И интегральное исчисление функции

Дифференциальное

И интегральное исчисление функции

Одной переменной

 

 

Утверждено Редакционным советом

университета в качестве учебного пособия

 

 

Москва

УДК 517 (075)

ББК 22.161.1

Д50

 

Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик

 

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета им. Д. И. Менделеева

Л. С. Гордеев

Кандидат физико-математических наук, доцент Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ)

С. А. Изотова

 

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной

Д50 переменной: учеб. пособие / Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло,

М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик; под ред. Е. Г. Рудаковской,

М. Ф. Рушайло. М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева,

2012. – 108 с.

ISBN 978-5-7237-0993-5

 

Пособие представляет сжатое изложение лекций по математическому анализу, читаемых кафедрой высшей математики.

Пособие охватывает следующие разделы курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций одной переменной, интегральное исчисление функций одной переменной. Большое внимание уделено разбору примеров по изучаемым темам, имеющим прикладное значение для других дисциплин.

Предназначено для студентов I курса всех факультетов и колледжей РХТУ им. Д. И. Менделеева.

 

УДК 517 (075)

ББК 22.161.1

 

 

ISBN 978-5-7237-0993-5 © Российский химико-технологический

университет им. Д. И. Менделеева, 2012

Оглавление

 

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 3

§ 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 3

1. Определение функции одной переменной. 3

2. Способы задания функции. 3

3. Сложная и обратная функции. 3

4. Элементарные функции. 3

§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.. 3

1. Предел функции в конечной точке x₀ 3

2. Односторонние пределы.. 3

3. Предел функции на бесконечности. 3

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 3

5. Основные теоремы о конечных пределах. 3

6. Первый замечательный предел. 3

7. Второй замечательный предел. 3

§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.. 3

1. Непрерывность функции в точке и на промежутке. 3

2. Точки разрыва функции и их классификация. 3

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.. 3

1. Определение производной, её геометрический и механический смысл. …….3

2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций. 3

3. Таблица производных основных элементарных функций. 3

4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции. 3

5. Правила дифференцирования. 3

6. Дифференцирование функции, заданной неявно. 3

7. Производные показательной и степенной функций. 3

8. Производные обратных тригонометрических функций. 3

9. Дифференциал функции. 3

10. Производные и дифференциалы высших порядков. 3

§ 5. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ……...37

1. Теорема Ролля. 3

2. Теорема Лагранжа. 3

3. Теорема Коши. 3

4. Правило Лопиталя. 3

§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ.. 3

1. Асимптоты плоской кривой. 3

2. Монотонность функции. 3

3. Экстремумы функции. 3

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции. 3

5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 3

6. Схема исследования функции. Построение графика. 3

ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 3

1. Первообразная функция и её свойства. 3

2. Понятие неопределённого интеграла. 3

3. Свойства неопределённого интеграла. 3

4. Таблица основных неопределённых интегралов. 3

§ 2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.. 3

1. Непосредственное интегрирование. 3

2. Интегрирование подстановкой. 3

3. Интегрирование по частям. 3

4. Интегрирование рациональных дробей. 3

5. Интегрирование тригонометрических выражений. 3

6. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений. 3

§ 3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 3

1. Задача, приводящая к определённому интегралу. 3

2. Свойства определённого интеграла. 3

3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. …....3

4. Методы интегрирования определённого интеграла. 3

5. Приложения определённого интеграла. 3

§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.. 3

1. Интегралы с бесконечными пределами. 3

2. Интегралы от разрывных функций. 3

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Сложная и обратная функции

Определение 1 . Пусть функция y = f(U) определена на множестве D(f), а функция U = g(x) определена на D(g), причём E(g) D(f).

Тогда функция y = F(x) = f(g(x)) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ).

Определение 2 . Пусть задана функция y = f(x) взаимно однозначно отображающая множество X = D(f) на множество Y = E(f).

