Лекция 16. Описание разориентировки кристаллографических базисов

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 11Следующая ⇒

Для решения широкого круга задач прикладного и теоретического характера необходимо знание способов описания разориентировки кристаллографических базисов соседних зерен. Напомним сначала основные соотношения на простейшем примере кристаллов кубической сингонии. Связь кристаллографических базисов в этом случае описывается ортогональной матрицей перехода A:

a²_k= A_{k i} a¹_i , A_{k i} = cos α _{k i} , (16.1)

Элементы матрицы A – направляющие косинусы векторов базиса { a ²_k} в базисе { a ¹_i}. Из кристаллографии известно, что в общем случае матрица перехода между прямыми базисами A служит для переиндицирования параллельных плоскостей. Для переиндицирования параллельных направлений нужна матрица перехода между обратными базисами B. Эти две матрицы связаны соотношением B = ( A ^-1)^T. Поскольку для кубических кристаллов A ^-1 = A ^T (в силу ортогональности A ), то A = B , т.е. с помощью A производится переиндицирование и плоскостей и направлений. Кроме того, из A ^-1 A ^T = E следуют шесть условий ортогональности для элементов A:

A_{k p} A_{k i} = δ _{p i} , (16.2)

где δ _{p i} - символ Кронекера. Эти условия показывают, что из девяти элементов матрицы A, независимыми являются только три. Это естественно с той точки зрения, что произвольное вращение в трехмерном пространстве имеет три степени свободы. Геометрически матрица A описывает поворот вокруг ориентированной оси вращения на некоторый угол θ, поэтому инвариантное описание вращения дается «вектором» поворота θ = θ n , где n - единичный вектор вдоль оси вращения. Если известны угол θ и компоненты n , то элементы матрицы A находятся по формуле:

A_{k i} = cosθ δ _{k i} + (1-cosθ ) n_k n_i + sinθ e_{k p i} n_p , (16.3)

где e _k _p _i - символ Леви – Чивита. В явном виде, удобном для вычислений:

A =cosθ + (1-cosθ ) + sinθ , (16.3а)

где - индексы кристаллографического направления оси вращения, - его период.

У формулы (16.3) есть важный частный случай. Все симметричные границы наклона (двойниковые границы) могут быть описаны также как границы кручения, отвечающие повороту на угол 180⁰ вокруг нормали к их плоскости. С учетом этого, для таких границ получаем из формулы (16.3):

A _k _i = - δ _k _i + 2 n_k n_i , (16.4)

где n_k - компоненты единичной нормали к плоскости границы. В явном виде (16.4):

A = , (16.4а)

где - индексы Миллера плоскости границы, - обратное межплоскостное расстояние. Матрица обратная A совпадает с ней, поскольку A ² = E.

Из (16.3) легко находится решение обратной задачи определения угла поворота и компонентов единичного вектора оси поворота по заданной матрице A :

2сosθ +1 = A_{k k} , 2sinθ n_p = - e_{p I k} A_{l k}. (16.5)

В явном виде (16.5):

сosθ = (A_{1 1} + A_{2 2} + A_{3 3} - 1) ,

n₁ = k (A₃₂ - A₂₃), n₂ = k (A₁₃ - A₃₁), n₃ = k (A₂₁ - A₁₂) ,

k^-1 = 2sinθ . (16.5а)

Описание поворотов в случае кристаллов произвольной сингонии требует некоторого видоизменения этих соотношений. Прежде всего, матрица перехода A между прямыми базисами и матрица перехода B между обратными базисами:

a²_k= A_{k i} a¹_i , b²_k= B_{k i} b¹_i , (16.6)

не совпадают друг с другом и связаны указанным выше образом. Естественно, что матрицы A и B есть просто два представления одного оператора поворота. Геометрически элементы этих матриц:

A_{k i} = a²_kb¹_i, B_{k i} = b²_ka¹_i. (16.7)

Условия заменяющие для матриц A и B соотношения ортогональности (16.2) получаются из формул преобразования компонент метрического тензора прямого базиса G _i _k = a¹_i a²_k и метрического тензора обратного базиса _i _k = b¹_i b²_k Естественно эти тензоры инвариантны относительно преобразования, сохраняющего метрику:

G_{i k}= A_{i p}A_{k s} G_{p s}, _{i k}= B_{i p}B_{k s} _{p s}. (16.8)

Поскольку компоненты метрических тензоров G _i _k и _i _k заданы, у матриц A и B , по-прежнему только три элемента являются независимыми.

