Первообразная функция и её свойства

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 10Следующая ⇒

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство F '(x) = f(x).

Пример 1. Функция F (x) = sin x является первообразной функции f(x) = cos x на бесконечном промежутке (– ¥; +¥ ), так как

F’(x) = (sin x) ' = cos x = f(x) для x Î (– ¥; +¥ ).

Нетрудно убедиться, что функции F₁(x) = sin x + 5 и F₂(x) = sin x – 10 также являются первообразными функции f(x) = cos x для всех (– ¥; +¥ ), т.е. если для функции f(x) на некотором промежутке существует первообразная функции, то она не является единственной. Докажем, что множество всех первообразных для данной функции f(x) есть множество, которое задаётся формулой F(x) + C, где C – любая постоянная величина.

Теорема 1 (об общем виде первообразной). Пусть F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на интервале (a; b). Тогда любая другая первообразная для функции f(x) на интервале (a; b) представлена в видеF(x) + C, где C – некоторое число.

Доказательство. Во-первых, проверим, что F(x) + C также является первообразной для функции f(x) на интервале (a; b).

По условию теоремы F(x) на интервале (a; b) является первообразной для функции f(x), поэтому выполняется равенство:

F '(x) = f(x) при любом xÎ (a; b).

Так как С – некоторое число, то

(F(x) + С) ' = F '(x)+С ' = F '(x) + 0 = f(x).

Отсюда следует: (F(x) + С)' = f(x) при любом xÎ (a; b), а значит F(x) + С на интервале (a; b) является первообразной для функции f(x).

Во-вторых, проверим, что если F(x) и Ф(x) – две первообразные для функции f(x) на интервале (a; b), то они различаются между собой на постоянную величину, т.е. F(x) – Ф(x) = const.

Обозначим j(x) = F(x) – Ф(x). Так как по предположению функции F(x) и Ф(x) первообразные на интервале (a; b) для функции f(x), то выполняются равенства: F '(x) = f(x) и Ф'(x) = f(x) при любом xÎ (a; b). Следовательно, j'(x) = F '(x) – Ф' (x) = f(x) – f(x) = 0 при любом xÎ (a; b).

Функция j(x) непрерывна и дифференцируема при xÎ (a; b). Значит, на любом отрезке [x₁; x₂] Ì (a; b) функция j(x) удовлетворяет теореме Лагранжа: существует точка Î (x₁; x₂), для которой выполняется равенство:

j(x₂) – j(x₁) = j' ( )× (x₂– x₁) = 0× (x₂– x₁) = 0

Þ j(x₂) – j(x₁) = 0 Þ j(x₂) = j(x₁) Þ j(x) = const.

Значит, F(x) – Ф(x) = const.

Итак, получили, что если известна одна первообразная F(x) для функции f(x) на интервале (a; b), то любая другая первообразная может быть представлена в виде F(x) + С, где С – произвольная постоянная величина. Такая форма записи первообразных носит название общего вида первообразной.

Понятие неопределённого интеграла

Определение 2. Множество всех первообразных для данной функции f(x) на интервале (a; b) называется неопределённым интегралом функции f(x) на этом интервале и обозначается символом:

В обозначении знак называется знаком интеграла, – подынтегральным выражением, – подынтегральной функцией, – переменной интегрирования.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на промежутке (a; b), то она имеет на промежутке (a; b) первообразную и неопределённый интеграл.

Замечание. Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции f(x) на некотором промежутке носит название интегрирования функции f(x).

Свойства неопределённого интеграла

Из определений первообразной F(x) и неопределённого интеграла от данной функции f(x) на некотором промежутке следуют свойства неопределённого интеграла:

1. .

2. .

3. , где С – произвольная постоянная.

4. , где k = const.

Замечание. Все вышеперечисленные свойства верны при условии, что интегралы, фигурирующие в них, рассматриваются на одном и том же промежутке и существуют.

Таблица основных неопределённых интегралов

Действие интегрирования является обратным действию дифференцирования, т.е. по заданной производной функции f(x) надо восстановить начальную функцию F(x). Тогда из определения 2 и таблицы производных (см. §4, п. 3, с. 24) получается таблица основных интегралов.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

В формулах 1-16 С – произвольная постоянная.

Замечание. Интеграл, взятый не от любой элементарной функции, является элементарной функцией. Примерами могут служить следующие интегралы, часто встречающиеся в задачах:

– интеграл Пуассона,

– интегралы Френеля,

– интегральный логарифм,

– интегральный косинус и синус.

Указанные функции существуют и имеют важное прикладное значение. Для этих функций составлены таблицы значений.

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 10 Следующая ⇒