Теоремы о сочетании элементов симметрии

В кристаллах и симметричных многогранниках могут встречаться несколько элементов симметрии. Некоторые элементы симметрии могут сочетаться друг с другом. Последовательные преобразования относительно двух сочетающихся элементов симметрии может быть заменено третьим эквивалентным преобразованием. Не все элементы симметрии сочетаются. Возможные сочетания строго регламентируются теоремами о сочетании элементов симметрии.

Теорема 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии L_n, причем угол поворота вокруг этой оси вдвое больше угла поворота между плоскостями.

 

Рис. 4.1. К теоремам 1 и 1а

 

Доказательство этой теоремы вытекает из подобия треугольников DАКО и DА¢ КО (см. рис. 4.1), а также DА¢ ОР и DА¢ ¢ ОР. Если угол разориентировки двух плоскостей симметрии (К и Р) равен a, то два последовательных отражения в этих плоскостях можно заменить поворотом относительно линии пересечения этих плоскостей; причем угол поворота составит 2a.

Теорема 1а. Поворот относительно оси симметрии на угол a эквивалентен двум последовательным отражениям в плоскостях симметрии, которые проходят вдоль данной оси; причем угол разориентировки плоскостей равен a/2.

Теорема 2. Точка пересечения четной оси симметрии с плоскостью симметрии есть центр инверсии.

Доказательство приведено на рисунке 4.2.

 

Рис. 4.2. К теоремам 2, 2а, 2б

 

Теорема 2а. Если есть ось симметрии четного порядка и на ней центр симметрии, то перпендикулярно этой оси проходит плоскость симметрии.

Теорема 2б. Если есть плоскость симметрии и на ней центр инверсии, то через этот центр перпендикулярно плоскости проходит ось симметрии четного порядка.

Теорема 3. Если есть ось симметрии n-го порядка (L_n) и ей перпендикулярна ось 2-го порядка, то всего оси L_n перпендикулярно n осей 2-го порядка.

Доказательство приведено на рисунке 4.3.

 

Рис. 4.3. К теореме 3

Теорема 4. Если есть ось симметрии n-го порядка (L_n) и вдоль нее проходит плоскость симметрии, то имеется n таких плоскостей.

Доказательство приведено на рисунке 4.4.

Рис. 4.4. К теореме 4.

 

Теорема 5 (теорема Эйлера).

Взаимодействие двух осей n-го порядка, поворотных или инверсионных, приводит к возникновению проходящей через точку их пересечения третьей оси симметрии с элементарным углом поворота, вдвое превышающим угол между исходными осями. При этом результирующая ось окажется поворотной, если исходными являются две одинаковые оси (обе поворотные или обе инверсионные), и инверсионной, если порождающие оси разные.

Доказательство приведено на рисунке 4.5.

 

Рис. 4.5. К теореме 5.

 

Пусть через направления A и B проходят оси симметрии с углами поворота α и β соответственно. Рассмотрим последовательное действие этих элементов симметрии на объект Х. Поворот объекта Х в оси симметрии А на угол α приведет к формированию объекта Х^’, при этом ориентация системы координат объекта должна сохраниться. Поворот объекта Х^’ в оси симметрии B на угол β приведет к формированию объекта Х^’’. Ориентация системы координат объекта Х^’’ соответствует ориентации систем координат объектов Х^’ и Х, поскольку повороты – преобразования первого рода. Таким образом, объекты Х^’ и Х^’’ эквивалентны, их системы координат одинаково ориентированы, поэтому должен быть поворот, производящий объект Х непосредственно в объект Х^’’.

Для того, чтобы определить положение оси поворота, проведем l. плоскость через оси A и B; 2. две плоскости через ось A, отстоящие от плоскости AB на угол α /2; 3. две плоскости через ось B, отстоящие от плоскости AB на угол β /2.

Результат построения показан на рисунке 4.5. Точки пересечения дополнительных плоскостей, проходящих через точки A и B обозначены C и C^’. Очевидно, по построению треугольник ABC точно равен треугольнику ABC^’.

Рассмотрим последовательный поворот точки C в осях A и B. При повороте в оси A на угол α против часовой стрелки направление C переходит в направление C^’. При повороте B в оси на угол β против часовой стрелки направление C^’ переходит в направление C. Таким образом, направление C остается неизменным при выполнении последовательных операций поворота в осях A и B. Это означает, что ось симметрии, эквивалентная поворотам в осях A и B проходит через направление C.

Из теоремы Эйлера можно определить все возможные комбинации взаимодействующих осей. Действительно, так как сумма углов сферического треугольника > 180°, то

(4.8)

Поэтому могут сосуществовать только следующие типы осей: 2, 2, 2; 3, 2, 2; 4, 2, 2; 6, 2, 2; 3, 3, 2; 2, 3, 3; 2, 3, 4.

 

Рис. 4.6. Сочетания осей симметрии разного порядка.

Теорема 6. Плоскость, проходящая вдоль четной инверсионной оси, приводит к появлению оси 2-го порядка, перпендикулярной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями.

Доказательство приведено на рисунке 4.7.

Рис. 4.7. К теореме 6.

 

В кристаллах встречаются четные инверсионные оси и . Их необходимо рассматривать как соответствующие оси 2-го и 3-го порядков. Вдоль них проходят две или три плоскостей симметрии (согласно теореме 4).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. А. Расчёт железобетонных элементов по первой группе
2. Анализ состояния оборудования, эффективности работы элементов технологической схемы
3. Анализ уровней элементов системы коммерческой логистики
4. Арт-терапевтические шкалы формальных элементов.
5. В ЗАДАННОМ БАЗИСЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
6. Величины заряда ядра атомов этих элементов.
7. Виды симметрии периодических негармонических сигналов. Спектр негармонического периодического процесса
8. Внутренняя среда организации: характеристика ее элементов
9. Выпадение каких-то элементов цепочки в процессе разработки порождает трудности, возникающие при внедрении технологий.
10. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
11. Государственная служба в Российской Федерации: цели, задачи, система, взаимосвязь и функции элементов
12. Графическое представление основных элементов чертежей