Тогда функция x = g(y) называется обратной к функции y = f(x), т. е. любому y E(f) соответствует единственное значение x D(f), при котором верно равенство y = f(x).

Замечание. Графики функций y = f(x) и x = g(y) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x, а зависимую y, то графики функций y = f(x) и y = g(x) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

 

Элементарные функции

Основные элементарные функции:

y = const (постоянная функция), D(y) = R; E(y) = c.

(линейная функция), D(y) = R; E(y) = R.

y = (степенная функция), α Î R, E(y), D(y) зависят от α.

y = (показательная функция), a > 0, a ≠ 1, D(y) = R, E(y) = (0; +∞ ).

y = (логарифмическая функция) ), a > 0, a ≠ 1, D(y) = (0; +∞ ), E(y) = R.

Тригонометрические функции:

y = sin x, D(y) = R, E(y) = .

y = cos x, D(y) = R, E(y) = .

y = tg x, D(y) = , E(y) = R.

y = ctg x, D(y) = , E(y) = R.

Обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x, D(y) = , E(y) = .

y = arccos x, D(y) = , E(y) = .

y = arctg x, D(y) = R, E(y) = .

y = arcctg x, D(y) = R, E(y) = .

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

 

Графики обратных тригонометрических функций:

 

y = arcsin x Рис. 1	y = arccos x Рис. 2
y = arctg x Рис. 3	y = arcctg x Рис. 4

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1. Предел функции в конечной точке x₀

Определение 1. Окрестностью точки x₀называется любой интервал, содержащий точкуx₀:

.

Определение 2 . d-Окрестностью точки x₀называется интервал ( ; ), длина которого 2d, симметричный относительно x₀:

Определение 3. Проколотой d-окрестностью точки x₀ называется d-окрестность точки x₀ без самой точки x₀:

Определение 4. Число А называется пределом функции f(x) при x ® x₀, если для любого малого числа ε > 0 существует такое малое число , что для любого x, принадлежащего D(f) и проколотой δ -окрестности точки x₀, т.е. , выполняется неравенство: .

Итак: и .

Односторонние пределы

Определение 5. Число А называется правым (левым) пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого малого числа ε > 0 найдётся другое малое число – такое, что для всех и лежащих в правой (левой) окрестности точки x₀, т.е. , справедливо неравенство: .

При этом используют следующие обозначения:

– для правого предела.

– для левого предела.

Замечание 1. Если f(x) имеет в точке x₀, предел равный А, то существуют и и справедливо равенство:

.

Замечание 2.Если f(x) имеет в точке x₀ правый и левый пределы, равные между собой, то в точке функция f(x) имеет предел, равный числу:

.

Замечание 3.Если f(x) имеет в точке x₀ правый и левый пределы, но они не равны между собой, то в точке x₀ функция f(x) не имеет предела.

Первый замечательный предел

Теорема 6. Предел функции в точке существует и равен 1, т.е. .

Доказательство:

1) Пусть угол x > 0 (x ). Площади соотносятся:

(1)

; ; ,

где угол х в радианах.

Подставим в соотношение (1) полученные значения площадей:

,

,

Так как все части двойного неравенства положительные, выражение можно переписать так:

Так как то по теореме 5:

.

2) Пусть x < 0 (x )

(по доказанному в первом случае). Следовательно,

.

Теорема доказана.

 

Второй замечательный предел

Теорема 7. Предел функции при x существует и равен числу e, т.е.

.

Замечание.Числоe является пределом последовательности , причем это число иррациональное, т.е. представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: e = 2, 7182818284590…. Более того, число e трансцендентное, т.е. не является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. В математическом анализе это число играет особую роль, в частности, является основанием натурального логарифма. Показательная функция с основанием e: , называется экспонентой.

 

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

1)

Вывод: ;

2) ;

Вывод: ;

3)

Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

 

4)

Вывод: так как ln x = log _e x, то, используя производную, для (log _a x), можно записать:

.

