Лекция 13. Структурная кристаллография трехмерных решеток Бравэ

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 11Следующая ⇒

В задачи аналитической структурной кристаллографии трехмерных (3d) решеток входит вычисление расстояний (периода идентичности вдоль произвольного кристаллографического направления и расстояний между заданными узлами решетки). Также интерес представляет вычисление углов между кристаллическими направлениями, углов между кристаллическими плоскостями, углов между кристаллическими направлениями и плоскостями, а также объемов простых пространственных фигур – параллелепипедов и пирамид.

Эти задачи решаются с помощью аналитического аппарата векторной алгебры в пространстве. При этом для числового представления векторов через их компоненты удобно использовать разложение векторов по естественному кристаллографическому базису решетки - { a _1, a _2, a ₃}, а также по вспомогательному дуальному базису - { b _1, b _2, b ₃}. Тройку векторов { a _1, a _2, a ₃} будем называть просто базисом или прямым базисом, а тройку { b _1, b _2, b ₃} - взаимным или обратным базисом. Векторы { b _1, b _2, b ₃} обратного базиса для заданного прямого базиса { a _1, a _2, a ₃} даются однозначными соотношениями (рис. 13.1а):

1) b ₁^ плоскости грани, образованной векторами a ₂ a ₃,

векторы a _2, a _3, b ₁ образуют правую тройку,

длина вектора b ₁ - b₁ = l / d₁;

2) b ₂^ плоскости грани, образованной векторами a ₃ a ₁, (13.1)

векторы a _3, a _1, b ₂ образуют правую тройку,

длина вектора b ₂ – b₂ = l / d₂;

3) b ₃^ плоскости грани, образованной векторами a ₁ a ₂,

векторы a _1, a _2, b ₃ образуют правую тройку,

длина вектора b ₃ – b₃ = l / d₃;

где d₁, d₂, d₃– длины высот параллелепипеда, образованного векторами { a _1, a _2, a ₃} для граней ( a ₂ a ₃), ( a ₃ a ₁), ( a ₁ a ₂) соответственно; параметр l=1 при решении задач аналитической геометрии, или l=2p при рассмотрении полей, обладающих соответствующей трансляционной симметрией. В принципе, параметр l можно выбирать произвольно. В кристаллографии принимается l = 1. Из определения (1) следует, что векторы { b _1, b _2, b ₃} имеют размерность обратной длины, что и оправдывает их название – обратный базис. При этом стоит подчеркнуть, что векторы этого базиса определены в обычном («нашем») пространстве, том же самом, что и векторы прямого базиса, просто имеют непривычную и совершенно формальную размерность.

Поскольку основными геометрическими объектами кристаллографии являются узловые прямые и узловые плоскости, ясно, что введение обратного базиса неизбежно. Действительно, ведь эти векторы являются нормалями к трем неэквивалентным граням (кусочкам основных кристаллических плоскостей) элементарной ячейки, также как векторы прямого базиса являются направляющими векторами трех основных кристаллографических направлений. Более того, далее мы покажем, что аналогично тому, как произвольное кристаллическое направление представимо в виде целочисленного разложения по векторам прямого базиса, нормаль к произвольной кристаллической плоскости представима в виде целочисленного разложения по векторам обратного базиса.

Вспоминая определение векторного произведения, легко видеть, что соотношения (13.1) могут быть записаны следующим аналитическим способом:

; ;

(13.1, а)

где - объем элементарной ячейки решетки Бравэ.

Тройка векторов { b _1, b _2, b ₃} также образует параллелепипед (рис. 13.1), что позволяет в свою очередь, рассматривать прямой базис как взаимный по отношению к обратному базису. Из определения (13.2) следуют основные соотношения, связывающие векторы прямого и обратного базиса:

a _i b _k= d _i _k. (13.2)

Таким образом, скалярное произведение векторов прямого и обратного базиса равно единице, если совпадают их номера, и равно нулю в противоположном случае.

Любой вектор V на плоскости может быть представлен разложением по прямому и обратному базису:

V = a ₁ + a ₂+ a ₃ = b ₁ + b ₂ + b ₃ ≡

≡ a _k = b _k (13.3)

Причем, так называемые ковариантные компоненты вектора V даются скалярными произведениями этого вектора на соответствующие векторы прямого базиса - = V a _k, откуда следует, что они имеют размерность квадрата длины, в отличие от безразмерных от контравариантных компонент . Наглядная геометрическая интерпретация контравариантных, и ковариантных компонент вектора V дана на рис. 13.2.

Рис. 13.1. Связь векторов прямого и обратного базиса в пространстве

Рис. 13.2. Разложение произвольного вектора V по прямому и взаимному базисам (двумерная схема): контравариантные и ковариантные компоненты вектора V:

;

для углов между координатными осями прямого и обратного базиса справедливо: .

Метрические свойства прямого и обратного базиса характеризуются симметричными тензорами и :

= a _i a _k; = b _i b _k. (13.4)

Из определения (13.4) следует, что матрицы метрических тензоров и являются взаимно обратными - .= , а их компоненты имеют размерность площади и обратной площади соответственно. Шесть независимых элементов тензоров и связаны с длинами соответствующих базисных векторов и углом между ними – a₁, a₂, a₃ a₁, a₂, a₃, для прямого базиса; - b₁, b₂, b₃, b₁, b₂, b₃, для обратного базиса:

a₁ = , a₂ = , a₃ = ,

, , .

(13.5)

b₁ = , b₂ = , b₃ = ,

, , .

Кроме того, детерминанты тензоров и связаны с объемами параллелепипедов - и , образованных векторами прямого и обратного базисов:

, . (13.6)

Из (13.6) следует, что . С помощью метрических тензоров и записываются явные выражения для скалярного произведения двух векторов V и V 'через их контравариантные и ковариантные компоненты:

V V ' = . (13.7)

Из (13.3, 13.7) следует, что метрические тензоры связывают контравариантные и ковариантные компоненты вектора V, а также играют роль матриц перехода между векторами прямого и обратного базиса:

, ,

, . (13.8)

С помощью (13.7) получаются формулы для вычисления длин векторов и углов между ними:

V = ; (13.9)

. (13.10)

Объем параллелепипеда V( V, V ', V '') образованного векторами тройкой векторов V , V ', V '' вычисляется через абсолютное значение детерминанта составленного из контравариантных компонент этих векторов:

V( V, V ', V '') = abs . (13.11)

Матрицы перехода и к новому прямому и соответствующему обратному базису связаны операциями обращения и транспонирования:

, , . (13.12)

Формулы преобразования контравариантных и ковариантных компонент вектора V при таком переходе имеют вид:

, . (13.13)

В кристаллографии 3d решеток выделяется иерархия объектов: узел ® узловой ряд ® семейство параллельных узловых плоскостей. Для описания этих кристаллографических образов вводится множество всех векторов { t } имеющих целочисленные компоненты при разложении по прямому базису и множество всех векторов { g } имеющих целочисленные компоненты при разложении по обратному базису:

t = t₁ a ₁ + t₂ a ₂ + t₃ a ₃, t₁, t₂, t₃ Î Z;

(13.14)

g = g₁ b ₁ + g₂ b ₂ + g₃ b ₃, g₁, g₂, g₃ Î Z.

Векторы t задают множество узлов прямой решетки Браве, а векторы g множество узлов обратной решетки Браве. Компоненты (g₁, g₂, g₃) векторов g , также как и компоненты [t₁, t₂, t₃] векторов t, принимаются безразмерными, так что сами векторы g приобретают размерность векторов обратного базиса, т.е. размерность обратной длины. Эти две совокупности векторов удовлетворяют важному соотношению, вытекающему из (13.1, 13.1, а, 13.2):

t g = t₁ g₁+ t₂ g₂ + t₃ g₃ = f, f Î Z. (13.15)

В качестве координат некоторого узла прямой решетки [[x y z]] естественно принять компоненты [[t₁ t₂ t₃]], задающего его вектора t. В качестве индексов [u v w] кристаллографического направления – узловой прямой проходящей через начало координат, принимаются компоненты [t₁ t₂ t₃] вектора t, который задает ближайший к началу координат узел на данном направлении.

Для характеристики семейства параллельных узловых плоскостей вводятся индексы Миллера (h k l), суть целые числа равные числу частей, на которые данное семейство параллельных узловых плоскостей делит базисные векторы { a _1, a _2, a ₃} соответственно. Эквивалентное определение - индексы Миллера семейства параллельных узловых плоскостей (h k l) это три целых числа, не имеющих общего делителя, причем h: k: l = (1/X): (1/Y): 1/Z, где X, Y, Z – длины отрезков, которые произвольная плоскость из этого семейства отсекает на координатных осях x, y, z, выраженные в соответствующих осевых единицах длины a ₁, a ₂, a ₃.

Следующее два утверждения связывают семейства параллельных узловых плоскостей с векторами обратной решетки (рис.3):

а) вектор обратной решетки g = h b ₁ + k b ₂ + l b ₃, перпендикулярен семейству параллельных узловых плоскостей (h k l);

б) величина 1/g, где g - длина вектора g = h b ₁ + k b ₂ + l b ₃, равна кратчайшему расстоянию d₍_h _k _l₎ между плоскостями семейства (h k l).

Доказательство:

а) по определению индексов Миллера (h k l) векторы А = ( a ₂/k - a ₁/h), В = (a ₃/l - a ₂/k), C = (a ₁/h - a ₃/l) параллельны семейству плоскостей (h k l) (рис.3). Используя (2) получаем

А g = ( a ₂/k - a ₁/h) (h b ₁ + k b ₂ + l b ₃ ) = (k/k - h/h) = 0,

B g = ( a ₃/l - a ₂/k) (h b ₁ + k b ₂ + l b ₃ ) = (l/l - k/k) = 0,

C g = ( a ₁/h - a ₃/l) (h b ₁ + k b ₂ + l b ₃ ) = (h/h - l/l) = 0

т.е. векторы g ортогонален векторам А, В, C а следовательно и плоскости с индексами Миллера (h k l). Отметим, что для доказательства достаточно ортогональности вектора g любой паре векторов из тройки А, В, C.

б) по определению индексов Миллера кратчайшее расстояние между плоскостями семейства (h k l) есть d₍_h _k _l₎ = a ₁/h n = a ₂/k n = a ₃/l n , где n –единичный вектор ортогональный семейству (h k l) (рис.3). Поскольку из а) следует, что n = g /g, все три равенства для d₍_h _k _l₎ дают d₍_h _k _l₎ = 1/g:

d_{(h k l)} = a ₁/h n = ( a ₁/h) (h b ₁ + k b ₂ + l b ₃ )/g = (h/h) 1/g = 1/g,

d_{(h k l)} = a ₂/k n = ( a ₂/k) (h b ₁ + k b ₂ + l b ₃ )/g = (k/k) 1/g = 1/g,

d_{(h k l)} = a ₃/l n = ( a ₃/l) (h b ₁ + k b ₂ + l b ₃ )/g = (l/l) 1/g = 1/g.

Отметим, что для доказательства достаточно любого одного из трех приведенных нами равенств.

Рис. 13.3.

Частный случай этих важных соотношений – определение самих векторов обратного базиса b ₁, b ₂, b ₃ (13.1). Они ортогональны семействам узловых плоскостей (100), (010), (001) параллельных векторам a ₁, a ₂, a ₃ соответственно, а также имеют длины - b₁ = 1/d₁, b₂ = 1/d₂, b₃ = 1/d₃ обратные кратчайшим расстояниям в этих семействах.

