![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Определение функции одной переменной
Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f(x) с областью определения X = D(f) и областью изменения Y = E(f). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией. Частным значением функции y = f(x) при фиксированном значении аргумента x = x0 называют y0 = f(x0). Графиком функции y = f(x) называют геометрическое место точек M(x; f(x)) на плоскости Oxy, где x Î D(f) и f(x) Î E(f).
2. Способы задания функции 1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы. Различают несколько способов аналитического задания функции: а) Функция задана явно формулой y = f(x). Например: б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y: F(x; y) = 0. Например:
которые имеют область определения в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t, причём и аргумент x, и функция y зависят от этого параметра: Например: можно задать окружность 2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x, y = cos x и др. 3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.
Сложная и обратная функции Определение 1 . Пусть функция y = f(U) определена на множестве D(f), а функция U = g(x) определена на D(g), причём E(g) Тогда функция y = F(x) = f(g(x)) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ). Определение 2 . Пусть задана функция y = f(x) взаимно однозначно отображающая множество X = D(f) на множество Y = E(f). Тогда функция x = g(y) называется обратной к функции y = f(x), т. е. любому y Замечание. Графики функций y = f(x) и x = g(y) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x, а зависимую y, то графики функций y = f(x) и y = g(x) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Элементарные функции Основные элементарные функции: y = const (постоянная функция), D(y) = R; E(y) = c.
y = y = y = Тригонометрические функции: y = sin x, D(y) = R, E(y) = y = cos x, D(y) = R, E(y) = y = tg x, D(y) = y = ctg x, D(y) = Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, D(y) = y = arccos x, D(y) = y = arctg x, D(y) = R, E(y) = y = arcctg x, D(y) = R, E(y) = Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции. Например:
Графики обратных тригонометрических функций:
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 1. Предел функции в конечной точке x0
Определение 2 . d-Окрестностью точки x0называется интервал ( Определение 3. Проколотой d-окрестностью точки x0 называется d-окрестность точки x0 без самой точки x0: Определение 4. Число А называется пределом функции f(x) при x ® x0, если для любого малого числа ε > 0 существует такое малое число Итак: Односторонние пределы Определение 5. Число А называется правым (левым) пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого малого числа ε > 0 найдётся другое малое число При этом используют следующие обозначения:
Замечание 1. Если f(x) имеет в точке x0, предел равный А, то существуют
Замечание 2.Если f(x) имеет в точке x0 правый
Замечание 3.Если f(x) имеет в точке x0 правый Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-05-30; Просмотров: 4048; Нарушение авторского права страницы