5) (c)' = 0

Вывод: y = c, Dy = y(x+Dx) – y(x) = c – c = 0 .

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' = 0

2. (x^a)' = a× x^{a – 1}

3. (a^x)' = a^x× ln a, (a > 0, a ≠ 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (log_a x)' = , (a > 0; a ≠ 1)

6. (ln x)' =

7. (sin x)' =cos x

8. (cos x)' = – sin x

9. (tg x)' =

10. (ctg x)' = –

11. (arcsin x)' =

12. (arccos x)' = –

13. (arctg x)' =

14. (arcctg x)' =

Правила дифференцирования

Теорема 3 . Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то функция U(x) ± V(x) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(U(x) ± V(x))' = (U(x))' ± (V(x))'.

Доказательство: Рассмотрим функцию y = U(x) ± V(x).

Тогда Dy = DU ± DV. Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

так как по условию теоремы функции U(x) и V(x) дифференцируемы.

Значит, (U(x) ± V(x))' = U '(x) ± V '(x).

Теорема доказана.

Теорема 4. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)× V(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

(U(x) × V(x))' = (U(x))'× V(x) + U(x) × (V(x))'.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Dy = (U+DU)(V+DV) – U× V = U× V + U× DV + V× DU + DU× DV – U× V=

= U× DV + V× DU + DU× DV.

Разделим Dy на Dx и перейдем к пределу при Dx ® 0:

так как по условию функции U(x) и V(x) дифференцируемы, а значит , и .

Следовательно,

(U(x)× V(x))' = U ' (x) × V(x) + U(x) × V ' (x).

Теорема доказана.

Следствия:

а) Если U(x), V(x) и W(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)× V(x) × W(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

 

(U× V× W)' = U '× V× W + U× V '× W + U× V× W '.

б) Производная постоянной, умноженной на дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции:

 

(C× U(x))' = C× U ' (x).

Теорема 5. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х и V(x) ≠ 0, то функция дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Разделим Dy на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

,

Значит,

.

Теорема доказана.

Теорема 6 (производная сложной функции). Если функция f(u) дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x, причём u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(f (u(x)))' = f '(u) × u' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(u). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то её приращение можно записать в виде:

,

где .

Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

Если D x® 0, то D u® 0, так как u(x) дифференцируема, а значит непрерывна, т.е.

(f(u(x)))' = f ' (u) × u' (x).

Теорема доказана.

Дифференциал функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x, тогда её приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно Dx, а второе слагаемое – бесконечно малая величина при Dx ® 0 (более высокого порядка малости по сравнению с Dx):

 

,

где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Определение 4. Слагаемое называется главной линейной относительно Dx частью приращения функции y = f(x), называемой дифференциалом этой функции. Дифференциал обозначается

 

dy = y' (x)× Dx.

Если x – независимая переменная, то справедливо равенство Dx = dx, так как (x)' = 1. Тогда формула для дифференциала записывается:

 

dy = y' (x)× dx.

Так как второе слагаемое приращения функция – малая величина более высокого порядка малости по сравнению с Dx, то между приращением функции и её дифференциалом можно приближённо поставить знак равенства. Это равенство тем точнее, чем меньше Dx. На основе этого приближённого равенства получается приближённое представление значения дифференцируемой функции:

 

Пример. Вычислить приближённо

Решение. Рассмотрим функцию . В качестве начальной точки

возьмём x₀ = 4, приращение Dx = 0, 08, и подставим в формулу:

,

где D < < 0, 08.

 

Теорема Ролля

Теорема 4 (теорема Ролля). Если функция f(x) определена на отрезке [a; b] и выполнены следующие условия:

· f(x) непрерывна на отрезке [a; b];

· f(x) дифференцируема на интервале (a; b);

· f(a) = f(b),

то внутри этого отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

f '(х₀) = 0.

Доказательство.Так как f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.

