Существует определение бинарного соответствия.

Билет № 1

1) Порядок играет огромную роль в нашей жизни. Люди на протяжении всей истории пытались упорядочить отношения между собой, окружающие явления. Без порядка невозможно представить жизнь человека. Попробуйте представить общество, в котором царит анархия или словарь, в котором слова расположены хаотично. Но что такое порядок? С некоторыми упорядочениями мы настолько свыклись, что часто их просто не осознаем, как, например, грамматический порядок слов в предложении. В данной статье дано формальное определение порядка, которое используется в математике.

Определение 1.1. Бинарное отношение a на множестве X называется отношением порядка, если оно транзитивно:

и антисимметрично:

Пример 1.1. Рассмотрим отношение " старше" на множестве людей. Очевидно, что оно транзитивно и антисимметрично, и, следовательно, является отношением порядка.

Пример 1.2. Иерархия животных, построенная по этапам эволюции, является отношением порядка

2) Законы и определения сложения и вычитания: Правила сложения и вычитания.
1. От перемены мест слагаемых сумма не изменится (коммутативное свойство сложения)
Пример:
13+25=38, можно записать как: 25+13=38
2. Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой (ассоциативное свойство сложения).
Пример:
10+13+3+5=31 можно записать как: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 и т.д.
3. Единицы складываются с единицами, десятки с десятками и т.д.
Пример:
34+11=45 (3 десяка плюс еще 1 десяток; 4 единицы плюс 1 единица).
4. Единицы вычитаются из единиц, десятки из десятков и т.д.
Пример:
53-12=41 (3 единицы минус 2 единицы; 5 десятков минус 1 десяток)
примечание: 10 единиц составляют один десяток. Это надо помнить при вычитании, т.к. если количество единиц у вычитаемого больше, чем у уменьшаемого, то мы можем " занять" один десяток у уменьшаемого.
Пример:
41-12=29 (Для того чтобы и 1 вычесть 2, мы сначала должны " занять" единицу у десятков, получаем 11-2=9; помним, что у уменьшаемого остается на 1 десяток меньше, следовательно, остается 3 десятка и от него отнимается 1 десяток. Ответ 29).
5. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое.
Это значит, что сложение можно проверить с помощью вычитания.
Пример:
42+7=49
Для проверки из суммы вычитают одно из слагаемых: 49-7=42 или 49-42=7
Примечание:
Если в результате вычитания вы не получили одно из слагаемых, значит в вашем сложении была допущена ошибка.
6. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.
Это значит, что вычитание можно проверить сложением.
Пример:

69-50=19
Для проверки к разности прибавим вычитаемое: 19+50=69

Билет № 2

Графы отношений перпендикулярности и равенства отрезков «похожи»: если есть одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направлении. То есть отношения перпендикулярности и отношения равенства обладают свойством симметричности.

Примерами отношения симметричности являются:

– отношение параллельности на множестве прямых плоскости (если прямая хпараллельна прямой у, то и прямая упараллельная прямой х);

– отношение подобия на множестве треугольников (если треугольник Fподобен треугольнику Р, то треугольник Рподобен треугольнику F);

– отношение «похожести» на множестве людей (если человек А похож на человека B, то человек Bпохож на человека А).

Отношение «длиннее» не обладает свойством симметричности (рис. 2в)

Действительно, если отрезок хдлиннее отрезка у, то отрезок уне может

быть длиннее отрезка х.Отношение «длиннее» обладает свойством антисимметричности.

Законы умножения.

Для рациональных чисел остаются справедливыми те же законы умножения, которые были приведены в § 5 для положительных чисел.

1. Умножение — это действие в результате которого находят сумму одинаковых слагаемых.Умножитьчисло а на число Ь означает найти сумму Ь слагаемых, каждое из которых равно а.

Переместительный закон.

Для любых рациональных чисел а и справедливо равенство:

Сочетательный закон.

При умножении любых рациональных чисел остаётся в силе сочетательный закон умножения.

Для любых трёх рациональных чисел и с справедливо равенство:

Распределительный закон.

Для любых рациональных чисел справедливо равенство:

Билет № 3

1) Граф (англ. graph) — основной объект изучения математической теории графов, совокупность непустого множества вершин и наборов пар вершин (связей между вершинами).

Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра^[1]. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.Граф – это модель или схема, в которой объекты обозначены точками, кружками, а связь между ними – линиями.

2) Деле́ ние (операция деления) — одно из четырёх простейших арифметических действий, обратноеумножению

. Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое приумножении на делитель даёт делимое.Сколько раз 3 содержится в 14? Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 «входит» в 14 четыре раза, и ещё «остаётся»число 2.В этом случае число 14 называется делимым, число 3 — делителем, число 4 — (неполным) частным ичисло 2 — остатком (от деления).Результат деления также называют отношением.

Деление с остатком — это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю. Деление с остатком записывают так:

Читается пример следующим образом:

17 разделить на 3 получится 5 и остаток 2.

Порядок решения примеров на деление с остатком.

1. Находим наибольшее число до 17, которое делится на 3 без остатка. Это 15.

15: 3 = 5

2. Вычитаем из делимого найденное число из пункта 1.

17 − 15 = 2

3. Сравниваем остаток с делителем.

Запомните!

Попробуем умножить на 6.

Билет № 5

Под одними и теми же корнями понимается следующее: если какое-то число является корнем одного уравнения, то оно является и корнем любого другого из этих равносильных уравнений, и ни одно из равносильных уравнений не может иметь корня, который не является корнем любого другого уравнения.

Приведем примеры равносильных уравнений. Например, три уравнения 4·x=8, 2·x=4и x=2 – равносильные. Действительно, каждое из них имеет единственный корень 2, поэтому они равносильны по определению. Еще пример: равносильными являются два уравнения x·0=0 и 2+x=x+2, множества их решений совпадают: корнем и первого и второго из них является любое число. Два уравнения x=x+5 и x⁴=− 1также представляют собой пример равносильных уравнений на множестве действительных чисел, так как они оба не имеют действительных решений.

БИЛЕТ 6

Признак делимости на 2

Признак делимости на 3

Признак делимости на 4

Признак делимости на 5

Признак делимости на 6

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 (2 4) = 28 делится на 7).

Либо использовать модификацию признака деления на 1001=10і+1, которое само делится на 7:

Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на семь (например, число 689255. Первая группа со знаком «+» (255), вторая со знаком «-» (689). Отсюда 255 + (-689) = 434. В свою очередь 434: 7 = 62).

Ещё один признак — берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7 от получившегося числа). И далее — сначала: умножаем на 3, прибавляем следующую… Для 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток — 1. Далее 1 * 3 + 4 = 7.

Признак делимости на 8

Признак делимости на 9

Признак делимости на 10

БИЛЕТ 7

1.целое неотрицательное число характеризуется теми свойствами конечного множества А, которые остаются неизменными при замене множества А любым конечным множеством, ему эквивалентным. Так число, определяемое классом множеств, эквивалентных множеству А в приведенном выше примере, называется «один» и обозначается символом «1». Можно так же сказать, что число «один» – это число элементов в множестве А (или множестве, ему эквивалентном). Символическая запись этого факта такова: n (А) = 1. Число, определяемое классом множеств, эквивалентных множеству В, называется словом «два» и обозначается символом «2». Символически можно написать n (В) = 2 и т.д. Число, определяемое классом пустых множеств, есть по определению «нуль»: n (Æ ) = 0.

Признак делимости на 2

Признак делимости на 3

Признак делимости на 4

Признак делимости на 5

Признак делимости на 6

Признак делимости на 7

Либо использовать модификацию признака деления на 1001=10і+1, которое само делится на 7:

Признак делимости на 8

Признак делимости на 9

Признак делимости на 10

БИЛЕТ 8

Наибольший общий делитель.

Наименьшее общее кратное.

Пример: найдем НОК тех же чисел 48 и 36.

Как и в случае с НОД, сначала находим делители обоих чисел. Впрочем, мы уже нашли их в предыдущем примере (рис.3):

Из разложения второго числа вычеркиваем множители, которые входят в разложение первого числа (рис.4).

Теперь выпишем множители, входящие в разложение первого числа, добавим к ним оставшийся множитель из разложения второго числа (3), перемножим их и получим результат:

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 144.

БИЛЕТ 9

Законы умножения

Сочетательный закон

Переместительный закон

Распределительным закон

БИЛЕТ 10

1. Деле́ ние (операция деления) — действие, обратное умножению. Деление обозначается двоеточием:, обелюсом \div, косой чертой / или горизонтальной чертой.

Примеры.

При делении с остатком положительного числа a = 78 на b = 33 получаем неполное частное q = 2 и остаток r = 12.

Проверка: 78 = 33 \cdot 2 + 12.

При делении с остатком отрицательного числа a = -78 на b = 33 получаем неполное частное q = -3 и остаток r = 21.

Проверка: -78 = 33 \cdot (-3) + 21.

При делении с остатком числа a = 78 на b = 26 получаем неполное частное q = 3 и остаток r = 0, то есть деление выполняется нацело..

Билет 11

1.Десяти́ чная систе́ ма счисле́ ния — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.Один десятичный разряд в десятичной системе счисления иногда называют декадой. В цифровой электронике одному десятичному разряду десятичной системы счисления соответствует один десятичный триггер.

Целое число x в десятичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа 10: x = \pm \sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k, где \ a_k — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству 0 \leq a_k \le 9. Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра a_{n-1} в десятичном представлении x была также ненулевой. Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде: 103 = 1 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}.С помощью n позиций в десятичной системе счисления можно записать целые числа от 0 до 10^n-1, то есть, всего 10^n различных чисел. Дробные числа записываются в виде строки цифр с разделителем десятичная запятая, называемой десятичной дробью: a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1} a_{0}, a_{-1} a_{-2}\dots a_{-(m-1)} a_{-m} = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k 10^k, где n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа.

2.Простые числа, это такие числа, которые не имеют никаких других делителей, кроме едицы и самого себя.Например 7, 41, 53 — простые числа.Составные числа, это такие числа, которые имеют другие делители, кроме едицы и самого себя.Например 21 — составное число. Оно делится на 1, 3, 7, 21

БИЛЕТ 12

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую необходимо владеть основными сведениями о системах счисления и форме представления чисел в них.Количество s различных цифр, употребляемых в системе счисления, называется основанием, или базой системы счисления. В общем случае положительное число X в позиционной системе с основанием s может быть представлено в виде полинома: где s - база системы счисления, - цифры, допустимые в данной системе счисления. Последовательность образует целую часть X, а последовательность - дробную часть X.В вычислительной технике наибольшее применение нашли двоичная (BIN - binary), и двоично кодированные системы счисления: восьмеричная (OCT - octal), шестнадцатеричная (HEX - hexadecimal) и двоично-кодированная десятичная (BCD - binary coded decimal).В дальнейшем для обозначения используемой системы счисления число будет заключаться в скобки, а в индексе указано основание системы. Число X по основанию s будет обозначено

2.Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью \frac{m}{n}, числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число, к примеру 2/3. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.

БИЛЕТ 13

1.Десятичная система счисления наиболее распространенная система счисления в мире. Для записи чисел используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9(арабские цифры). При чем один и тот же знак (цифра) из десяти имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10, которое образует единицу 2-го разряда, единицей 3-го разряда будет 100 = 102, вообще единица каждого следующего разряда в 10 раз больше единицы предыдущего.

В непозиционной системе счисления величина числа не зависит от положения цифры в представлении числа. Если бы мы перемешали цифры в числе 603121200000, то мы бы не смогли понять, сколько стоит пылесос; в непозиционной системе случится нечто похожее. Ярким примером непозиционной системы счисления является римская система.

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов. Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям.

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

БИЛЕТ 14

1.(общий признак делимости на составное число): Для того, чтобы натуральное число х делилось на составное число n = bc, где числа b и c таковы, что D(b.c) = 1, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на b и на c.

Доказательство: Пусть число х делится на n. Тогда, из того, что х делится на n и n делится на b (по свойству транзитивности отношения делимости) следует, что х делится на b. Из того, что х делится на n и n делится на с (по свойству транзитивности отношения делимости) следует, что х делится на с. Таким образом, мы показали, что для того, чтобы натуральное число х делилось на составное число n = bc, необходимо, чтобы оно делилось на b и на c.

Докажем достаточность условия. Так как х делится на b и на c, то х – общее кратное чисел b и c. Но любое общее кратное делится на их наименьшее общее кратно. Значит, х делится на К(b, c). Поскольку D(b.c) = 1, то К(b, c) = х. Следовательно, х делится на n.

Признак делимости на 6:

БИЛЕТ 15

1.Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей.[1] Пример: для чисел 70 и 105 наибольший общий делитель равен 35.

БИЛЕТ 16

1.Простые числа, это такие числа, которые не имеют никаких других делителей, кроме едицы и самого себя.Например 7, 41, 53 — простые числа.Составные числа, это такие числа, которые имеют другие делители, кроме едицы и самого себя.Например 21 — составное число. Оно делится на 1, 3, 7, 21

2.Для решения задач подразумевается выполнение следующего плана, который является общим для решения задач любого вида и любого способа решения, все выделенные этапы представляют собой норму деятельности человека по решению задач.

Однако в реальном процессе решения не обязательно проходить через все перечисленные этапы. Это зависит от того, насколько решающему известен способ решения задачи. Поэтому в начальной школе можно использовать следующий план работы над задачей.

План полной работы над задачей

Проверка решения задачи.

БИЛЕТ 17

1.Алгори́ тм — набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения некоторого результата. В старой трактовке вместо слова «порядок» использовалось слово «последовательность», но по мере развития параллельности в работе компьютеров слово «последовательность» стали заменять более общим словом «порядок». Независимые инструкции могут выполняться в произвольном порядке, параллельно, если это позволяют используемые исполнители.

На основе аналитического и синтетического методов решения задач при работе над поиском решения задачи применяются два основных способа разбора задачи: аналитический (анализ) и синтетический (синтез). Однако на практике чаще употребляют аналитическо-синтетический разбор задачи. Под анализом подразумевают способ рассуждений от общего к частному (анализировать – разбивать на составляющие), таким образом при разборе текста задачи от вопроса к данным применяется аналитический способ.

БИЛЕТ 18

БИЛЕТ 19

2.Начальный курс математики имеет все возможности для предварительного знакомства учащихся с комбинаторными задачами и методами их решения на соответствующем уровне.

« Включение комбинаторных задач в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников.

Решение таких задач дает возможность расширять знания учащихся о самой задаче, например, о количестве и характере результата (задача может иметь не только одно, но и несколько решений – ответов или не иметь решения), о процессе решения (чтобы решить задачу, не обязательно выполнять какие – либо действия).

Кроме того, целенаправленное обучение решению комбинаторных задач способствует развитию такого качества мышления, как вариативность. Под ней понимается направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специальных указаний на это».

« Многие комбинаторные задачи способствуют развитию мышления младших школьников. Поэтому необходимо включать комбинаторные задачи в обучение младших школьников.

В основе системы обучения решению таких задач лежат следующие принципы:

психологическое содержание обучения составляет стратегия развития гибкости мышления детей;

учет процесса интерриоризации (первоначальное выполнение заданий в практической деятельности, затем перенесение практических действий через речевые в план умственных действий);

Сложность комбинаторных задач заключается в том, что при их решении должна быть выбрана такая система конструированного перебора, которая давала бы полную уверенность в том, что рассмотрены все возможные случаи (без повтора комбинаций).

Перебор всегда осуществляется по какому-либо признаку объектов и напрямую связан с операцией классификацией объектов. Поэтому важным элементом готовности ребенка к овладению способами решения комбинаторных задач является его умение выделять различные признаки предметов, классифицировать множества одних и тех же объектов по различным основаниям.

В основе комбинаторных действий, в частности перебора всех возможных вариантов, лежат действия с конечными множествами. Объективный анализ ситуации, описанной в комбинаторной задаче, и правильное выполнение операций с множествами, о которых идет речь в задаче предполагают:

владение на достаточно высоком уровне рядом логических и теоретико - множественных понятий (некоторый, каждый, все, отдельные, множество, часть, целое);

понимание смысла союзов-связок и, или;

Целенаправленная пропедевтическая работа позволяет подготовить детей к знакомству с комбинаторными задачами. Сначала такие задачи решаются на основе практических действий путем перебора. Перебор может предусматривать обнаружение как всех возможных комбинаций с объектами, так и лишь их части, удовлетворяющей условиям задачи.

Приведем пример. У детей 5-6 лет на столах приготовлены бумажные геометрические фигуры разного цвета и размера: три круга(красный, желтый и зеленый) и два треугольника (желтый и зеленый).Эти фигуры обозначают фрукты разного цвета: три яблока и две груши.

Педагог сообщает детям, что к ним в гости на занятие пришли герои сказок (три медведя и девочка Маша), которые просят «сварить» для них разные компоты. Каждому медведю надо приготовить свой компот. В компоте должны быть яблоки и груши. Всего четыре фрукта. Каждый ребенок самостоятельно выполняет задание, составляя четыре вида компота, с помощью перебора различных комбинаций бумажных геометрических фигур разного цвета.

