Число 144 – это и есть НОК чисел 48 и 36. То есть 144 – это минимальное число, которое делится без остатка и на 48, и на 36.

БИЛЕТ 9

Умножение — это действие в результате которого находят сумму одинаковых слагаемых. Умножить число а на число Ь означает найти сумму Ь слагаемых, каждое из которых равно а.

Числа, которые перемножаются, называются множителями (или сомножителями), а результат умножения — произведением.

Законы умножения

Сочетательный закон

Правило. Чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.

Например:

(7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210

(a * b) * c = a * (b * c)

Переместительный закон

Правило. От перестановки множителей произведение не изменяется.

Например:

7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210

а * Ь * с = с * Ь * а

Распределительным закон

Правило. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить.

Например:

7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77

a * (b + c) = ab + ac

Распределительный закон распространяется и на действие вычитания.

Например:

7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7

2. Алгори́ тм — набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения некоторого результата. В старой трактовке вместо слова «порядок» использовалось слово «последовательность», но по мере развития параллельности в работе компьютеров слово «последовательность» стали заменять более общим словом «порядок». Независимые инструкции могут выполняться в произвольном порядке, параллельно, если это позволяют используемые исполнители.

БИЛЕТ 10

1. Деле́ ние (операция деления) — действие, обратное умножению. Деление обозначается двоеточием:, обелюсом \div, косой чертой / или горизонтальной чертой.

Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторенное сложение, деление заменяет неоднократно повторенное вычитание.

Рассмотрим, например деление 14 на 3 (14/3):

Сколько раз 3 содержится в 14?

Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 содержится в 14 четыре раза, и ещё «остаётся» число 2.

В этом случае число 14 называется делимым, число 3 — делителем, число 4 — (неполным) частным и число 2 — остатком (от деления).

Результат деления также называют отношением.Деление c остатком (деление по модулю) — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел и алгебре. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом[1]. Пусть a и b — целые числа, причём b \ne 0. Деление с остатком a («делимого») на b («делитель») означает нахождение таких целых чисел q и r, что выполняется равенство:

a = b \cdot q+r

Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: q называется неполным частным от деления, а r — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: ~0 \leqslant r < |b|, то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел. Если остаток равен нулю, говорят, что a нацело делится на b.

Примеры.

При делении с остатком положительного числа a = 78 на b = 33 получаем неполное частное q = 2 и остаток r = 12.

Проверка: 78 = 33 \cdot 2 + 12.

При делении с остатком отрицательного числа a = -78 на b = 33 получаем неполное частное q = -3 и остаток r = 21.

Проверка: -78 = 33 \cdot (-3) + 21.

При делении с остатком числа a = 78 на b = 26 получаем неполное частное q = 3 и остаток r = 0, то есть деление выполняется нацело..

Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов

Положительным рациональным числом называется класс дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа

Например, о дроби Положительные рациональные числа мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: Положительные рациональные числа – это рациональное число.

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на это множество отношение равенства.

Билет 11

1.Десяти́ чная систе́ ма счисле́ ния — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.Один десятичный разряд в десятичной системе счисления иногда называют декадой. В цифровой электронике одному десятичному разряду десятичной системы счисления соответствует один десятичный триггер.

Целое число x в десятичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа 10: x = \pm \sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k, где \ a_k — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству 0 \leq a_k \le 9. Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра a_{n-1} в десятичном представлении x была также ненулевой. Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде: 103 = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}.С помощью n позиций в десятичной системе счисления можно записать целые числа от 0 до 10^n-1, то есть, всего 10^n различных чисел. Дробные числа записываются в виде строки цифр с разделителем десятичная запятая, называемой десятичной дробью: a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0}, a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m} = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k 10^k, где n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа.

2.Простые числа, это такие числа, которые не имеют никаких других делителей, кроме едицы и самого себя.Например 7, 41, 53 — простые числа.Составные числа, это такие числа, которые имеют другие делители, кроме едицы и самого себя.Например 21 — составное число. Оно делится на 1, 3, 7, 21

БИЛЕТ 12

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую необходимо владеть основными сведениями о системах счисления и форме представления чисел в них.Количество s различных цифр, употребляемых в системе счисления, называется основанием, или базой системы счисления. В общем случае положительное число X в позиционной системе с основанием s может быть представлено в виде полинома: где s - база системы счисления, - цифры, допустимые в данной системе счисления. Последовательность образует целую часть X, а последовательность - дробную часть X.В вычислительной технике наибольшее применение нашли двоичная (BIN - binary), и двоично кодированные системы счисления: восьмеричная (OCT - octal), шестнадцатеричная (HEX - hexadecimal) и двоично-кодированная десятичная (BCD - binary coded decimal).В дальнейшем для обозначения используемой системы счисления число будет заключаться в скобки, а в индексе указано основание системы. Число X по основанию s будет обозначено

2.Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью \frac{m}{n}, числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число, к примеру 2/3. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.

БИЛЕТ 13

1.Десятичная система счисления наиболее распространенная система счисления в мире. Для записи чисел используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9(арабские цифры). При чем один и тот же знак (цифра) из десяти имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10, которое образует единицу 2-го разряда, единицей 3-го разряда будет 100 = 102, вообще единица каждого следующего разряда в 10 раз больше единицы предыдущего.

В непозиционной системе счисления величина числа не зависит от положения цифры в представлении числа. Если бы мы перемешали цифры в числе 603121200000, то мы бы не смогли понять, сколько стоит пылесос; в непозиционной системе случится нечто похожее. Ярким примером непозиционной системы счисления является римская система.

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов. Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям.

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

БИЛЕТ 14

1.(общий признак делимости на составное число): Для того, чтобы натуральное число х делилось на составное число n = bc, где числа b и c таковы, что D(b.c) = 1, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на b и на c.

Доказательство: Пусть число х делится на n. Тогда, из того, что х делится на n и n делится на b (по свойству транзитивности отношения делимости) следует, что х делится на b. Из того, что х делится на n и n делится на с (по свойству транзитивности отношения делимости) следует, что х делится на с. Таким образом, мы показали, что для того, чтобы натуральное число х делилось на составное число n = bc, необходимо, чтобы оно делилось на b и на c.

Докажем достаточность условия. Так как х делится на b и на c, то х – общее кратное чисел b и c. Но любое общее кратное делится на их наименьшее общее кратно. Значит, х делится на К(b, c). Поскольку D(b.c) = 1, то К(b, c) = х. Следовательно, х делится на n.

Признак делимости на 6:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