Возможны два случая:

m = M и m < M.

· Если m = M, то f(x) = const = m = M. Тогда f '(x) = 0 при любом x Î [a; b]. Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х₀ можно рассматривать любое значение x Î [a; b].

· Если m < M, то исходя из условия f(a) = f(b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f(a) = f(b). Для определённости предположим, что M – наибольшее значение f(x) достигается не на концах отрезка [a; b], а в некоторой внутренней точке х₀ Î (a; b). Тогда в точке х₀ для приращения функции справедливо неравенство: Dy = f(х₀ + Dx) – f(х_о) ≤ 0, так как f(х₀) = M – наибольшее значение f(x) на отрезке [a; b] и Dx такое, что х₀ + D x Î [a; b].

· Если D x > 0, то и существует

· Если D x < 0, то и существует

Так как по условию теоремы функция f(x) дифференцируема при xÎ (a; b), то в точке х_о существует производная. Значит справедливы равенства:

f ' (х₀ + 0) = f ' (х₀ – 0) = f ' (х₀) = 0.

Теорема доказана.

Теорема Лагранжа

Теорема 5 (теорема Лагранжа). Если функция f(x) определена на отрезке [a; b] и выполнены следующие условия:

· f(x) непрерывна на отрезке [a; b],

· f(x) дифференцируема на интервале (a; b),

то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

f ' (х₀) = .

Доказательство.Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) + l× x, где l = const. Потребуем, что бы для F(x) выполнялось условие F(a) = F(b).

Так как F(a) = f(a) + l× a и F(b) = f(b) + l× b, то получим равенство:

f(a) + l× a = f(b) + l× b.

Отсюда выразим значение l:

l = – .

При этом значении l функция F(x) = f(x) – .

Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

· F(x) непрерывна на отрезке [a; b]:

· F(x) дифференцируема на интервале (a; b)

· F(a) = F(b).

Следовательно, по теореме Ролля на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

F '(х₀) = 0.

Найдём F '(x):

F '(x) = f '(x) – .

Поэтому F '(x₀) = f '(х₀) – = 0, если f '(х₀) = .

Теорема доказана.

Теорема Коши

Теорема 6 (теорема Коши). Если функции f(x) и g(x) определены на отрезке [a; b] и удовлетворяют условиям:

· f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a; b];

· f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a; b);

· g '(x) ¹ 0 при любом x Î (a; b),

то внутри отрезка [a; b] найдётся хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

.

Доказательствоаналогично доказательству теоремы 5 (теорема Лагранжа) при вспомогательной функции

F(x) = f(x) + l × g(x),

где l = const, которую выбирают так, чтобы F(a) = F(b).

Правило Лопиталя

Теорема 7 (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х₀ и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

· f(x) и g(x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может быть самой точки х₀;

· g '(x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;

· или ,

тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство:

= .

Замечание 1.Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей типа или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределённость другого типа: 0× ∞, , 1⁰, 0⁰ или ∞ ⁰, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределённость приводится к или и тогда можно применить правило Лопиталя.

Замечание 2.Если к условиям теоремы 7 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g'(x) в окрестности точки х₀, то при выполнении остальных требований для f '(x) и g'(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство:

 

= =

Пример 1. Вычислить предел:

Пример 2. Вычислить предел:

Пример 3. Вычислить предел:

Пример 4. Вычислить предел:

.

Пример 5. Вычислить предел:

Пример 6. Вычислить предел:

 

Асимптоты плоской кривой

Определение 1 . Если точка M(x; y) перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к ¥ и при этом расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется асимптотой кривой y = f(x).

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.

Определение 2. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов или равен +¥ или – ¥.

Замечание. Если прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), то в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода. Наоборот, если в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода, то прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x).

Определение 3. Прямая называется наклонной асимптотой кривой при (или ), если функцию f(x) можно представить в виде:

,

где (x) – бесконечно малая функция при (или ).