Работаем с трафаретом, дети вписывают в «окошки» данные задачи, а через прорези намечает места записи составленных объектов. Убрав трафарет, они могут отчертить прямыми линиями условие задачи. Затем с помощью предложенных значков учащиеся вписывают в соответствующие летки слова и подсчитывают их количество.

При заполнении таблиц, особенно на начальном этапе, важно обращать внимание детей на то, следует ли записывать составленное соединение, не повторяет ли оно уже имеющееся и удовлетворяет ли условиям задачи.

Сколько всего рукопожатий было сделано? Сначала выясняется, как можно обозначить каждого человека. Рассматривая разные предложения, дети приходят к выводу, что удобнее изображать детей точками. Педагог советует расположить точки по кругу. Дети придумывают, как показать человека, которые пожали друг другу руки.

От двух точек навстречу друг другу проводятся черточки – «руки», которые, встречаясь, образуют одну линию. Так происходит переход к символическому изображению рукопожатия. Сначала составляются рукопожатия одного человека, потом переходят к другому человеку. И так действуют до тех пор, пока все не «поздороваются» друг с другом. По получившемуся графу подсчитывается число рассуждений /их всего 10/

Для решения комбинаторных задач детей также можно познакомить с граф-деревом. Важно, чтобы необходимость схематизации возникла у каждого ребенка, как внутренняя потребность зафиксировать свои рассуждения графически.

Например, учитель задает вопрос: «Сколько различных башенок можно построить из трех кубиков красного, синего и желтого цветов? »

При решении этой задачи дети могут прибегнуть к практическим действиям. Но важно подвести их к необходимости рационализировать перебор всевозможных вариантов башенок с помощью вопросов: «Как бы ты решил эту задачу, если бы у нас не было конструктора с кубиками? Все ли возможные башенки ты построил? Как это проверить? »

Ж С Ж К С К верхний кубик

| | | | | |

C Ж К Ж К С средний кубик

\ / \ / \ /

К С Ж нижний кубик

\__________|__________/

Анализируя построенный граф, педагог, может обратить внимание детей на закономерность: каждый кубик два раза оказывается на каждом «этаже» (кроме нижнего). Осознав эту закономерность, ученики могут сделать вывод, что по условию задачи можно построить ровно 6 башенок…

На четвертом этапе детей необходимо познакомить с такими правилами комбинаторики, как правило суммы и правило произведения; подвести к применению комбинаторных формул без их обозначения (для подсчета числа сочетаний, размещений и перестановок). В процессе достижения выделенных задач каждый ребенок учится представлять в умственном плане все возможные варианты комбинаций без обращения к практическим или графическим средствам. Педагогу важно организовать учебный процесс так, чтобы дети активно рассуждали, комментировали свои действия и на основе правил суммы и произведения получали ответ на поставленный вопрос о подсчете числа комбинаций.

Таким образом, обобщая рациональные приемы систематического перебора, ученики переходят на такой уровень решения комбинаторных задач, когда они могут, рассуждая вслух, проводить доказательства в обобщенном лане, не обращаясь к выделению каждого частного варианта перебора. Здесь не подразумевается полный отказ от схем, таблиц и графов, а имеется ввиду лишь их рациональное использование. Одним из критериев сформированности комбинаторных действий на достаточно высоком уровне является самостоятельное, аргументированное, логическое рассуждение детей в плане громкой речи с опорой на модели, комбинаторные правила и формулы.

Этап обобщения рациональных приемов систематического перебора целесообразнее начать с комбинаторной задачи на правило суммы. Это правило дети могут «открыть» для себя на примере такой задачи: «В вазе 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно взять из вазы один из фруктов? » Приведем возможный вариант беседы учителя с детьми:

- Что значит «взять 1 из фруктов? Это значит взять яблоко или грушу.

- Сколькими способами можно взять 1 яблоко? Почему? (Четырьмя способами, так как яблок всего 4 они разные).

- сколькими способами можно взять 1 грушу и почему? (Тремя способами, так как груш всего 3 и они разные).

- Сколькими способами можно взять один из фруктов? ( Семью способами 7=4+3).

На следующем этапе совместно с учащимися могут быть рассмотрены задачи на правило произведения. Следует уделить особое внимание осознанию смысла этого правила, так как в дальнейшем на его основе будут решаться задачи на определение числа размещений, перестановок, сочетаний из n элементов по m.

