Непрерывность функции в точке и на промежутке

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 10Следующая ⇒

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀Î D(f), если она определена в некоторой окрестности точки x₀и предел f(x) в точке x₀равен значению функции в этой точке, т.е.

Замечание.Из определения 1 следует правило вычисления предела функции в точке её непрерывности:

т.е. предел функции в точке её непрерывности равен значению функции в этой точке.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀Î D(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е. .

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀Î D(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует правый и левый предел f(x) в точке , причём они равны междусобой и равны значению функции в этой точке, т.е.

а) ;

б) ;

в) .

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 8. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то функции с × f(x) (c=const), f(x) ± g(x), f(x) × g(x) и (если g(x) ¹ 0) также непрерывны в точке x_0.

Теорема 9. Если функция u = u(x) непрерывна в точке x₀и функция y = f(u) непрерывна в точке u₀= u(x₀), то сложная функция y = f(u(x)) непрерывна в точке x₀.

Теорема 10. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения.

Точки разрыва функции и их классификация

Определение 5. Точка x₀называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция либо не определена, либо определена, но нарушено хотя бы одно из условий определения 3 непрерывности f(x).

Определение 6. Точка x₀называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но f(x) в точке x₀либо не определена, либо имеет значение f(x₀), не совпадающее с найденным пределом:

f(x₀– 0) = f(x₀+ 0) ¹ f(x₀).

Определение 7. Точка x₀называется точкой разрыва первого рода функции f(x) (разрыв типа «скачка»), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные между собой правый и левый пределы, т.е.

f(x₀– 0) ¹ f(x₀+ 0).

Определение 8. Точка x₀называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Примеры. Исследовать функции на непрерывность и точки разрыва.

Решение. На промежутке (–∞; –1) , на промежутке (–1; 1) и на промежутке (1; +∞ ) .

На этих промежутках элементарная функция f(x) непрерывна при всех x, принадлежащих этим промежуткам. Необходимо проверить непрерывность в точках x = –1 и x = 1.

Получили, что f(–1–0) ¹ f(–1+0) => x = –1 – точка разрыва функции f(x) I рода.

Получили, что f(1 – 0) = f(1 + 0) = f(1) = 0 => x = 1 – точка непрерывности функции f(x).

Ответ: f(x) непрерывна на промежутках (–∞; –1) и на (–1; +∞ ), точка x = –1 – точка разрыва функции f(x) I рода.

2.f(x) =

Решение. На промежутках (–∞; 0) и на (0; +∞ ) функция f(x) непрерывна. Исследуем точку x = 0 Ï D(f).

2) x = 0 – точка разрыва функции f(x) II рода.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение производной, её геометрический и механический смысл

Пусть дана функция , определённая на множестве D(f). Рассмотрим точку xÎ D(f) и некоторое число Dx – такое, чтобы точка x+DxÎ D(f). Это число Dx называется приращением аргумента x.

Определение 1. Приращением функции называется разность f(x+Dx) – f(x). Приращение функции обозначают Dy, т.е. Dy = f(x+Dx) – f(x).

Определение 2. Производной функции называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, если приращение аргумента Dx стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции обозначают: или . Поэтому можно записать: