Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f(x) в некоторой окрестности точки x₀ (рис. 6):

 

Рис. 6

Из DM₀AN

AN = M₀A× tg a = Dx× f '(x₀) = dy.

Итак: дифференциал функции y = f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной (AN), проведённой к кривой y = f(x) в точке (x₀; f(x₀)), при переходе от x₀ к x₀+Dx (от точки М₀ в точку М).

Инвариантность формы дифференциала

Теорема 14. Пусть функция y = f(u) дифференцируема в точке u, а функция u = u(x) дифференцируема в соответствующей точке x (u = u(x)). Тогда для сложной функции y = f(u(x)) справедливо равенство:

 

dy = f '(u)du = y'(x)dx.

Доказательство. Сложная функция y=f(u(x)) является дифференцируемой в точке x. Поэтому справедливо равенство:

 

dy = y'(x)dx.

Но так как функция y(x) = f(u(x)) сложная, то

 

y' (x) = f ' (u) × u' (x).

Поэтому dy = y'(x)dx = f '(u)× u'(x)dx = f '(u)× du, так как по условию теоремы функция u = u(x) дифференцируема в точке x, следовательно,

du = u' (x)× dx.

Теорема доказана.

 

Производные и дифференциалы высших порядков

Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке производную y' = f ' (x), которая в свою очередь может иметь производную: (y')' = (f '(x))' = y'', называемую второй производной функции y = f(x). Она обозначается:

Может случиться, что новая функция y''(x) имеет производную, тогда она называется третьей производной функции y = f(x) и обозначается:

Производная “n”-го порядка функции y = f(x) обозначается:

Дифференциалом второго порядка функции y = f(x) в точке x называется выражение, обозначаемое d²y и вычисляемое по формуле:

,

если x – независимая переменная.

Дифференциал третьего порядка функции y = f(x):

,

если x – независимая переменная, и т.д.

Замечание. Дифференциал уже второго порядка не обладает свойством инвариантности формы.

 

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, т.е. для любых

x Î [a; b] выполняется неравенство:

m ≤ f(x) ≤ M.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для любого числа С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [a; b] найдётся хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

f(х₀) = С.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на концах этого отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка х₀ Î (a; b), в которой выполняется равенство:

f(х₀) = 0.

Теорема Ролля

Теорема 4 (теорема Ролля). Если функция f(x) определена на отрезке [a; b] и выполнены следующие условия:

· f(x) непрерывна на отрезке [a; b];

· f(x) дифференцируема на интервале (a; b);

· f(a) = f(b),

то внутри этого отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

f '(х₀) = 0.

Доказательство.Так как f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.

Возможны два случая:

m = M и m < M.

· Если m = M, то f(x) = const = m = M. Тогда f '(x) = 0 при любом x Î [a; b]. Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х₀ можно рассматривать любое значение x Î [a; b].

· Если m < M, то исходя из условия f(a) = f(b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f(a) = f(b). Для определённости предположим, что M – наибольшее значение f(x) достигается не на концах отрезка [a; b], а в некоторой внутренней точке х₀ Î (a; b). Тогда в точке х₀ для приращения функции справедливо неравенство: Dy = f(х₀ + Dx) – f(х_о) ≤ 0, так как f(х₀) = M – наибольшее значение f(x) на отрезке [a; b] и Dx такое, что х₀ + D x Î [a; b].

· Если D x > 0, то и существует

· Если D x < 0, то и существует

Так как по условию теоремы функция f(x) дифференцируема при xÎ (a; b), то в точке х_о существует производная. Значит справедливы равенства:

f ' (х₀ + 0) = f ' (х₀ – 0) = f ' (х₀) = 0.

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля

С геометрической точки зрения теорема Ролля означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a; b], дифференцируемой на интервале (a; b) и принимающей на концах отрезка равные значения, имеет хотя бы одну точку с координатами (х₀ ; f (х₀)), где х₀Î (a; b), в которой касательная параллельна оси Ox (рис. 7).

Рис. 7

Теорема Лагранжа

Теорема 5 (теорема Лагранжа). Если функция f(x) определена на отрезке [a; b] и выполнены следующие условия:

· f(x) непрерывна на отрезке [a; b],

· f(x) дифференцируема на интервале (a; b),

то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

f ' (х₀) = .

Доказательство.Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) + l× x, где l = const. Потребуем, что бы для F(x) выполнялось условие F(a) = F(b).

Так как F(a) = f(a) + l× a и F(b) = f(b) + l× b, то получим равенство:

f(a) + l× a = f(b) + l× b.

Отсюда выразим значение l:

l = – .

При этом значении l функция F(x) = f(x) – .

Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

· F(x) непрерывна на отрезке [a; b]:

· F(x) дифференцируема на интервале (a; b)

· F(a) = F(b).

Следовательно, по теореме Ролля на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

F '(х₀) = 0.

Найдём F '(x):

F '(x) = f '(x) – .

Поэтому F '(x₀) = f '(х₀) – = 0, если f '(х₀) = .

Теорема доказана.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. БЕССМЫСЛЕННОСТЬ И ПСИХОТЕРАПИЯ
2. Бессолевая Диета Абсолютно Бессмысленна
3. Билет №24 1.идеал.идеал и реальный мир. (?)Проблема идеального. Знак. Значение. Смысл.
4. В этом основной смысл медитации: помочь вам выбраться из ума, помочь вам выбраться из различающего сознания и проложить дорогу, по которой вы могли бы войти в свидетельствующее сознание.
5. Ваши слова воздействуют на слушателя как правда, как несомненный здравый смысл. Происходит ли это потому, что Вы исходите из Ваших фундаментальных ощущений, а у слушателя нет опыта подобных ощущений?
6. Вовлеченность: главный терапевтический ответ на бессмысленность
7. Вопрос 15: Сознание как предмет философского осмысления. Многомерностьи полифункциональность сознания, философия и когнитивные науки о структуре и функциях сознания
8. Вопрос. Проблема личности и смысла жизни в «философии абсурда» А. Камю.
9. Вопрос. Роман Ф.М.Достоевского «Идиот». Смысл названия. Какой он князь Мышкин? Мышкинский путь спасения человечества. Удался ли он?
10. Всегда помни: слушая меня, пытайся понять мой смысл. Это трудно, но ты должен попытаться. В самой этой попытке ты выберешься из своих собственных смыслов.
11. Второе начало термодинамики и его статистический смысл Гипотиза Больцмана о связи энтропий и вероятности состояния.
12. Выражение смысловых отношений между словами и высказываниями.