Интегрирование тригонометрических выражений

1) Интеграл вида

а) Если n – чётное число и m – чётное, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул:

 

,

б) Если одно из чисел m или n – нечётное, то выполняют замену:

t = sin x, если n – нечётное;

t = cos x, если m – нечётное.

Эта замена приводит к интегрированию степенных интегралов или рациональных дробей.

в) Если оба числа m и n – нечётные, то интеграл берется как в случае замены:

t = sin x, так и t = cos x.

Пример 25. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 26. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 27. Вычислить интеграл:

Ответ:

 

2) Интегралы вида:

; ;

где

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

Пример 28. Вычислить интеграл:

Ответ:

 

3) Интеграл вида: , где f(u; v) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной дроби с помощью замены:

;

;

; .

Пример 29. Вычислить интеграл:

.

Ответ: .

4) Интегралы вида: , где f(u; v) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы находят сведением к интегралу от рациональной дроби с помощью замены:

;

Пример 30. Вычислить интеграл:

Ответ:

5) Интегралы вида: ; , где .

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

;

или с помощью замены:

;

или .

Пример 31. Вычислить интеграл:

Ответ:

Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений

1) Интеграл вида

Такие интегралы находят с помощью преобразований и замены, аналогичных преобразованиям и замене для нахождения интеграла от простой рациональной дроби III типа.

Пример 32. Вычислить интеграл:

Ответ:

2) Подынтегральная функция содержит .

Тогда надо выполнить замену:

Такая замена приводит к интегралу от некоторого тригонометрического выражения.

Пример 33. Вычислить интеграл:

Ответ:

3) Подынтегральная функция содержит .

Тогда надо выполнить замену:

 

Пример 34. Вычислить интеграл:

Ответ:

4) Подынтегральная функция содержит .

Тогда надо выполнить замену:

Пример 35. Вычислить интеграл:

Ответ:

5) Подынтегральная функция содержит :

Тогда надо выполнить замену:

.

Пример 36. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 37. Вычислить интеграл:

 

 

Ответ:

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Задача, приводящая к определённому интегралу

Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x).

Определение 1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и графиком функции y = f(x).

Ставится задача: вычислить площадь этой криволинейной трапеции (рис. 13)

Рис. 13

 

Решение.

1) Разобьём отрезок [a; b] на n частей точками x₀= a; x₁; x₂; x_n–1; x_n = b и проведём прямые x = x₁, x = x₂, … x = x_т–1, которые разобьют трапецию на n частей.

2) Обозначим Dx_k = x_k – x_k–1 – длины отрезков разбиения [a; b]. На каждом из отрезков произвольно выберем точку M_k (k = 1, 2, …, n).

Построим на каждом из отрезков прямоугольники с высотами, равными значению функции в выбранных точках M_k.

Площади полученных прямоугольников равны:

S₁ = f (M₁) × D x₁; S₂ = f (M₂) × D x₂, …., S_n = f (M_n) × D x_n .

3) Найдём сумму этих площадей:

Получили площадь ступенчатой фигуры. Эта площадь зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на части и от выбора на каждой из частей точек M_k (k = 1, 2, …, n).

Чем больше будет точек разбиения отрезка [a; b] на части и мельче по длине эти части, тем точнее сумма будет приближаться к площади данной криволинейной трапеции, т.е. можно записать:

Определение 2. Сумма называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке [a; b].

Определение 3. Предел интегральной суммы функции f (x) на отрезке [a; b] при n ® ¥ и max Dx_k ® 0 называется определённым интегралом функции f (x) на отрезке [a; b], если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на части, ни от выбора точек M_k (k = 1, …, n) на каждой из частей. Следовательно, можно записать:

 

.

При этом отрезок [a; b] называют отрезком интегрирования, “a” –нижним пределом интегрирования, “b” –верхним пределом.

Теорема 1 (достаточное условие интегрируемости функции на отрезке [a; b]). Если функция f(x) на отрезке [a; b] непрерывна, то определённый интеграл существует, т.е. функция f (x) на отрезке [a; b] интегрируема.

Геометрический смысл определённого интеграла

1)

2) Если область ограничена двумя кривыми y = f (x) и y = g(x), причём при xÎ [a; b] f (x) ³ g(x), то площадь области, ограниченной кривыми y = f (x); y = g(x) и прямыми x = a, x = b, вычисляется по формуле:

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. ЗАМЕНА ВЫРАЖЕНИЙ МАКРОКОМАНДАМИ
2. Интегрирование по методу Симпсона.
3. Интегрирование рациональных дробей
4. Нахождение операторных выражений Z(p) и K(p).
5. Непосредственное интегрирование
6. Референция языковых выражений с предметным значением
7. Тип результата арифметических выражений.
8. УПОТРЕБЛЕНИЕ В РЕЦЕПТЕ ВЫРАЖЕНИЙ С ПРЕДЛОГАМИ.