Приведем пример задачи: «В вазе 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно взять из вазы пару фруктов: яблоко и грушу? »

- Можно ли здесь для ответа на вопрос задачи применить правило суммы?

Почему? (Нет, так как в задаче требуется выбрать пару фруктов).

- Сколькими способами можно выбрать1 яблоко для набора (четырьмя способами).

- Пусть яблоко выбрано.

Задача 1.

Задача 2.

Подобной парой задач педагог предлагает, чтобы показать отличия размещений от сочетаний из n элементов по m. Такая цель достигается в процессе сравнительного разбора и решений этих задач при последовательной организации следующей деятельности учеников на занятии.

Опираясь на предыдущий опыт решения аналогичных задач, учащиеся могут найти решения первой задачи: 4•3•2=24 способами.

И также включение в обучение детей дошкольного и младшего школьного возраста комбинаторным задачам будет способствовать как интеллектуальному развитию ребенка в целом, так и возможности « создавать полезные комбинации», что позволит в будущем решать творческие задачи.

БИЛЕТ 20

Теорема. Всякое положительное действительное число может быть изображено с помощью бесконечной десятичной дроби, и каждой бесконечной положительной десятичной дроби соответствует определённое положительное действительное число.

Доказательство.

Билет № 21

Но это только общее определение того, что такое выражение в математике. На самом деле для каждого типа математических выражений существуют определенные правила, которым подчиняются именно эти выражения — для дробей одни правила, для логарифмов — другие.

Математические выражения могут составляться из цифр и букв, а также из тех и других вместе. Например, 2 + 2 — это цифровое выражение, а + б – буквенное, а уравнение а + б + 1 = 1 + б + а состоит из двух равных выражений, представленных и буквами и цифрами.

2) " Методика" - слово греческого происхождения (" метод" - путь). Исходя из данного термина можно заключить, что " методика математики" – это научно-обоснованный путь к изучению математики.

Методика начального обучения математике является той сферой конкретно-педагогической деятельности, где вырабатываются и теоретически систематизируются объективные знания о процессе обучения математике.

Для учителя этот предмет является как бы инструментом рационального обучения математике. Методика математики в основном ориентируется на самого человека, на развитие его интеллекта, творческих способностей, культуры мышления, на создание духовных предпосылок его развития.

Общепризнан тот факт, что методика математики призвана дать ответы на три основных вопроса, связанных с обучением:

Зачем обучать математике?

Что изучать из математики?

Как обучать математике?

Исходя из этих трёх задач можно сказать, что " предметом методики начального обучения математике является обоснование целей начального обучения математике (зачем обучать математике), научная разработка содержания обучения математике, получающего воплощение в программе (что изучать), методов обучения (как обучать), средств обучения - учебников, наглядных пособий и технических средств (при помощи чего обучать). Важной задачей является организация обучения и исследование процесса и результатов усвоения математических знаний учащимися.

Процесс обучения методике математики будущих учителей представляет собой взаимодействие преподавателя и студентов, в ходе которого решается задача подготовки новых кадров. В этом процессе идет целенаправленная передача систематизированной информации с одной стороны (преподаватель) и должное усвоение этой информации с другой стороны (студент). Поэтому методика математики в данной ситуации становится учебным предметом. Данный предмет полностью отвечает за методическую подготовку учителя для организации процесса обучения математике учащихся.

Методика обучения математике, как учебный предмет в педагогическом учебном заведении, состоит из двух разделов:

1) Общая методика обучения математике (например, изучение методов обучения, организация процесса обучения математике и т.п.).

2) Частная методика обучения математике (например, методика изучения нумерации, сложения в пределах десяти и т.п.).

Основное содержание учебного предмета " Методика начального обучения математике" есть ответ на вопрос: " Как обучать математике? ", который излагается в соответствующих учебниках математики. Ответ же на других два вопроса: " Зачем обучать математике? " и " Что изучать из математики? " в основном отражён в учебных программах и учебниках начальной школы, с учетом которых составляются учебники методики.

Билет № 22

1) числовое равенствоЗнакомство с числовыми равенствами начинается на самом начальном этапе изучения математики в школе. Обычно это происходит в 1 классе сразу после того, как становятся известными первые числа от 1 до 9 и после того, как обретает смысл фраза «столько же». Тогда то и появляются первые числовые равенства, например, 1=1, 3=3 и т.п., которые на этом этапе обычно называют просто равенствами без уточняющего определения «числовые».

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