сроков ссуды, величин простых процентных и учетных ставок. 9

3. Сложные проценты. 10

3.4. Начисление процентов при дробном числе лет. 11

3.5. Номинальная и эффективная ставки процентов. 11

3.6. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов. 13

3.7. Номинальная и эффективная учетные ставки процентов. 14

3.8. Наращение по сложной учетной станке. 14

3.9. Непрерывные проценты. 14

3.10. Связь дискретных и непрерывных процентов. 15

3.11. Определение срока ссуды и размера процентной ставки. 15

4. Влияние инфляции и налогооблажения на ставку процента. 16

4.2. Наращение по простым процентам. 17

4.3. Наращение по сложным процентам. 18

4.4. Компенсация потерь от снижения покупательской способности денег. 19

4.5. Измерение реальной ставки процента. 19

4.6. Учет налогов. 20

5. Эквивалентность процентных ставок 21

5.1. Эквивалентность простых и сложных процентных ставок при начислении процентов один раз в год. 21

5.2. Эквивалентность простой ставки процентов и учетной ставки. 22

5.3. Эффективная процентная ставка. 22

6. Финансовые ренты. 22

6.2. Формулы наращенной суммы. 24

6.3. Современная ценность финансовой ренты. 26

7. Погашение кредитов. 29

7.2. Погашение долга равными срочными уплатами. 30

7.3. Погашение займа равными выплатами основного долга. 33

7.4. Формирование фонда погашения. 33

Вопросы к зачету_ 36

Тесты_ 38

Практическая часть_ 42

2. Математическое дисконтирование в случаях простой и сложной процентной ставке 45

3. Банковский учет по простой и сложной учетной ставке. Рост по учетной ставке 46

4.Определение срока платежа, процентных и учетных ставок. 49

5. Эквивалентность финансовых операций в случаях простой и сложной процентной ставке 50

6. Наращение сложных и простых процентов с учетом инфляции_ 52

7. Наращение сложных и простых процентов с учетом налогов 54

8. Наращенная сумма постоянной финансовой ренты. Современная стоимость постоянной ренты_ 55

9. Определение параметров постоянных рент постнумерандо_ 57

10. Погашение основного долга равными суммами_ 58

Задачи для самостоятельного решения_ 61

Глоссарий_ 65

Контрольная работа для слушателей заочного обучения_ 69

Литература_ 72

Введение

«Основы финансовых вычислений» (Финансовая математика) представляет собой совокупность методов определения изменения стоимости денег, происходящего вследствие их возвратного движения в процессе воспроизводства. Со структурной точки зрения это стройная система аналитических формул и способов исчисления. Объектом исследования финансовой математики являются финансовые операции, а также определенный круг методов вычислений, необходимость в которых возникает всякий раз, когда в условиях финансовой операции оговариваются конкретные значения трех видов параметров, а именно:

- стоимостные характеристики (размеры платежей, долговых обязательств, кредитов, стоимости фондов, объемы денежных средств и т.д.);

- временн е данные (даты или сроки выплат, продолжительность периодов начисления или отсрочки платежей и т.д.);

- параметры, определяющие изменение стоимостных характеристик (процентные ставки).

Особое внимание здесь обращается на фактор времени. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования и кредитования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т.д. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.

Между параметрами, лежащими в основе финансовой операции, объективно существуют функциональные зависимости. Изучение этих зависимостей и разработка на их основе методов решения финансовых задач определенного класса является предметом финансовой математики

Финансовая математика применяется в банковском и сберегательном деле, страховании, в работе финансовых организаций, торговых фирм и инвестиционных компаний, фондовых и валютных бирж, во внешнеэкономической деятельности.

Теоретическая часть

Основные понятия.

Под процентными деньгами или, кратко, процентами в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: в виде выдачи денежной ссуды, продажи в кредит, помещении денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.д.

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки ( величина, которая характеризует интенсивность начисления процентов) - отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды. Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или натуральной дроби. В последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или даже 1/32.

Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления, его не следует путать со сроком (интервалом) начисления. Интервал начисления – это минимальный промежуток времени, по прошествии которого происходит начисление процентов. Например, первоначальная сумма может быть инвестирована на 2 года (период начисления), а проценты на нее будут начисляться каждый квартал (интервал начисления).

Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. в отдельные (обычно равноотстоящие) моменты времени (дискретные проценты), причем, в качестве периодов начисления принимают год, полугодие, квартал, месяц. Иногда практикуют ежедневное начисление, а в ряде случаев удобно применять непрерывные проценты.

Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга (капитализация процента). Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением или ростом первоначальной суммы.

В количественном финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле - как измеритель степени доходности (эффективности) финансовой операции или коммерческо-хозяйственной деятельности.

Простые проценты.

Простые переменные ставки.

Как указывалось ранее, при заключении кредитного соглашения может быть установлена постоянная на весь период процентная ставка или изменяющаяся (переменная) процентная ставка.

При установлении переменной процентной ставки, т.е. дискретно изменяющейся во времени ставке, наращенная сумма определяется по формуле:

(3)

где - ставка простых процентов в периоде t; - продолжительность начисления ставки ; m - число периодов начисления процентов.

Определение сроков ссуды.

В процессе подготовки кредитного договора, когда согласованы его основные параметры (сумма погашения долга S, процентная ставка i или учетная ставка d, величина ссуды P), срок погашения ссуды определяется по формуле:

где n - срок ссуды в годах.

Для определения срока ссуды в днях следует воспользоваться формулой:

где K=360 или 365(366) дней.

Определение срока ссуды при использовании учетной ставки производится по формуле:

где n - срок ссуды в годах.

В случае, когда срок ссуды необходимо определить в днях, расчет производится по формуле:

где t - число дней ссуды.

2.8.2. Определение уровня простой процентной и учетной ставокпо остальным параметрам сделки производится следующим образом:

ставка процентов

учетная ставка ,

где К=360 или 365(366) дней.

Сложные проценты.

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной - она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Переменные ставки.

Формула (11) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле

(12)

где - последовательные значения ставок процентов; - периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Наряду с изменяющимися процентными ставками могут использоваться «плавающие» ставки, т.е. ставки, рост которых «привязывается» к темпам инфляции или какому-либо другому показателю, например ставкам рефинансирования, устанавливаемым Центральным банком страны. Естественно, что в этом случае невозможно заранее рассчитать наращенную сумму.

Формула удвоения суммы.

В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке?

Чтобы первоначальная сумма P увеличилась в N раз, необходимо, чтобы коэффициенты наращения были равны величине N, т.е.

а) для простых процентов , откуда ;

б) для сложных процентов , откуда

Наиболее часто решается задача по определению времени, необходимого для удвоения первоначального капитала, т.е. N = 2. Тогда

а) при удвоении по простым процентам ;

б) при удвоении по сложным процентам .

В случае отсутствия калькулятора или таблицы логарифмов время, необходимое для удвоения первоначального капитала по сложным процентам, можно определить приблизительно на основании выражения

Математический учет.

В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам: из выражения найдем значение P:

(17)

где - учетный или дисконтный множитель. При начислении процентов m раз в году получим:

(18)

Величину P, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент.

Разность S - P, в случае, когда Р определено дисконтированием, называют дисконтом:

3.6.2. Банковский учет.

В практике учетных операций иногда применяют сложную учетную ставку. В этих случаях процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой учетной ставке), а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

(19)

где d_c - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

Непрерывные проценты.

Начисление процентов на первоначальный капитал, или дисконтирование наращенных сумм, может производиться так часто, что этот процесс можно рассматривать как непрерывный. В этом случае используются непрерывные проценты. Суть непрерывных процентов заключается в том, что количество периодов наращения или дисконтирования стремится к бесконечности, а временной интервал между периодами - к нулю.

Непрерывные проценты используются при обосновании и выборе инвестиционных проектов, при количественном финансово-экономическом анализе сложных хозяйственных процессов.

Непрерывное наращение процентов производится с помощью особого вида процентной ставки, именуемой силой роста. Сила роста есть относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени, т.е.

Сила роста может быть постоянной или переменной

Постоянная сила роста.

Как было показано выше, при дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как

Чем больше m, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов, в пределе при имеем

Если ставку непрерывных процентов (силу роста) обозначить через , то величину наращенной суммы запишем в следующем виде:

(24)

Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при . Дисконтирование (математическое) на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

(25)

Простые проценты.

