Непосредственное интегрирование

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 10Следующая ⇒

а) Работа с таблицей: предложенный интеграл оказался одним из табличных интегралов. В этом случае требуется безошибочно найти соответствующую формулу таблицы основных интегралов и ею воспользоваться.

Пример 1.

1. (формула 14)

2. (формула 16)

б) Метод разложения: предложенный интеграл после применения линейных свойств (4 и 5) неопределённого интеграла заменяется на алгебраическую сумму табличных интегралов.

Пример 2.

Ответ: .

Пример 3.

Ответ: .

Пример 4.

Ответ:

в) Подведение под знак дифференциала: предложенный интеграл удается свести к табличному с помощью изменения переменой интегрирования или за счёт преобразований под знаком дифференциала. При этом используют следующие формулы:

d(j(x)) = j'(x)dx;

и т.д.

Далее используют тот факт, что если известен результат

то равенство

будет справедливо для любой дифференцируемой функции u = j(x).

Пример 5.

Ответ: .

Пример 6.

Ответ: .

Пример 7.

Ответ: .

Пример 8.

Ответ: .

Пример 9.

Ответ: .

Интегрирование подстановкой

Подстановка (или замена переменной) базируется на следующей теореме.

Теорема 1. Если не удаётся найти интеграл непосредственно, то можно выбрать такую функцию x = j(t), удовлетворяющую условиям:

1) j(t) непрерывна при t Î (a; b), соответствующем интервалу xÎ (a; b),

2) дифференцируемая при tÎ (a; b);

3) имеет обратную функцию t = j^–1(x),

чтобы

, t = j^–1(x)

стал табличным или более простым. Иногда для упрощения интеграла можно сделать замену t = y(x).

Замечание. Выбор правильной подстановки в значительной степени зависит от искусства вычисляющего.

Пример 10.

Ответ: .

Пример 11.

Ответ: .

Пример 12.

Ответ: .

Пример 13.

Ответ: .

Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям базируется на следующей теореме.

Теорема 2. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на некотором интервале (a; b). Пусть на интервале (a; b) функция v(x)× u'(x) имеет первообразную. Тогда на интервале (a; b) функция u(x)× v'(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:

Доказательство. По формуле дифференцирования произведения:

(u(x)× v(x))'= u '(x)× v(x) + u(x)× v '(x)

и свойству неопределённого интеграла:

можно записать:

Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:

Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подынтегральное выражение на два множителя u(x) и dv(x) так, чтобы интеграл оказался легко интегрируемым.

Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три группы.

1)Кпервой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:

ln x; arcsin x; arccos x; arctg x; arcctg x; ln²x; lnj(x); arcsin²x; …

при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

Тогда за функцию u(x) берут соответствующую из перечисленных.

2) Ковторой группе относятся интегралы вида:

, ,

где a, b, a, n, A – некоторые постоянные числа, A > 0, n Î N.

При этом в качестве u(x) следует брать (ax +b)ⁿ и интегрировать по частям n раз.

3) К третьей группе относятся интегралы вида:

, , ,

где a, b, A – постоянные числа, A > 0, A ≠ 1.

Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u(x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.

Замечание. Указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.

Пример 14.