Таким образом, векторы обратной решетки g с компонентами (g₁ g₂ g₃) не имеющими общего делителя задают ортогональные им семейства узловых плоскостей с индексами Миллера (h=g₁ k=g₂ l=g₃). Из этого следует так называемое правило Вейсса – индексы [u v w] узловой прямой и индексы узловой плоскости (h k l), которому принадлежит эта узловая прямая, удовлетворяют условию: u h + v k + w l =0.

Полезной оказывается геометрическая иллюстрация основного соотношения для векторов прямой и обратной решеток (13.15) t g = f. Здесь целое число f - это число частей, на которые семейство параллельных плоскостей семейства, заданного вектором обратной решетки g рассекает вектор прямой решетки t.

Рассмотрим теперь векторное произведение векторов t и t' : с = t × t'. Вектор с обладает по определению следующими свойствами: он перпендикулярен плоскости векторов t и t' , тройка t , t' , с – правая, длина вектора с численно равна площади параллелограмма векторов t и t'.

с = ( t₁ a ₁ + t₂ a ₂ + t₃ a ₃) ( t'₁ a ₁ + t'₂ a ₂ + t'₃ a ₃) = (t₁ t'₂ – t₂ t'₁) ( a ₁ × a ₂) +

(t₂ t'₃ – t₃ t'₂) ( a ₂ × a ₃) + (t₃ t'₁ – t₁ t'₃) ( a ₃ × a ₁), (13.16)

где мы воспользовались соотношениями: ( a _i × a _i) = 0 , ( a _i × a _j) = - ( a _j × a _i). Далее, пользуясь определением векторов обратного базиса (2), получаем разложение вектора с по векторам обратного базиса:

с = Ω ((t₂ t'₃ – t₃ t'₂) b ₁ + (t₃ t'₁ – t₁ t'₃) b ₂ + (t₁ t'₂ – t₂ t'₁) b ₃ ). (13.17)

Формула (13.17) в принципе решает задачу отыскания компонент вектора с = t × t' в обратном базисе, если векторы t и t' заданы своими компонентами в прямом базисе. Формула (17) по аналогии с векторной алгеброй может быть записана в виде обычного правила определителя, которое нужно понимать как разложение этого определителя по первой строке:

с = Ω . (13.18)

Выражения (13.17, 13.18) показывают, что введение обратного базиса для данного прямого базиса неизбежно! Иначе мы не смогли бы работать с такой важной операцией векторной алгебры, как векторное произведение на языке компонент векторов. Прежде всего, векторное произведение решает задачу отыскания нормали к узловой плоскости по двум принадлежащим ей кристаллографическим направлениям. В этом случае формула (13.18) допускает упрощение. Отметим, что любой вектор, параллельный с = t × t' , является некоторой нормалью к плоскости заданной векторами t и t'. Поэтому в качестве такой нормали принято выбирать вектор

N = c/ Ω = , (13.19)

который автоматически имеет целочисленные компоненты в обратном базисе, т.е. является вектором обратной решетки, характеризующим плоскость векторов t и t'. Таким образом, вычисление нормали к плоскости по формуле (19) сразу дает индексы Миллера этой плоскости (может оказаться, что их нужно сократить на общий целый множитель).

Поскольку прямой и обратный базис являются взаимно обратными, т.е. прямой базис - суть обратный к обратному базису (см. симметрию выражений в (3)), то, не повторяя всех рассуждений, можно записать аналогичную формулу для отыскания общего кристаллографического направления пары плоскостей, если заданы векторы их нормалей:

N = (h b ₁ + k b ₂ + l b ₃ ); N' = (h' b ₁ + k' b ₂ + l' b ₃ );

L = . (13.20)

Очевидно, формула (13.20) дает сразу целочисленные компоненты искомого узлового ряда в прямом базисе (может оказаться, что их нужно сократить на общий целый множитель). Формула (13.20) называется правилом зоны, а кристаллографическое направление L – осью зоны.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 789 10 11 Следующая ⇒