Брутто-ставка находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке процента

(35)

Именно под такую ставку простых процентов нужно положить первоначальную сумму на срок n, чтобы при уровне инфляции h за рассматриваемый период обеспечить реальную доходность в виде годовой простой ставки i. Если n = 1, то - формула Фишера, - инфляционная премия.

Сложные проценты.

Считая, что годовой темп инфляции равен h, можем написать равенство соответствующих множителей наращения

(36)

где i - реальная ставка. Т.е. инфляционная премия равна h/100+ih/100.

Замечание. При больших темпах инфляции корректировка ставки имеет смысл только для кратко- или в крайнем случае среднесрочных операций.

Учет налогов.

В ряде стран проценты, получаемые кредитором или вкладчиком, облагаются налогом, что, естественно, уменьшает величину реально получаемой наращенной суммы и доходность депозитной операции.

Обозначим наращенную сумму до уплаты налогов, как и раньше, через S, а после уплаты через С. Пусть ставка налога на проценты равна q.

Тогда при начислении простых процентов получаем, что сумма налога равна

а наращенная сумма после уплаты налогов

Это выражение означает, что при начислении простых процентов учет налога сводится к соответствующему сокращению процентной ставки: для получения реального наращения следует вместо ставки i применять ставку

При начислении налога на сложные проценты, применяемые обычно в среднесрочных и долгосрочных операциях, возможны два варианта расчета: определение налога за весь срок сразу, и расчет процентов за каждый год в отдельности. Первый вариант удобен, когда налоговая ставка в пределах облагаемого налогом периода, остается неизменной. Второй оказывается единственно возможным, когда налоговая ставка из года в год меняется.

В первом варианте расчета сумма налога за весь срок равна

(39)

а наращенная сумма после выплаты налога

(40) Во втором варианте сумма налога рассчитывается за каждый истекший год. Поскольку речь идет о сложных процентах, ясно, что сумма процентов будет из года в год возрастать, соответственно будет изменяться и сумма налога.

Обозначим сумму налога за год t через G_t. Ее можно найти с помощью следующего рекуррентного выражения:

(41)

За весь срок сумма налогов равна полученной выше величине (39)

Иначе говоря, метод взыскания налога не влияет на общую его сумму. Однако, для плательщика налога далеко небезразлично, когда он его выплачивает.

Пример 7. Пусть ставка налога на проценты равна 10%. Процентная ставка -30% годовых, срок начисления процентов - 3 года. Первоначальная сумма ссуды 1 млн. руб. Определить размеры налога на проценты при начислении простых и сложных процентов.

Решение. При начислении простых процентов за весь срок получим следующие размеры наращенной суммы:

1900 тыс. руб. без уплаты налога

С=1000 = 1810 тыс. руб. с учетом выплаты налога.

Начислим теперь сложные проценты:

2197 тыс. руб. без уплаты налога

С=1000[(1-0, 1)(1+0, 3)³ + 0, 1] = 2077, 3 тыс. руб. с учетом его выплаты за весь срок сразу.

Сумма налога равна 119, 7 тыс. руб.

При последовательной выплате налога:

за первый год выплачивается 1000 * 0, 1 * 0, 3 = 30 тыс. руб.

Налог за второй год 1000* 1, 3 * 0, 3* 0, 1 =39.

За третий год 1000 * 1, 3² *0, 3 * 0, 1 = 50, 7.

Общая сумма налога равна 119, 7 тыс. руб.

Финансовые ренты.

Основные понятия.

Ранее рассмотрели случаи, когда начисление процентов или дисконтирование производилось по отношению к одноразовому вкладу (депозиту) или ссуде.

Между тем оплата по заключенным сделкам может предусматривать как разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени. Погашение среднесрочной и долгосрочной банковской задолженности, коммерческого кредита, инвестирование средств в различные программы, создание денежных фондов целевого назначения и т.п. в большинстве случаев предусматривает выплаты, производимые через определенные промежутки времени. При этом возникает ряд последовательных платежей, которые именуют потоком платежей.

Ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени, называются финансовой рентой или аннуитетом.

Финансовая рента (далее - рента) может быть охарактеризована рядом параметров:

- член ренты - величина каждого отдельного платежа;

- период ренты - временной интервал между двумя платежами;

- срок ренты - время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа;

- процентная ставка - ставка, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей, составляющих ренту.

