Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 16Следующая ⇒

Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий h₁, h₂,..., hn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

В этом случае вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе: Р(А|Н_i).

Последнюю формулу называют формулой полной вероятности.

Докажем ее.

Так как гипотезы H₁, H₂,..., Hn образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез: A=A·H₁+A·H₂+...+A·Hn.

Так как гипотезы H₁, H₂,..., Hn несовместны, то и события также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим: .

Применяя к событиюА·Н_i теорему умножения, получим: , что и требовалось доказать.

Пример 25. Имеются три одинаковых на вид урны; в первой урне 2 белых и 1 черный шар; во второй - 3 белых и 1 черный; в третьей - 2 белых и 2 черных шара. Некто выбирает наудачу одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.

Решение. Рассмотрим 3 гипотезы:

Н₁ - выбор первой урны;

H₂ - выбор второй урны;

H₃ - выбор третьей урны;

и событие А - появление белого шара.

Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможны, то Р(Н₁)=Р(Н₂)=Р(Н₃)= .

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны р(а|н₁)= ; Р(А|Н₂)= ; Р(А|Н₃)= .

По формуле полной вероятности .

Пример 26. Пластмассовые изделия изготовляются на трех прессах. Первый пресс вырабатывает 50% всех изделий, второй - 30% и третий - 20%. При этом первый пресс дает 0, 025% брака, второй -0, 02% брака, третий - 0, 015%.

Найти вероятность того, что наудачу взятая со склада болванка соответствует стандарту.

Решение. Обозначим:

Н₁ - появление изделия с I пресса;

H₂ - появление изделия со II пресса;

H₃ - появление изделия с III пресса;

А - соответствие изделия стандарту.

Имеем Р(Н₁)=0, 5; Р(Н₂)=0, 3; Р(Н₃)=0, 2.

Для отдельных прессов имеем следующие условные вероятности выпуска стандартных изделий:

P(A|H₁)=0, 975; P(A|H₂)=0, 98; P(A|H₃)=0, 985.

Отсюда Р(А)=0, 5·0, 975+0, 3·0, 98+0, 2·0, 985=0, 9785.

Формула Бейеса

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Бейеса, названная по имени установившего ее в 1763 году Т. Бейеса.

Пусть имеется полная группа несовместных событий - гипотез Н₁, H₂, ..., Нn. Вероятности этих гипотез до проведения опыта известны и равны соответственно Р(Н₁), P(H₂), .... Р(Нn). Эти вероятности называют априорными (или вероятностями a priori). Произведен опыт, в результате которого произошло некоторое событие А. Требуется пересчитать вероятности гипотез в связи с появлением этого события, т.е. вычислить условную вероятность Р(Н_i|А) для каждой гипотезы. Условные вероятности гипотез после проведения опыта и реализации события А называют апостериорными (или вероятностями a posteriori). По теореме умножения имеем:

Р(А·Н_i)=Р(А|Н_i)·Р(Н_i)=Р(Н_i|А)·Р(А) для , откуда Р(Н_i|А)= для .

Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности, имеем

для .

Последняя формула носит название формулы Бейеса. Это формула для вычисления апостериорных вероятностей через априорные.

Пример 27. На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 20% изделий от всего объема их производства, на второй - 30%, на третьей, - 50%. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами брака: 5%, 2%, 3%. Наугад взятое изделие оказалось бракованным, требуется определить вероятность того, что оно сделано на первой линии.

Решение. Обозначим Н₁, H₂, H₃ события, состоящие в том, что наугад взятое изделие произведено на первой, второй и третьей линиях.

Согласно условиям задачи Р(Н₁)=0, 2; Р(Н₂)=0, 3; Р(Н₃)=0, 5.

Обозначим А - событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным.

По условиям задачи Р(А|Н₁)=0, 05; Р(А|Н₂)=0, 02; Р(А|Н₃)=0, 03.

По формуле Бейеса имеем

Дискретная случайная величина.

Закон распределения.

Величина называется случайной (СВ), если в результате испытания она принимает одно и только одно из возможных значений, наперед не известное и зависящее от ряда причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает конкретные изолированные значения с определенными вероятностями. Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения из некоторого промежутка, конечного или бесконечного.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения можно задать таблицей, графиком и формулой (аналитически).

При табличном способе задания закон распределения выглядит следующим образом:

			…
			…

Заметим, что сумма вероятностей закона распределения равна 1, так как в результате испытания случайная величина принять одно и только одно из событий, образующих полную группу.

График закона распределения называют многоугольником распределения. Для его построения в прямоугольной системе координат откладывают точки , эти точки соединяют отрезками и замыкают на ось Ох.

Пример 28. Написать закон распределения случайной величины X – числа появлений герба при 2-х бросаниях монеты. Построить многоугольник распределения.

Решение.Случайная величина Х – число появлений герба при двух бросаниях монеты может принять одно из трех возможных значений – 0, 1, 2. найдем их вероятности.

(р – решка, г – герб)

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 11 121314 15 16 Следующая ⇒