Тема: Нахождение суммы ряда по определению. Исследование сходимости положительных рядов

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 12

Цель: Формирование навыков нахождения суммы ряда по определению и исследования сходимости положительных рядов

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Числовым рядом называется сумма вида

, (1)

где числа , , , …, , …, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.

Суммы

………………

составленные из первых членов рядя (1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм , , , …, …. Если при бесконечном возрастании номера частичная сумма ряда стремится к пределу , то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, то есть или . Эта запись равносильна записи .

Если частичная сумма ряда (1) при неограниченном возрастании не имеет конечного предела (в частности, стремится к или к ), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходится, то значение при достаточно большом является приближенным выражением суммы ряда .

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, то есть , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Для знакоположительных числовых рядов имеет место признак сравнении, при помощи которого можно установить сходимость или расходимость.

Признак сравнения. Если члены положительного ряда

, (2)

начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда

, (3)

то из сходимости ряда (3) следует сходимости ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используются геометрическая прогрессия , которая сходится при и расходится при , и гармонический ряд , являющийся расходящимся рядом.

Примеры

Задание 1: Найти сумму членов ряда:

1) ;

2) .

Решение: 1) Находим частичные суммы членов ряда:

; ; ;

; ….

Запишем последовательность частичных сумм: , , , , …, , …. Общий член этой последовательности есть . Следовательно, . Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, рая сходится и его сумма равна .

2) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой , . Используя формулу , получим . Значит, ряд сходится и его сумма равна 1.

Задание 2: С помощью признака сравнения исследовать на сходимость ряды:

1) ;

2) .

Решение: 1) Сравним данный ряд с рядом

Ряд сходится, так как его член образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем . При это каждый член исследуемого ряда меньше соответствующего члена ряда . Поэтому, согласно признака сравнения, данный ряд сходится.

2) Сравним данный ряд с гармоническим рядом

Каждый член исследуемого ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена ряда . Так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, расходится и данный ряд.

Задания для самостоятельной работы

Найдите первые пять членов ряда по его заданному общему члену:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) .

Найти формулу общего члена ряда по его данным первым членам:

1) ; 2) ;

3) ;

4) ; 5) ;

6) ;

7) ; 8) .

Вычислите сумму членов ряда:

1) ;

2) ;

3) ;

Пользуясь признаком сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Вопросы для самоконтроля:

Что называется числовым рядом, членами ряда, общим членом ряда?
Что называют частичными суммами ряда?
Какой ряд называется сходящимся, расходящимся?
Что называется остатком ряда?
Сформулируйте признак сравнения для знакоположительного числового ряда.
Какие известные ряды используются при исследовании рядов на сходимость и расходимость?

Практическое занятие №23

Тема: Исследование сходимости знакочередующихся рядов. Исследование числовых рядов на абсолютную и условную сходимость

Цель: Формирование навыков исследования сходимости знакочередующихся рядов; исследования числовых рядов на абсолютную и условную сходимость

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Числовой ряд

(1)

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд (1) называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремиться к нулю при , то ряд (1) сходится.

Этот признак служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

, (2)

составленный из абсолютных величин его членов, то есть всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд (1) сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд (2) расходится, то данный ряд (1) называется условно (неабсолютно) сходящимся. Заметим, что из расходимость ряда (2) в общем случае не следует расходимость ряда (1).

Для установления абсолютной сходимости знакопеременного (и знакочередующегося) ряда используются те же признаки, что и для сходимости ряда с положительными членами.

Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знакочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда.

Если при исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно.

Примеры

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение: 1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и . Следовательно, согласно признаку Лейбницу, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда, который, как, известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

2) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают , но . Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

3) Используя признак Лейбница, получим ; , то есть ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Это геометрический ряд вида , который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

4) Используя признак Лейбница, имеем ; , то есть ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного рада: , или . Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как . Следовательно, данный ряд сходится условно.

Задания для самостоятельной работы

Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующиеся ряды:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) .

Вопросы для самоконтроля:

Какой ряд называется знакопеременным?
Какой ряд называется знакочередующимся?
Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
Какой ряд называется абсолютно сходящимся, условно сходящимся?
Какие признаки используются для установления абсолютной сходимости знакопеременного ряда?

Практическое занятие №24

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 1112