На следующем этапе формирования умения решать комбинаторные задачи происходит переход обучения от предметных действий к использованию схематизации, то есть решаются задачи с помощью таблиц и графов.

К решению комбинаторных задач с использованием таблиц можно перейти после того, как освоен принцип их составления.

Целесообразно использовать специальные трафареты таблиц, в которых сделаны «окошки» в верхней стороне и первом столбике, а также прорези, намечающие места записи всех комбинаций. Это позволяет экономить время на вычерчивание самой таблицы. Например, для записи букв в математическом царстве один писарь предложил использовать знаки V, N, Z. Сколько слов он сможет записать с помощью этих знаков, если для записи каждого из них можно использовать только два знака?

Работаем с трафаретом, дети вписывают в «окошки» данные задачи, а через прорези намечает места записи составленных объектов. Убрав трафарет, они могут отчертить прямыми линиями условие задачи. Затем с помощью предложенных значков учащиеся вписывают в соответствующие летки слова и подсчитывают их количество.

При заполнении таблиц, особенно на начальном этапе, важно обращать внимание детей на то, следует ли записывать составленное соединение, не повторяет ли оно уже имеющееся и удовлетворяет ли условиям задачи.

Другим средством организации перебора являются графы.

Например, встретились пятеро друзей, здороваясь, они пожали друг другу руки.

Сколько всего рукопожатий было сделано? Сначала выясняется, как можно обозначить каждого человека. Рассматривая разные предложения, дети приходят к выводу, что удобнее изображать детей точками. Педагог советует расположить точки по кругу. Дети придумывают, как показать человека, которые пожали друг другу руки.

От двух точек навстречу друг другу проводятся черточки – «руки», которые, встречаясь, образуют одну линию. Так происходит переход к символическому изображению рукопожатия. Сначала составляются рукопожатия одного человека, потом переходят к другому человеку. И так действуют до тех пор, пока все не «поздороваются» друг с другом. По получившемуся графу подсчитывается число рассуждений /их всего 10/

Для решения комбинаторных задач детей также можно познакомить с граф-деревом. Важно, чтобы необходимость схематизации возникла у каждого ребенка, как внутренняя потребность зафиксировать свои рассуждения графически.

Например, учитель задает вопрос: «Сколько различных башенок можно построить из трех кубиков красного, синего и желтого цветов? »

При решении этой задачи дети могут прибегнуть к практическим действиям. Но важно подвести их к необходимости рационализировать перебор всевозможных вариантов башенок с помощью вопросов: «Как бы ты решил эту задачу, если бы у нас не было конструктора с кубиками? Все ли возможные башенки ты построил? Как это проверить? »

В процессе ответа ученику приходится выстраивать цепочку умозаключений, ориентируясь на два признака кубика: цвет и место расположения в башенке.

Называя новый вариант башенки, ребенку приходится удерживать в памяти все предыдущие варианты и соотносить их друг с другом, что достаточно сложно.

Чтобы выйти из этого положения, учащимся предлагают перейти к построению графа-дерева.

Ж С Ж К С К верхний кубик

| | | | | |

C Ж К Ж К С средний кубик

\ / \ / \ /

К С Ж нижний кубик

\__________|__________/

Анализируя построенный граф, педагог, может обратить внимание детей на закономерность: каждый кубик два раза оказывается на каждом «этаже» (кроме нижнего). Осознав эту закономерность, ученики могут сделать вывод, что по условию задачи можно построить ровно 6 башенок…

На четвертом этапе детей необходимо познакомить с такими правилами комбинаторики, как правило суммы и правило произведения; подвести к применению комбинаторных формул без их обозначения (для подсчета числа сочетаний, размещений и перестановок). В процессе достижения выделенных задач каждый ребенок учится представлять в умственном плане все возможные варианты комбинаций без обращения к практическим или графическим средствам. Педагогу важно организовать учебный процесс так, чтобы дети активно рассуждали, комментировали свои действия и на основе правил суммы и произведения получали ответ на поставленный вопрос о подсчете числа комбинаций.

