Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл.

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 16Следующая ⇒

Пусть функция дифференцируема на отрезке . Производная этой функции в некоторой точке отрезка определяется равенством: . Тогда, по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или .

Так как в общем случае , то при постоянном и переменном произведение есть бесконечно малая величина одного порядка с : . Произведение есть всегда величина бесконечно малая более высокого порядка, чем при : .

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых, из которых первое есть так называемая главная часть приращения, линейная относительно .

Дифференциалом функции в точке называется главная часть её приращения, которая равна произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается или : .

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка.

Найдём дифференциал функции . Так как , то , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: и тогда , иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Отсюда следует, что .

Пример 15. Найти дифференциал функции .

Решение. По формуле находим .

Геометрический смысл дифференциала.

Проведем к графику функции в точке касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки (рис.4). На рисунке , . Из прямоугольного треугольника имеем: , т.е. . Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому . По определению дифференциала . Таким образом получаем , т.е. дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение . В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Основные теоремы о дифференциалах. Таблица дифференциалов.

Теорема 19. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяется формулами:

Теорема 20. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточной переменной на дифференциал этой промежуточной переменной.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала. Из таблицы производных основных элементарных функций и определения дифференциала следует таблица дифференциалов.

Таблица дифференциалов.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Как уже известно, приращение функции в точке можно представить в виде , где при , или . Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем , получаем приближенное равенство , причем это равенство тем точнее, чем меньше .

Подставляя в равенство значения и , получим или .

Полученная формула используется для вычислений приближенных значений функций.

Пример 16. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию f(x)=arctg x.

По формуле имеем: , т.е. .

Так как , то при и получаем: .

Задачи для контрольной работы №2.

Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в задания на контрольную работу №2. Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл. 1; если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл.2

Таблица 1

№ варианта	Номера задач для контрольных работ на втором курсе

Таблица 2

№ варианта	Номера задач для контрольных работ на втором курсе

161 - 180. Найти общее решение дифференциального уравнения.

161. 162.

163. 164.

165. 166.

167. 168.

169. 170.

171. 172.

173. 174.

175. 176.

177. 178.

179. 180.

В задачах 181 - 200 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

181. у΄ ΄ - е^уу΄ = 0, у(0) = 0, у΄ (0) = 1.

182. у΄ у΄ ΄ = 2у, у(0) = 0, у΄ (0) = 0.

183. уу΄ ΄ = (у΄ )², у(0) = 1, у΄ (0) = 3.

184. у³у΄ ΄ = 3, у(1) = 1, у΄ (1) = 1.

185. у΄ ΄ -12у²= 0, у(0) =1/2, у΄ (0) = 1.

186. 2у΄ ΄ =е^4у, у(0) = 0, у΄ (0) = ½.

187. (у – 2)у΄ ΄ = 2(у΄ )², у(0) = 3, у΄ (0) = 1.

188. 2уу΄ ΄ = 3 + (у΄ )², у(1) = 1, у΄ (1) = 1.

189. у΄ ΄ = у(2) = 0, у΄ (2) = 2.

190. (у + 1)²у΄ ΄ = (у΄ )³, у΄ (0) = 1.

191.

192.

193.

194.

195.

196.

197.

198.

199.

200.

201 - 220. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям у(0)=у₀,

201.

202.

203.

204.

205.

206.

207.

208.

209.

210.

211. y΄ ΄ -2y΄ -8y=16x²+2, y(0)=0, y΄ (0)=5.

212. y΄ ΄ +4y=3cos x, y(0)=1, y΄ (0)=2.

213. y΄ ΄ -y΄ -2y=3e²^x, y(0)=2, y΄ (0)=5.

214. y΄ ΄ -2y΄ =2x+1, y(0)=1, y΄ (0)=1.

215. y΄ ΄ -2y΄ +y=9e^-2^x+2x-4, y(0)=1, y΄ (0)=1.

216. y΄ ΄ -4y=4sin 2x, y(0)=2, y΄ (0)=7.