Чтобы найти связь этих матриц с «вектором» поворота, запишем выражение для действия оператора поворота на произвольный вектор:

r' = сosθ r + (1–сosθ ) (r n) n + sinθ (r × n). (16.9)

Для связи кристаллографических базисов это дает:

a²_k= сosθ a¹_k + (1–сosθ ) (a¹_k ( _p b¹_p)) (n_r a¹_r) + sinθ (a¹_k × (n_r a¹_r)), (16.10)

здесь _p – компоненты вектора n в обратном базисе. С учетом определения обратного базиса, и его связи с прямым базисом:

(a¹_k × a¹_r) = e_{k r s} b¹_s , b¹_s = _{s i} a¹_i (16.11)

( - объем элементарной ячейки), окончательно получаем:

a²_k= [сosθ δ _{k i} + (1–сosθ ) _k n _i + sinθ e_{k r s} n _r _{s i}] a¹_i. (16.12)

Выражение в квадратных скобках дает элементы матрицы перехода A _k _i. В явном виде, удобном для вычислений матрица A есть:

A = cosθ + (1-cosθ ) +

+ sinθ , (16.12а)

где , - индексы кристаллографического направления оси вращения в прямом и обратном базисе соответственно: , , а - период этого направления: . Проводя аналогичное рассмотрение для связи векторов обратных базисов, получаем:

b²_k = [сosθ δ _k _i + (1–сosθ ) n _k _i + sinθ e _k _r _s _r _s _i] b¹_i (16.13)

Выражение в квадратных скобках дает элементы матрицы перехода B_ki. В явном виде матрица B есть:

B = cosθ + (1-cosθ ) +

+ sinθ , (16.13а)

Выражения для матриц перехода в случае двойниковых границ, аналогичные (16.4а), имеют вид:

A = , (16.14)

B = . (16.15)

Матрицы A и B совпадают со своими обратными матрицами, поскольку A ² = E и B ² = E.

Также легко могут быть получены выражения для матриц перехода в обратном направлении от базиса { a ²_k} к базису { a ¹_i} и от базиса { b ²_k} к базису { b ¹_k}. Для этого в формулах (16.12, 16.13) достаточно изменить знак угла поворота при сохранении направления оси вращения (либо изменить направление оси вращения на противоположное, при сохранении знака угла, что эквивалентно).

Для решения задачи определения «вектора» поворота по матрице перехода, заметим, что след третьей матрицы в (16.12а, 16.13а) равен нулю, а след второй равен . Поэтому выражение для определения угла поворота, через элементы матриц A и B такое же, как для кристаллов кубической сингонии:

сosθ = (A_{1 1} + A_{2 2} + A_{3 3} - 1) = (B_{1 1} + B_{2 2} + B_{3 3} - 1). (16.16)

Вектор оси вращения в принципе может быть найден, как собственный вектор матрицы A или B , принадлежащий единственному действительному собственному значению λ =1. Однако удобно поступить по другому. Заметим из (16.12), что комбинации (A _k _i – A^-1_k _i) линейно связанны с компонентами n _r:

A_{k i} – A^-1_{k i} = 2sinθ e_{k r s} n _r _{s i}. (16.17)

Откуда, с учетом того, что матрица _ik является обратной матрице G_ik и соотношения detG = (det )^-1 = , получаем явные выражения для компонентов единичного вектора оси вращения n в прямом базисе:

n₁ = {(A₃₂ – A^-1₃₂) - (A₃₁ – A^-1₃₁) } =

= {(A₂₁ – A^-1₂₁) - (A₂₃ – A^-1₂₃) },

n₂ = {(A₁₃ – A^-1₁₃) - (A₁₂ – A^-1₁₂) } =

= {(A₃₂ – A^-1₃₂) - (A₃₁ – A^-1₃₁) },

n₃ = {(A₂₁ – A^-1₂₁) - (A₂₃ – A^-1₂₃) } =

= {(A₁₃ – A^-1₁₃) - (A₁₂ – A^-1₁₂) } . (16.18)

Эти выражения удобны, когда ось поворота должна совпадать с некоторым кристаллографическим направлением. Аналогичные выражения для компонент вектора n в обратном базисе, когда ось поворота должна совпадать с нормалью к некоторой кристаллографической плоскости, получаются из (16.18) заменой A _k _I → B _k _I , G _p _s ↔ _p _s , → :

ñ ₁ = {(B₃₂ – B^-1₃₂) - (B₃₁ – B^-1₃₁) } =

= {(B₂₁ – B^-1₂₁) - (B₂₃ – B^-1₂₃) },

ñ ₂ = {(B₁₃ – B^-1₁₃) - (B₁₂ – B^-1₁₂) } =

= {(B₃₂ – B^-1₃₂) - (B₃₁ – B^-1₃₁) },

ñ ₃ = {(B₂₁ – B^-1₂₁) - (B₂₃ – B^-1₂₃) } =

= {(B₁₃ – B^-1₁₃) - (B₁₂ – B^-1₁₂) }. (16.19)

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 91011 Следующая ⇒