Числовые характеристики ДСВ.

К числовым характеристикам случайной величины относят: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Пусть ДСВ задана законом распределения:

			…
			…

 

Математическим ожиданием ДСВ называют сумму произведений возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности.

Обозначают: М(х), то есть

Рассмотрим основные свойства математического ожидания.

Теорема 11 (математическое ожидание постоянной):

математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е. если C - постоянная, то M(С) = C.

Теорема 12 (математическое ожидание произведения случайной величины и постоянной): постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания, т.е. М(С·Х)=С·М(Х), если Х - случайная величина, а С - постоянная.

По первым двум свойствам математического ожидания можно вычислить данную характеристику для любой линейной функции от случайной величины, в частности, если М(Х)=m, то М(аХ+b)=am+b.

Пример 29. ДСВ задана законом распределения:

	0, 1	0, 6	0, 3

Найти математическое ожидание.

Заметим, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений, то есть возможные значения случайной величины располагаются на числовой оси слева и справа от математического ожидания, поэтому его называют центром распределения. Величину Х-М(х) называют отклонением случайной величины от ее математического ожидания.

Дисперсией (рассеянием) ДСВ называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Обозначают: Д(х), тогда

Если ДСВ задана законом распределения

			…
			…

то можно составить закон распределения для отклонения:

			…
			…

Можно составить закон распределения для квадрата отклонения

			…
			…

И тогда дисперсия будет равна:

Заметим, что дисперсия показывает как возможные значения случайной величины располагаются вокруг ее математического ожидания.

Существует теорема, упрощающая вычисление дисперсии.

Теорема 13. Дисперсия ДСВ равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадрата ее математического ожидания:

Свойства дисперсии следуют из определения дисперсии и свойств математического ожидания.

Теорема 14 (знак дисперсии): Дисперсия любой случайной величины неотрицательна.

Действительно, если Х - дискретна, то

Все слагаемые в сумме неотрицательны, следовательно Теорема (дисперсия постоянной): Дисперсия постоянной равна нулю.

Теорема 15 (дисперсия произведения случайной и постоянной величин):

Дисперсия произведения случайной величины Х на постоянную C равна произведению дисперсии случайной величины Х на квадрат постоянной: D(CX) = С²D(Х).

В самом деле,

Теорема 16 (дисперсия суммы случайной и постоянной величин):

Дисперсия случайной величины Х не изменится, если к случайной величине прибавить постоянную, т.е. D(C+X)=D(X)

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины, в то время как математическое ожидание имеет размерность самой случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадаете размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученную величину называют среднеквадратическим отклонением случайной величины X. Среднеквадратическое отклонение обозначают . То есть

Из свойств дисперсий вытекают соответствующие свойства среднеквадратического отклонения:

1) Среднеквадратическое отклонение любой случайной величины неотрицательно;

2) Среднеквадратическое отклонение равно нулю тогда и только тогда, когда величина Х - постоянна.

В математической модели случайная величина описывает те или иные параметры изучаемого случайного явления. Числовые значения исходных параметров зависят от выбора масштаба его измерения (например, рубли, тысячи рублей, миллионы рублей). При этом числовые характеристики случайной величины зависят от выбора масштаба измерения исходного параметра.

Пример 30. Дискретная СВ задана законом распределения. Найти ее дисперсию двумя способами:

1) по определению;

2) по теореме.

 

	-2
	0, 1	0, 5	0, 2	0, 2

Составим закон распределения для СВ Х², для этого возможные значения СВ возведем в квадрат, вероятности остаются прежними.

 

	0, 5	0, 2	0, 3

 

Тогда и ;

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
2. Что означают числовые коэффициенты ограничений по обеспечению питательными элементами в модели оптимизации рациона?