217. y΄ ΄ +y΄ =3cos x – sin x, y(0)=0, y΄ (0)=1.

218. y΄ ΄ -y΄ -6y=6x²-4x-3, y(0)=3, y΄ (0)=5.

219. y΄ ΄ -3y΄ =3e^3x, y(0)=2, y΄ (0)=4.

220. y΄ ΄ -4y΄ +5y=5x – 4, y(0)=0, y΄ (0)=3.

221. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и .

222. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x = acos t, y = bsint.

223. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x = 4cos³t, y = 4sin³t.

224. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой , х = 4 и осью Ох.

225. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной гиперболой у = 6/х, осью Оу и прямыми у = 1 и у = 6.

226. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса

х = аcost, y = bsint.

227. Найти длину дуги кривой от х₁= 0 до х₂= 12.

228. Найти длину дуги кривой у = lnx от х₁= ¾ до х₂= 2, 4.

229. Найти длину одной арки циклоиды х = а(t - sint), y = a(1-cost).

230. Найти длину кардиоиды r = 2a(1-cosφ ).

231 – 240. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

231.

232.

233.

234.

235.

236.

237.

238.

239.

240.

241 - 260. Исследовать сходимость числового ряда.

241. 242.

243. 244.

245. 246.

247. 248.

249. 250.

251. . 252. .

253. . 254. .

255. 256. .

257. . 258. .

259. . 260.

261 - 280. Найти интервал сходимости степенного ряда.

261. 262.

263. 264.

265. 266.

267. 268.

269. 270.

271. . 272. .

273. . 274. .

275. . 276. .

277. . 278. .

279. . 280. .

281 - 300. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0, 001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.

281. 282

283. 284.

285. 286.

287. 288.

289. 290.

291. . 292. .

293. . 294. .

295. . 296. .

297. 298. .

299. . 300. .

301. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент знает все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.

302. В каждой из двух урн находятся 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили неудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.

303. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях производили по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0, 9, вторым – 0, 8, третьим – 0, 7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадает в цель; б) только два стрелка попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.

304. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0, 8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.

305. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0, 9, второе – 0, 95, третье – 0, 85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устойство; б) только два устройства; в) все три устройства.

306. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0, 02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

307. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, наудачу взятых из этой партии, ровно три окажутся дефектными.

308. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0, 8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.

309. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0, 7, если она изготовлена на первом станке, 0, 8, - если на втором станке, и 0, 9, - если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

310. Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.

311. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что в данный момент включен равна 0, 8. Найти вероятность того, что в данный момент:

а) включено 4 мотора;

б) выключены все моторы;

в) включены все моторы;

г) включен хотя бы один мотор.

312. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет:

а) 3 раза;

б) не менее 3-х раз;

в) не более 3-х раз;

г) хотя бы 1 раз.

313. Для прядения смешивают поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность того, что среди 5 случайно выбранных волокон обнаружится:

а) ровно 2 окрашенных;

б) менее 2 окрашенных;

в) более 2 окрашенных;

г) хотя бы 4 окрашенных.

314. Средний процент нарушения кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 10 наблюдаемых телевизоров гарантийный срок выдержат:

а) 8 телевизоров;

б) не менее 8 телевизоров;

в) хотя бы 1 телевизор.

315. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней дождливыми окажутся:

а) ровно 3 дня;

б) не более 3-х дней;

в) хотя бы 1 день.

316. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0, 001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.

317. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0, 01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят:

а) 5 абонентов;

б) хотя бы 1 абонент.

318. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0, 004. Какова вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на:

а) 5 веретенах;

б) не менее, чем на 1 веретене.

319. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не более 2-х.

320. Семена пшеницы содержат 0, 3% сорняков. Найти вероятность того, что в 1000 семян будет:

а) ровно 5;

б) хотя бы 2 сорняка.

321 - 340. Задан закон распределения случайной величины X – размер деталей, выпускаемых заводом ( в первой строке таблицы даны возможные значения измеренной детали, а во второй строке указаны вероятности p этих возможных значений).

Найти: 1) математическое ожидание M(X); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение .

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