Теорема 1 . Для того чтобы кривая y = f(x) имела наклонную асимптоту при (или ) необходимо и достаточно существования двух конечных пределов:

и

Доказательство. Ограничимся случаем .

Необходимость. Пусть y = kx+b – наклонная асимптота при кривой y = f(x). Тогда функцию f(x) представим в виде:

 

, где при .

Убедимся в существовании конечных пределов:

.

.

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть существуют конечные пределы и .

Тогда по свойству конечных пределов второй предел можно переписать в виде:

,

где (x) – бесконечно малая величина при .

Отсюда получаем:

,

где при .

Достаточность доказана.

Пример 1. Найти асимптоты кривой .

Решение.

1) D(y) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; + ¥ ).

2) Точки x = –1 и x = 1 являются точками разрыва второго рода, так как:

 

 

Поэтому прямые x = –1 и x = 1 являются вертикальными асимптотами.

3) Вычислим пределы:

, k = 1.

Отсюда следует, что при прямая y = 1× x +0, т.е. y = x – наклонная асимптота при .

Найдём наклонную асимптоту при .

Вычисляя те же пределы при , получим k = 1 и b = 0, т.е. прямая y = x является наклонной асимптотой при .

Ответ: x = ± 1 – вертикальные асимптоты

y = x – наклонная асимптота при x ® ±¥.

Монотонность функции

Определение 4. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a; b), если для любых x₁ и x₂, принадлежащих этому промежутку, из условия x₂ > x₁ следует неравенство:

 

f(x₂) > f(x₁) (f(x₂) < f(x₁)).

 

Определение 5. Функция y = f(x) называется монотонной на промежутке (a; b), если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Теорема 2 (достаточные условия монотонности). Если функция y = f(x) дифференцируема на промежутке (a; b) и f’(x) > 0 (f’(x) < 0) для любых x Î (a; b), то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Возьмём любые два значения x₁ и x₂ из промежутка (a; b). Для определённости предположим, что x₂ > x₁.

На отрезке [x₁; x₂] функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема (из условия теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке [x₁; x₂], т.е. существует хотя бы одна точка c Î (x₁; x₂), в которой выполняется равенство:

f(x₂) – f(x₁) = f' (c) × (x₂ – x₁).

Если f '(x) > 0 для любых xÎ (a; b), то f '(c) > 0. Поэтому f(x₂) – f(x₁) > 0, т.е. из условия x₂ > x₁ следует неравенство f(x₂) > f(x₁). А так как x₁ и x₂ –любые значения из промежутка (a; b), то функция y = f(x) возрастает на этом промежутке.

Если для любых , то . Поэтому , то есть из условия x₂ > x₁ следует неравенство f(x₂) < f(x₁). Так как x₁ и x₂ любые значения из промежутка (a; b), то функция y = f(x) убывает на этом промежутке.

Теорема доказана.

Экстремумы функции

12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. III. Основные функции и полномочия Управления
2. PR – отношения с общественностью. Цели, задачи, функции, методы
3. VII. Определение затрат и исчисление себестоимости продукции растениеводства
4. Абсолютные и относительные ссылки. Стандартные формулы и функции. Логические функции
5. Алгоритм нахождения производной сложной функции
6. Арифметические операции и стандартные функции
7. Базовые функции выборки данных
8. Банковская система и предложение денег. Центральный банк, его функции. Коммерческие банки. Создание денег банковской системой. Банковский мультипликатор. Денежная база.
9. БАРЬЕРНЫЕ ФУНКЦИИ ТКАНЕЙ И ФАКТОРЫ ЕСТЕСТВЕННОЙ ЗАЩИТЫ ОРГАНИЗМА
10. Белки-каналы, их строение и функции
11. Вегетативные органы. Корень. Функции корня. Виды корней. Типы корневых систем.
12. Ветеринарный надзор и его функции при транспортировке животных.