Таким образом, обобщая рациональные приемы систематического перебора, ученики переходят на такой уровень решения комбинаторных задач, когда они могут, рассуждая вслух, проводить доказательства в обобщенном лане, не обращаясь к выделению каждого частного варианта перебора. Здесь не подразумевается полный отказ от схем, таблиц и графов, а имеется ввиду лишь их рациональное использование. Одним из критериев сформированности комбинаторных действий на достаточно высоком уровне является самостоятельное, аргументированное, логическое рассуждение детей в плане громкой речи с опорой на модели, комбинаторные правила и формулы.

Этап обобщения рациональных приемов систематического перебора целесообразнее начать с комбинаторной задачи на правило суммы. Это правило дети могут «открыть» для себя на примере такой задачи: «В вазе 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно взять из вазы один из фруктов? » Приведем возможный вариант беседы учителя с детьми:

- Что значит «взять 1 из фруктов? Это значит взять яблоко или грушу.

- Сколькими способами можно взять 1 яблоко? Почему? (Четырьмя способами, так как яблок всего 4 они разные).

- сколькими способами можно взять 1 грушу и почему? (Тремя способами, так как груш всего 3 и они разные).

- Сколькими способами можно взять один из фруктов? ( Семью способами 7=4+3).

После решения нескольких задач важно обобщить, когда же применяется правило суммы. Ученики делают вывод: «Это правило необходимо, когда нужно выбрать 1 предмет из нескольких различных множеств».

Могут предлагаться такие виды задач:

У Вани 2 книжки со сказками и 3 с раскрасками.

Сколькими способами он может выбрать книгу для чтения?

Измени условие задачи так, чтобы количество способов увеличилось (уменьшилось).

2. Составь свою комбинаторную задачу, которая решается так 5+4.

Составь комбинаторную задачу на правило суммы, используя слова магазин. Рыбки. купить.

На следующем этапе совместно с учащимися могут быть рассмотрены задачи на правило произведения. Следует уделить особое внимание осознанию смысла этого правила, так как в дальнейшем на его основе будут решаться задачи на определение числа размещений, перестановок, сочетаний из n элементов по m.

Приведем пример задачи: «В вазе 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно взять из вазы пару фруктов: яблоко и грушу? »

- Можно ли здесь для ответа на вопрос задачи применить правило суммы?

Почему? (Нет, так как в задаче требуется выбрать пару фруктов).

- Сколькими способами можно выбрать1 яблоко для набора (четырьмя способами).

- Пусть яблоко выбрано.

Сколькими способами можно выбрать 1 грушу?

(Грушу можно выбрать к каждому яблоку 3 способами)

- Сколько всего способов выбора груши к яблокам мы нашли?

(Всего 12 способов: 4х3=12)

Ученики могут проверить правильность своих рассуждений, решая эту задачу с помощью таблицы.

Ученикам при решении комбинаторных задач на правило произведения предлагается задача на определение числа размещений из n элементов по m элементов.

Например, из 5 картин нужно повесить на стену в один ряд только 3 картины. Сколькими способами можно отобрать из 5 картин 3, чтобы наборы отмечались не только картинами, но и порядком расположения.

Важно обратить внимание на то, что составляемые наборы должны отличаться ре только составом картин, но и их расположением.

Приведем возможные рассуждения учеников: «Из 5 различных картин на первое место картину можно выбрать 5 способами, на второе место 4 способами, а на третье – тремя способами». Всего из 5 картин можно выбрать наборы по 3 картины и расположить их в один ряд: 5*4*3=60 способа.

Задачи с перестановками из n элементов могут быть введены педагогом как частный случай задач с размещениями из n элементов по m, когда m=n. Поэтому большую часть работы по исследованию способа решения таких задач учащиеся могут выполнить самостоятельно. Сначала педагог может предложить следующие задание:

- Внимательно прочитайте задачи. Чем они похожи? Чем отличаются?

Задача 1.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