Замена переменной в определённом интеграле

Теорема 5. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и пусть функция x = j(t) имеет непрерывную производную j'(t) на отрезке [a; b], область значений этой функции – отрезок [a; b], т.е. a £ j (t) £ b для tÎ [a; b], причём j(a) = a, j(b) = b.

Тогда справедливо равенство:

.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует определённый интеграл и справедлива формула Ньютона– Лейбница:

(1)

где F(x) – одна из первообразных f (x) на отрезке [a; b].

Известно, что F(x) дифференцируема в любой точке отрезка [a; b], причём

F'(x) = f (x) для любого xÎ [a; b].

Так как функция x = j(t) непрерывна на [a; b] и множество её значений совпадает с отрезком [a; b], то сложные функции f(j(t)) и F(j(t)) непрерывны в любой точке t Î [a; b].

Так как j'(t) непрерывна на отрезке [a; b], то функция f(j(t)) × j'(t) тоже непрерывна на [a; b], а значит существует интеграл:

.

Покажем, что функция F(j(t)) является первообразной для . Действительно, (F(j (t)))'_t = F'(x)× j'(t) = f (x)× j'(t) = f (j (t))× j'(t) для любого t Î [a; b]. Поэтому можно к этому интегралу применить формулу Ньютона–Лейбница:

(2)

(так как j(b) = b и j(a) = a).

Сравнивая результаты (1) и (2) приходим к равенству:

.

Пример 3. Вычислить интеграл:

.

Ответ: .

Пример 4. Вычислить интеграл:

Ответ:

Интегрирование по частям в определённом интеграле

Теорема 6. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b]. Тогда справедливо равенство:

.

Доказательство. Так как (u(x)× v(x))' = u(x) v' (x) + u' (x)× v(x) для любого x Î [a; b], то функция u(x) × V(x) является одной из первообразных функции u (x) ∙ v' (x) + u' (x) ∙ v(x).

Поэтому по формуле Ньютона–Лейбница:

Пользуясь свойством определённого интеграла можно это равенство записать в виде:

Отсюда следует:

Эту формулу удобно записать в виде:

Пример 5. Вычислить интеграл:

Ответ: .

Пример 6. Вычислить интеграл:

Ответ:

Приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

а) Область D ограничена кривыми y = f(x) и y = g(x), прямыми x = a и x = b, причём f(x) ³ g(x) для xÎ [a; b].

.

б) Область D ограничена кривыми x = f(y) и x = g(y), прямыми y = c и y = d, причём f (y) ³ g(y) для yÎ [c; d].

.

Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат

а) Полярная система координат задается полярной осью Ox, полюсом – точка O и масштабной единицей (рис. 14)

 

Рис. 14

Точка M в этой системе задаётся двумя координатами (j и r): j – угол наклона радиуса-вектора к оси Ox; r – длина радиуса-вектора . Формулы перехода от полярной системы координат к прямоугольной системе, связанной с полярной точкой начала координат – точка 0, осью абсцисс с полярной осью и осью ординат, перпендикулярной полярной оси

M(j; r) = M(x; y): и

Уравнение кривой в полярной системе координат – соотношение между r и j: r = r (j).

б) Площадь криволинейного сектора в полярной системе, ограниченного лучами j =a и j = b, кривой r = r(j) (рис. 15), вычисляется по формуле:

.

Рис.15

Вычисление объёма тела по площадям параллельных сечений

Пусть задано объёмное тело T, для которого известна площадь S(x) любого сечения плоскостью, проходящей через точку (x; 0; 0) перпендикулярно оси Ox, a £ x £ b (рис. 16). Нужно вычислить объём тела.

Рис. 16

 

Пусть функция S(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда объём тела T вычисляется по формуле:

.

Вычисление объёма тела вращения

Надо вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции ABCD, ограниченной кривой y = f (x), осью Ox и прямыми x = a, x = b.

В таком случае площадь поперечного сечения в точке xÎ [a; b] круг радиусом f(x) равна:

.

Тогда объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции ABCD, вычисляется по формуле:

.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции ABCD, ограниченной кривой x = j(y), осью Oy и прямыми y = c, y = d, вычисляется по формуле:

.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

При изучении определённого интеграл от функции f (x), требуется, чтобы функция f (x) удовлетворяла следующим условиям:

· была определена на конечном отрезке [a; b];

· была непрерывна на отрезке [a; b].

Если нарушено хотя бы одно из указанных условий, то речь будет идти о несобственных интегралах первого и второго рода.

 

⇐ Предыдущая12345678910

Поделиться:

Популярное:

1. IV. ЗАЧЕТНО – ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
2. Государственная экзаменационная комиссия рекомендовала для промышленного внедрения
3. Государственной экзаменационной комиссии»
4. Единого государственного экзамена
5. Замена амортизатора передней подвески на автомобиле ВАЗ 2105
6. ЗАМЕНА ВЫРАЖЕНИЙ МАКРОКОМАНДАМИ
7. Замена нескольких парал ветвей с ист энергии на одну эквивал.
8. Изменение паспортных данных и замена документов (статья 71 УПК)
9. ИТОГОВОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА
10. ИТОГОВОГО ГОСУДАРСТВЕННОГОЭКЗАМЕНА
11. Контрольно-оценочные средства для экзамена (квалификационного)