Интегрирование рациональных дробей

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 16Следующая ⇒

Рациональной дробью называется дробь вида , где Р(х) и Q(х) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р(х) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

II. , где m – целое число, m > 1;

III. где , т.е. квадратный трехчлен х² + рх + q не имеет действительных корней;

IV. где n – целое число, n > 1; т.е. квадратный трехчлен х² + рх + q не имеет действительных корней.

Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, а – действительные числа. Перечисленные дроби соответственно называют соответственно дробями I, II, III и IV типов.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей I, II, III типов:

I. .

II. .

III. (здесь в знаменателе исходного интеграла выделили полный квадрат и свели к табличному интегралу).

IV. - сводится к табличному либо путем различных преобразований подынтегральной функции, либо используя рекуррентную формулу.

Пример 1. Найти интегралы:

а) б) в)

Решение.

а) Применяя табличные интегралы, получим:

б) Преобразуем подынтегральную функцию и представим заданный интеграл в виде суммы двух других, каждый из которых табличный:

в) Чтобы привести данный интеграл к табличному, выразим стоящую в числителе единицу как sin²x + cos²x и разделим почленно на знаменатель:

Если данный интеграл не является табличным и не может быть найден способом непосредственно интегрирования, то введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к табличному. В этом сущность так называемого метода подстановки.

Пример 2. Найти интегралы, применяя соответствующие подставки:

а) б) в) .

Решение.

а) Чтобы привести данный интеграл к табличному, положим t = x² + 1. Дифференцируя, получим dt = 2xdx, xdx = . Производя замену, получаем:

б) Пусть t = arcsin x, тогда ; следовательно,

в) Так как cosxdx есть дифференциал функции sin x, то данный интеграл приводится к табличному так:

Пусть u и – дифференцируемые функции от переменной х. Определим дифференциал произведения этих функций:

d (u ) = ud + du, откуда ud = d (u ) – du.

Проинтегрировав обе части последнего равенства, получим:

(1)

Эта формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Ей пользуются в тех случаях, когда есть более простой интеграл по отношению к данному интегралу .

Пример 3. Найти интегралы:

Решение.

а) Пусть u = х и dσ = e²^xdx, тогда du = dx и σ = .

Произвольную потоянную С можно учесть в окончательном ответе.

Применяя (1), получаем:

б) Пусть u = arc sin x, dσ = dx, тогда

Пример 4. Найти интегралы:

Решение.

а) Данная дробь – правильная, ее знаменатель разложен на простейшие множители. Множителю (х – 1)³ соответствует сумма трех простейших дробей а множителю (х + 3) – простейшая дробь Итак, имеем:

Освободимся от знаменателя:

х² + 1 = А(х + 3) + В(х – 1)²(х + 3) + С(х – 1)²(х+3)+ D(x – 1)³(2)

Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и –3.

Полагая в (2) х = 1, получаем, что 2 = 4А или А=

Полагая в (2) х = -3, получаем, что 10 = - 64 D или D = .

Сравним теперь коэффициенты при старших степенях х в левой и правой частях (*), т.е. при х³. В левой части равенства (*) нет члена с х³, т.е. коэффициент при х³ равен 0. В правой части коэффициент при х³ равен С + D. Итак, С + D = 0, откуда C =

Остается определить коэффициент В. Для этого надо иметь еще одно уравнение. Это уравнение можно получить путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х (например, при х²) или придав х какое-нибудь числовое значение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможно меньше. Полагая х = 0, получаем из равенства (2): 1 = 3А – 3В + 3С – D или т.е.

Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид:

Таким образом, получим:

б) Разложим знаменатель дроби на множители:

х⁵ – х² = х²(х³ - 1) = х²(х – 1) (х² + х + 1).

Тогда

Освобождаемся от знаменателя:

1 = А(х – 1)(х² +х + 1) + В(х – 1)(х² + х + 1)х + С х²(х² + х + + 1) + (Dx + E) x² (x – 1).

Действительными корнями знаменателя являются числа 0 и 1. Из последнего равенства при х = 0 имеем 1 = -А, т.е. А = -1; при х = 1, имеем 1 = 3С, т.е. С =

Перепишем предыдущее равенство в виде:

1 = А(х³ – 1) + В(х⁴ – х) + С(х⁴ + х³ + х²) + Dx⁴ +Ex³ –Dx³ – Ex².

Сравнивая коэффициенты при х⁴, х³, х², получаем систему уравнений

Итак,

Следовательно,

в) Так как х²+ 1 есть двукратный множитель, то Освобождаясь от знаменателя, получаем: х³- 2х = Ах + В + (Сх + D) (х²+ 1). Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:

х³: 1 = С,

х²: 0 = D,

х: -2 = А + С, А = -3,

х⁰: 0 = В + D, В = 0.

Следовательно,

г) Выделим целую часть данной неправильной дроби, поделив числитель на знаменатель:

Следовательно,

Разложим теперь правильную дробь на простейшие дроби:

Освободимся от знаменателей:

8х³ – 16х + 1 = А(х + 2)²+ В(х – 2)(х + 2)²+С(х – 2)²+D(х + 2)(х – 2)².

Принимая в последнем равенстве:

х = 2: 33 = 4² А, откуда А=

х = -2: -31 = 16 С, откуда С= -

х =0: 1 = 4А – 8В + 4С + 8D, откуда –16В + 16D = 1.

Для того, чтобы найти В и D, сравнив коэффициенты при х³, получим еще одно уравнение: 8 = В + D. Решим получившуюся систему уравнений:

Находим, что

Итак,

Определенный интеграл

Пусть функция у=f(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек х_о=а, х₁, х₂, …, х_n=bразобьем отрезок [а; b] на n частичных отрезкoв [х_о; х₁], [х₁; х₂], …, [x_n_-1; x_n].

2. В каждом чacтичном отрезке [x_i_-1; x_i], i= 1, 2, …, n выберем произвольную точку c_i [x_i_-1; x_i] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f(c_i).

3. Умножим найденное значение функции f(c_i) на длину соответствующего частичного отрезка: f(c_i)

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

S_n= f(c_i) + f(c_i) +…+ f(c_i) = (3)

Сумма видa. (1) называется uнтегралънoй суммой функции у=f(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину иаибольшего частичного отрезка: (i = 1, 2, ..., n).

5. Найдем предел интегральной суммы (1), когда n что .

Если при этом интeгральная сумма S_n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом

от функции у = f(x) на отрезке [а; b] и обозначается . Таким

образом,

. (4)

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, отрезок [а; b] –областью ( отрезком) интегрирования.

Функция у = f(x), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теорему существования определенного интеграла.

Теорема 2 (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то определенный интеграл существует.

Oтметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интeгpал может существовать и некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Укажем некоторые свойства опpеделенногo интеграла, непосредственно вытекающие из его определения (3).

1. Oпределeнный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования.

= =

Это следует из того, что интeгральная сумма (1), а следовательно, и ее предел (3) не зависят от тoгo, какой бyквой обозначается аргумент данной функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми предeлaми интегрирования равен нулю:

=0.

3. Для любого действительного числа с: .

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