Структурная кристаллография плоских решеток Бравэ.

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 11Следующая ⇒

При решении широкого круга геометрических задач, связанных с границами зерен и фаз (более широко - поверхностями раздела в кристаллах) традиционно используется аппарат привычной трехмерной (3d) кристаллографии. Однако ряд таких задач требует работы с плоскими трансляционно-симметричными сетками узлов. С другой стороны стремительное развитие наноэлектроники, т.е. разработка технологии создания миниатюрных микросхем, размещенных на поверхности кристаллов, привело к тому, что удельная доля исследований в области физики и химии поверхности в настоящее время сравнима с долей исследований в области объемных свойств вещества. Естественно, что любые исследования поверхности должны базироваться на аппарате ее структурной кристаллографии. При этом оправдано использование 2d кристаллографии на плоскости в виду упрощения формул, связанного с исключением «лишней» координаты и более наглядной связи вычислений с существом задачи.

В задачи структурной кристаллографии 2d решеток входит вычисление расстояний, углов и площадей простых фигур – параллелограммов и треугольников. Эти задачи решаются с помощью аналитического аппарата векторной алгебры на плоскости. При этом для числового представления векторов через их компоненты удобно использовать разложение векторов по естественному кристаллографическому базису решетки - { a _1, a ₂}, а также по вспомогательному дуальному базису - { b _1, b ₂}. Пару векторов { a _1, a ₂} будем называть просто базисом или прямым базисом, а пару { b _1, b ₂} - взаимным или обратным базисом. Векторы { b _1, b ₂} обратного базиса для заданного прямого базиса { a _1, a ₂} даются соотношениями (рис. 15.1, а):

b₁ ^ a₂ , (вектор b ₁ образует угол £ 90° с a ₁ ( b ₁ a ₁ ≥ 0)),

b₁=l/d₁;

(15.1)

b ₂^ a ₁, (вектор b ₂ образует угол £ 90° с a ₂ ( b ₂ a ₂ ≥ 0)),

b₂=l/d₂ ,

где d₁, d₂ – длины высот параллелограмма, образованного векторами { a ₁, a ₂}; параметр l=1 при решении задач аналитической геометрии, или l=2p при рассмотрении полей, обладающих соответствующей трансляционной симметрией. В этом разделе мы принимаем l = 1. Из определения (15.1) следует, что b ₁ и b ₂ имеют размерность обратной длины. Пара векторов { b ₁, b ₂} также образует параллелограмм (рис.15.1, а), что позволяет в свою очередь, рассматривать прямой базис как взаимный по отношению к обратному базису. Из определения (15.1) следуют основные соотношения, связывающие векторы прямого и обратного базиса:

a_i b_k = d _i _k. (15.2)

Любой вектор V на плоскости может быть представлен разложением по прямому и обратному базису:

V = a₁ + a₂ = b₁ + b₂ ≡ a_k = b_k. (15.3)

Причем ковариантные компоненты вектора V даются скалярными произведениями этого вектора на соответствующие векторы прямого базиса - = Va _k, откуда следует, что они имеют размерность квадрата длины, в отличие от безразмерных контравариантных компонент . Наглядная геометрическая интерпретация контравариантных, и ковариантных компонент вектора V дана на рис. 15.1, б.

а б

Рис.15.1. а) связь векторов прямого и обратного базиса на плоскости; б) разложение произвольного вектора V, контравариантные и ковариантные компоненты V: ; для углов между координатными осями прямого и обратного базиса справедливо: .

Метрические свойства прямого и обратного базиса характеризуются симметричными тензорами и :

= a _i a _k; = b _i b _k. (15.4)

Из определения (15.4) следует, что матрицы метрических тензоров и являются взаимно обратными - .= , а их компоненты имеют размерность площади и обратной площади соответственно. Три независимых элемента тензоров и связаны с длинами соответствующих базисных векторов и углом между ними – a₁, a₂, a для прямого базиса; - b₁, b₂, b для обратного базиса:

a₁ = , a₂ = ,

(15.5)

b₁ = , b₂ = ,

Кроме того, детерминанты тензоров и связаны с площадями параллелограммов - и , образованных векторами прямого и обратного базисов:

, . (15.6)

Из (15.6) следует, что . С помощью метрических тензоров и записываются явные выражения для скалярного произведения двух векторов V и V 'через их контравариантные и ковариантные компоненты:

V V ' = . (15.7)

Из (15.7 и 15.3) следует, что метрические тензоры связывают контравариантные и ковариантные компоненты вектора V, а также играют роль матриц перехода между векторами «прямого» и «обратного базиса»:

, ,

(15.8)

, ,

С помощью (15.7) получаются формулы для вычисления длин векторов и углов между ними:

V = ; (15.9)

. (15.10)