Кроме перечисленных параметров рента характеризуется: количеством платежей в течение года, частотой начисления процентов (т.е. количеством периодов в году, когда начисляются проценты), моментом производства платежей (в начале, в середине или в конце года) и др.

На практике используются различные виды финансовых рент.

Ренты, по которым платежи производятся раз в год, называются годовыми. При производстве платежей несколько раз в году (р раз) ренты называются р-срочными. Кроме того, встречаются ренты, у которых период между платежами может превышать год. Все перечисленные ренты называются дискретными.

Наряду с дискретными встречаются ренты, у которых платежи производятся так часто, что их можно рассматривать как непрерывные. Они так и называются - «непрерывные ренты».

Взависимости от частоты начисления процентов различают ренты с начислением процентов один раз в год, несколько раз в году (m раз) и непрерывным начислением.

С точки зрения стабильности размера платежей ренты подразделяются на постоянные (платежи - члены ренты - равны между собой ) и переменные.

Рента, выплата которой не ограничена какими-либо условиями, называется верной. Рента, выплата которой обусловлена наступлением какого-либо события, называется условной. Примером условной ренты могут служить страховые взносы, вносимые до наступления страхового случая.

Ренты могут иметь конечное число членов (ограниченные ренты) и быть с бесконечным числом членов (вечные ренты). Так, например, правительствами ряда стран выпускаются облигационные займы без ограничения срока погашения. Доходы по этим облигациям, выплачиваемые через определенные промежутки времени, являются членами вечной ренты.

По моменту, с которого начинается реализация рентных платежей, ренты делятся на немедленные, когда платежи производятся сражу же после заключения контракта, и отложенные (отсроченные ), срок реализации которых откладывается на указанное в контракте время.

По моменту выплат членов ренты последние подразделяются на обычные (постнумерандо), в которых платежи производятся в конце соответствующих периодов (года, полугодия и т.д.), и пренумерандо, в которых платежи осуществляются в начале этих периодов. Встречаются также ренты, в которых предусматривается поступление платежей в середине периода.

Обобщающими показателями ренты являются:

- наращенная сумма;

- современная (приведенная) величина.

Наращенная сумма - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращенная сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.

Современные величина потока платежей - сумма всех его членов, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему. Современная величина показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы разбив ее на равные взносы, на которые бы начислялись установленные проценты в течение срока ренты, можно было бы обеспечить получение наращенной суммы.

Обобщающие характеристики ренты используются в финансовом анализе при заключении различных коммерческих сделок, для планирования погашения задолженности, сравнения эффективности контрактов, имеющих различные условия их реализации.

Формулы наращенной суммы.

При выводе различных формул, относящихся к расчетам финансовых рент, часто будет использоваться формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:

(53)

Обычная годовая рента.

Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R денежных единиц, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i. Изобразим эту ренту на оси времени (рис. 1)

R R R R R

0 1 2 n-1 n число лет

Рис. 1

Выведем формулу вычисления наращенной суммы S к моменту n.

Платеж, сделанный в момент n, входит в наращенную сумму без изменений, т.е. в размере R. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент n-1, равна R(1+i). Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент n-2, равна и т.д. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент 2, равна , а в момент 1 - .

Таким образом, наращенная сумма всей ренты в момент n будет равна:

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой , знаменатель , число членов – n. По формуле (53) найдем сумму первых n членов этой геометрической прогрессии:

(54)

где - коэффициент наращения ренты (коэффициент аккумуляции вкладов).

Рента p-срочная.

В этом случае ежегодно p раз производятся платежи через равные промежутки времени. Каждый платеж равен . Проценты начисляются m раз в году по ставке j, т.е. процент за один период времени равен .

Выведем формулу, выражающую наращенную к моменту n сумму этой ренты.

На последний платеж проценты не начисляются, и он входит в наращенную сумму без изменения, т.е. в размере . На предпоследний платеж начисляются проценты по ставке j за период равный части года, и наращенная к моменту n на этот платеж сумма равна . На второй с конца платеж проценты начисляются по ставке j за период, равный части года и наращенная к моменту n на этот платеж сумма равна . Последний платеж делается за лет до момента n, т.е. наращенная в момент n на этот платеж сумма, равна .

