Признаки делимости в десятичной системе счисления

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 без остатка.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

Чтобы узнать, делится ли двузначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам — если сумма делится на 2, значит, число делится на 4. Например, 92: 9 + 1 = 10, значит, 92 делится на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда, когда последняя цифра 5 или 0

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 (2 4) = 28 делится на 7).

Либо использовать модификацию признака деления на 1001=10і+1, которое само делится на 7:

Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на семь (например, число 689255. Первая группа со знаком «+» (255), вторая со знаком «-» (689). Отсюда 255 + (-689) = 434. В свою очередь 434: 7 = 62).

Ещё один признак — берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7 от получившегося числа). И далее — сначала: умножаем на 3, прибавляем следующую… Для 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток — 1. Далее 1 * 3 + 4 = 7.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Чтобы узнать, делится ли трёхзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8. Например, 952: 95 + 1 = 96, далее 9 + 3 = 12. Значит, 952 делится на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 без остатка.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нoль.

БИЛЕТ 8

Правила сложения и вычитания.

От перемены мест слагаемых сумма не изменится (коммутативное свойство сложения)

Пример:

13+25=38, можно записать как: 25+13=38

Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой (ассоциативное свойство сложения).

Пример:

10+13+3+5=31 можно записать как: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 и т.д.

Единицы складываются с единицами, десятки с десятками и т.д.

Пример:

34+11=45 (3 десяка плюс еще 1 десяток; 4 единицы плюс 1 единица).

Единицы вычитаются из единиц, десятки из десятков и т.д.

Пример:

53-12=41 (3 единицы минус 2 единицы; 5 десятков минус 1 десяток)

примечание: 10 единиц составляют один десяток. Это надо помнить при вычитании, т.к. если количество единиц у вычитаемого больше, чем у уменьшаемого, то мы можем " занять" один десяток у уменьшаемого.

Пример:

41-12=29 (Для того чтобы и 1 вычесть 2, мы сначала должны " занять" единицу у десятков, получаем 11-2=9; помним, что у уменьшаемого остается на 1 десяток меньше, следовательно, остается 3 десятка и от него отнимается 1 десяток. Ответ 29).

Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое.

Это значит, что сложение можно проверить с помощью вычитания.

Пример:

42+7=49

Для проверки из суммы вычитают одно из слагаемых: 49-7=42 или 49-42=7

Примечание:

Если в результате вычитания вы не получили одно из слагаемых, значит в вашем сложении была допущена ошибка.

Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Это значит, что вычитание можно проверить сложением.

Пример:

69-50=19

Для проверки к разности прибавим вычитаемое: 19+50=69.

Наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель – это наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

Найти произведение оставшихся множителей.

Пример: найдем НОД чисел 48 и 36. Для этого находим делители обоих чисел (рис.1):

Итак, 48 = 2 · 2 · 2· 2 · 3, а 36 = 2 · 2 · 3 · 3.

Из множителей, входящих в разложение первого числа, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа -т.е. две двойки (рис.2)

В столбце с вычеркнутыми числами остаются множители 2 · 2 · 3. Их произведение равно 12. Это число и является НОД чисел 48 и 36. То есть 12 - наибольшее общее число, на которое делятся 48 и 36.

Если НОД натуральных чисел равен 1, то эти числа называют взаимно простыми (например, числа 24 и 35).

Наименьшее общее кратное.

Наименьшее общее кратное чисел a и b – это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа.

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

Найти произведение получившихся множителей.

Пример: найдем НОК тех же чисел 48 и 36.

Как и в случае с НОД, сначала находим делители обоих чисел. Впрочем, мы уже нашли их в предыдущем примере (рис.3):

Из разложения второго числа вычеркиваем множители, которые входят в разложение первого числа (рис.4).

Теперь выпишем множители, входящие в разложение первого числа, добавим к ним оставшийся множитель из разложения второго числа (3), перемножим их и получим результат:

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 144.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