Тема: Решение задач на приложения двойных интегралов

Цель: Формирование навыков решения задач на приложения двойных интегралов

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Площадь плоской области в прямоугольных координатах вычисляется по формуле

; (1)

а в полярных координатах – по формуле

. (2)

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу областью и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости область (рис. 1), вычисляется по формуле

(3)

Примеры

Задание: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , .

Решение: Тело, ограниченное заданными поверхностями, представляет собой вертикальный параболический цилиндр, расположенный в первом октанте. Сверху тело ограничено плоскостью , сбоку параболическим цилиндром и плоскостями и . Найдем точки пересечения параболы и прямой : . Таким образом, получим одну точку пересечения .

Значение не рассматриваем, так как цилиндр расположен в первом октанте. Область запишем в виде системы неравенств и .

Согласно формуле (3), получим

(куб. ед.)

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах, если область ограничена линиями:

1) , ; 2) , , ;

3) , ; 4) , ;

5) , ; 6) , .

1. Вычислите объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

1) , , , , ;

2) , , , , ;

3) , , , , ;

4) , , , , ;

5) , , , .

Вопросы для самоконтроля:

1. По какой формуле вычисляется площадь плоской области в прямоугольных координатах?
2. По какой формуле вычисляется площадь плоской области в полярных координатах?
3. По какой формуле находится объем тела, ограниченного поверхностями?

Практическое занятие №20

Тема: Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Цель: Формирование навыков решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений первого порядка

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

, , .

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

.

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

,

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

.

Уравнение вида , где и - функции от , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частности и могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где и - новые функции от .

Примеры

Задание 1: Найдите общее решение уравнения .

Решение: Разделив переменные, имеем . Интегрируем обе части полученного уравнения:

; .

Так как произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо мы написали . Потенцируя последнее равенство, получим .

Это и есть общее решение данного уравнения.

Задание 2: Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение: Разделив переменные, имеем . Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

; ,

или

, .

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной подставим значения и в выражение для общего решения: , или , откуда .

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид .

Задание 3: Найдите общее решение уравнения .

Решение: Это линейное уравнение: здесь , . Положим и продифференцируем это равенство по :

.

Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим

,

или

. (*)

Так как одну из вспомогательных функций или можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения . Разделив в этом уравнении переменные и проинтегрируя, имеем , ; , (произвольную постоянную принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений).

Подставим теперь выражение для в уравнение (*); тогда получим уравнение , или .

Отсюда находим ; .

Зная и , теперь получим общее решение данного уравнения:

.

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите общее решение уравнений:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

8) .

1. Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

1) ; при ;

2) ; при ;

3) ; при ;

4) ; при ;

5) ; при ;

6) ; при ;

7) ; при .

1. Найдите общие решения уравнения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Какое уравнение называется дифференциальным?

2. Что называется решением дифференциального уравнения?

3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим?

4. Какое решение дифференциального уравнения называется частным?

5. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями первого порядка?

6. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными?

Практическое занятие №21

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Предмет и задачи дидактики
2. II. Предполагаемые союзники и их задачи
3. III. Целевые установки, задачи и направления обеспечения транспортной безопасности
4. А теперь мое решение проблемы
5. А теперь мое решение проблемы
6. Алгоритм решения задач линейного программирования с помощью Excel
7. Алгоритм решения задач ЛП графическим методом
8. Алгоритм решения транспортной задачи
9. Анализ подходов и методов решения задачи
10. Анализ современного состояния АПК в России: задачи и экономическая стратегия развития
11. Анализ состава задач по проектированию трудовых процессов и нормированию труда и возможностей их автоматизации.
12. БИЛЕТ 1. Цели, задачи и основные принципы православной педагогики. Сотериологический характер педагогических воззрений Святых Отцов Церкви