Вся наращенная на ренту сумма равна:

(57)

6.2.5. Частный случай p-срочной ренты при p = m.

В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают по времени. Таким образом, число платежей p в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. p = m. В этом случае формула (57) примет вид:

(58)

Обычная годовая рента.

Рассмотрим ренту, состоящую из n платежей, каждый из которых равен R и делается в конце каждого периода начисления процентов. Если за каждый период начисляются сложные проценты по ставке i, то наращенная сумма этой финансовой ренты равна . Современная ценность ренты равна современной ценности её наращенной суммы, т.е.

(59)

где - коэффициент приведения ренты, показывающий, сколько рентных платежей (R) содержится в современной величине; A – современная ценность денег в момент 0.

6.3.2. Рента p-срочная, m = 1.

Наращенная сумма такой ренты равна . Современная ценность ренты равна современной ценности её наращенной суммы, т.е.

Отложенные ренты.

Начало выплат у отложенной (отсроченной) ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Например, погашение задолженности планируется начать спустя обусловленный срок (льготный период). Ясно, что сдвиг во времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иначе обстоит дело с современной стоимостью ренты.

Пусть рента выплачивается спустя t лет после некоторого начального момента времени. Современная стоимость ренты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна A. Современная стоимость на начало периода отсрочки в t лет равна дисконтированной на этот срок величине современной стоимости немедленной ренты. Для годовой ренты имеем:

(60)

где - современная величина отложенной ренты, - современная величина немедленной ренты, - дисконтный множитель за t лет .

Пример 8. Строительной фирмой заключен контракт на строительство здания. Согласно контракту заказчик через два года после окончания строительства производит оплату в течение трех лет равными годовыми платежами, производимыми в конце года, в размере 2, 5 млн. руб. каждый. Процентная ставка установлена в 10% годовых; проценты начисляются в конце года. Определить выигрыш заказчика, полученный в результате отсрочки платежа на два года.

Решение. 1) Современная величина немедленной ренты:

млн. руб.

2) Современная величина отложенной ренты:

млн. руб.

3) Выигрыш заказчика:

6, 21725 – 5, 138223 = 1, 079027 млн. руб.

Вечная рента.

Вечной рентой называется финансовая рента с бесконечным числом членов. Например, некоторое благотворительное общество положило в банк определенную сумму денег и отчисляет ежегодно проценты от этой суммы в пользу детского дома. Число платежей, которые получит детский дом, не ограничено, эти платежи могут продолжаться как угодно долго, они образуют «вечную» ренту. Ясно, что наращенная сумма вечной ренты, каждый член которой равен положительному числу R, бесконечно велика, и говорить об её величине не имеет смысла. Иначе обстоит дело с современной ценностью вечной ренты. Современной ценностью вечной ренты является сумма, которую надо вложить в начальный момент под сложные проценты по данной ставке, чтобы в дальнейшем каждый год (или каждый период начисления процентов) можно было получать с этого вклада сумму R.

Современную ценность вечной ренты можно определить как предел современной ценности конечной ренты при неограниченном увеличении числа членов ренты.

Годовая рента с начислением процентов в конце каждого года по ставке сложных процентов, равной i:

p-срочная рента:

Если p = m, то

Рента пренумерандо.

Пусть R – ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в начале каждого года по сложной процентной ставке i, n – срок ренты.

Платеж, сделанный в момент n, даёт наращенную сумму . Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент n-1, равна . Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент n-2, равна и т.д. Сумма, наращенная к моменту n на платеж, сделанный в момент 2, равна , а в момент 1 - .

Таким образом, наращенная сумма всей ренты в момент n будет равна:

(61)

Из сравнения рент постнумерандо (54) и пренумерандо (61) ясно, что все формулы для ренты пренумерандо получаются из формул для ренты постнумерандо подстановкой вместо R величины R(1+i).

Сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (1+i) раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:

где S – наращенная сумма ренты постнумерандо.

Для годовой ренты пренумерандо с m-разовым и непрерывным начислением процентов расчет наращенных сумм производится по формулам:

Для p-срочной ренты:

Современные величины рент пренумерандо рассчитываются аналогично, т.е. рассчитывается современная величина обыкновенной ренты, которая умножается на соответствующий множитель наращения:

и т.д.

Погашение кредитов.

Основные понятия

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