Площадь параллелограмма S( V, V ') образованного векторами V и V ' вычисляется через абсолютное значение детерминанта составленного из контравариантных компонент этих векторов:

S( V, V ') = abs . (15.11)

Матрицы перехода и к новому прямому и соответствующему обратному базису связаны операциями обращения и транспонирования:

, , . (15.12)

Формулы преобразования контравариантных и ковариантных компонент вектора V при таком переходе имеют вид:

, , (15.13)

В кристаллографии 2d решеток выделяется иерархия объектов: узел ® узловой ряд ® семейство параллельных узловых рядов. Для описания этих кристаллографических образов вводится множество всех векторов { t } имеющих целочисленные компоненты при разложении по «прямому» базису и множество всех векторов { g } имеющих целочисленные компоненты при разложении по «обратному» базису:

t = t₁ a₁ + t₂ a₂ , t₁, t₂ Î Z;

(15.14)

g = g₁ b₁ + g₂ b₂ , g₁, g₂ Î Z.

Векторы t задают множество узлов прямой решетки Бравэ, а векторы g множество узлов обратной решетки Бравэ. Компоненты (g₁, g₂) векторов g, также как и компоненты [t₁, t₂] векторов t, принимаются безразмерными, так что сами векторы g приобретают размерность векторов «обратного» базиса, т.е. размерность обратной длины. Эти две совокупности векторов удовлетворяют важному соотношению, вытекающему из (15.1, 15.12):

t g = t₁ g₁+ t₂ g₂= f, f Î Z. (15.15)

В качестве координат некоторого узла прямой решетки [[x y]] естественно принять компоненты [[t₁ t₂]], задающего его вектора t. В качестве индексов [u v] кристаллографического направления – узловой прямой проходящей через начало координат, принимаются компоненты [t₁ t₂] вектора t , который задает ближайший к началу координат узел на данном направлении. Для характеристики семейства параллельных узловых рядов вводятся индексы Миллера (h k), суть целые числа равные числу частей, на которые данное семейство параллельных узловых рядов делит базисные векторы a ₁ и a ₂ соответственно. Эквивалентное определение - индексы Миллера семейства параллельных узловых рядов (h k) это два целых числа, не имеющие общего делителя, причем h: k = (1/X): (1/Y), где X и Y – длины отрезков, которые произвольный ряд из этого семейства отсекает на координатных осях x и y, выраженные в соответствующих осевых единицах длины векторов a ₁ и a ₂.

Следующее два утверждения связывают семейства параллельных узловых рядов с векторами обратной решетки:

а) вектор обратной решетки g = h b ₁ + k b ₂, перпендикулярен семейству параллельных узловых рядов (h k);

б) величина 1/g, где g - длина вектора g = h b ₁ + k b ₂, равна кратчайшему расстоянию d₍_h _k₎ между рядами семейства (h k).

Доказательство:

а) по определению индексов Миллера (h k) вектор a = a ₁/h - a ₂/kпараллелен семейству (h k). Используя (15.2) получаем a g =0, т.е. векторы a и g ортогональны;

б) по определению индексов Миллера кратчайшее расстояние между рядами семейства (hk) есть d₍_h _k₎ = a ₁/h n = a ₂/k n, где n –единичный вектор ортогональный семейству (h k). Поскольку из а) следует, что n = g /g, оба равенства для d₍_h _k₎ дают d₍_h _k₎ = 1/g.

Частный случай этих важных соотношений – определение самих векторов «обратного» базиса b ₁ и b ₂ (1). Они ортогональны семействам узловых рядов (1 0) и (0 1), параллельных векторам a ₂ и a ₁ соответственно, а также имеют длины - b₁ = 1/d₁ и b₂ = 1/d₂, обратные кратчайшим расстояниям в этих семействах. Таким образом, векторы обратной решетки g с компонентами (g₁, g₂) не имеющими общего делителя задают ортогональные им семейства узловых рядов с индексами Миллера (h=g₁ k=g₂). Из этого следует двумерный аналог правила Вейсса – индексы [u v] узловой прямой и индексы семейства (hk), которому принадлежит эта узловая прямая, удовлетворяют условию: u h + v k =0. Полезной оказывается геометрическая иллюстрация основного соотношения для векторов прямой и обратной решеток (15.15) t g = f. Здесь целое число f это число частей, на которые семейство параллельных плоскостей семейства, заданного вектором обратной решетки g рассекает вектор прямой решетки t.

Все правильные системы точек на плоскости относятся к одному из пяти перечисленных типов 2d решеток Браве: косоугольная, центрированная прямоугольная, прямоугольная, квадратная и гексагональная. В следующем разделе приведены основные формулы структурной кристаллографии для каждой из этих решеток.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8910 11 Следующая ⇒