Наибольшее и наименьшее значение функции.

Наибольшим значением функции называется самое большее, наименьшим значением – самое меньшее из всех ее значений.

Функция может иметь только одно наибольшее и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основывается на следующих свойствах этих функций:

1) Если в некотором интервале (конечном или бесконечном) функция y=f(x) непрерывна и имеет только один экстремум и если это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наименьшим) значением функции в этом интервале.

2) Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [a, b], то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ее или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на границах этого отрезка.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых =0 или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее f_наиби наименьшее f_наим.

При решении прикладных задач, в частности оптимизационных, важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений (глобального максимума и глобального минимума) функции на промежутке Х. Для решения таких задач следует, исходя из условия, выбрать независимую переменную и выразить исследуемую величину через эту переменную. Затем найти искомое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом интервал изменения независимой переменной, который может быть конечным или бесконечным, также определяется из условия задачи.

Пример 13. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 л. воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом будут наименьшими, если при данной вместимости его поверхность будет минимальной. Обозначим через а_дм – сторону основания, b_дм – высоту резервуара. Тогда площадь S его поверхности равна а объем Отсюда и Полученное соотношение устанавливает зависимость между площадью поверхности резервуара S (функция) и стороной основания а (аргумент). Исследуем функцию S на экстремум. Найдем первую производную , приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение: Отсюда а = 6. (а) > 0 при а > 6, (а) < 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Пример 14. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение.

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=±2, т.е. область определения функции D(y) = (-∞; -2)U(-2; 2)U(2; +∞ ).

2. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств для любых х и –х из области определения функции:

a) Если f(-x) = f(x), тогда f(x) - функция четная, т. е. ее график симметричен относительно оси Оу;

b) Если f(-x) = -f(x), тогда f(x) - функция нечетная, т. е. ее график симметричен относительно начала координат т. О(0; 0).

Итак, , следовательно, данная функция является нечетной.

3. Для нахождения точек пересечения графика функции с осью Ох полагаем у=0; с осью Оу — х=0.

х=0; у=0.

у=0,

Т.е., график функции пересекает систему координат в т. О(0; 0).

4. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения D(у).Найдем односторонние пределы функции в указанных точках:

Т.о., в точках х=±2 функция имеет разрыв второго рода и прямых х = -2 и х = 2 – вертикальные асимптоты графика функции.

5. Найдем наклонные асимптоты у=kx+b, где

Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение у = х.

6. Найдем производную данной функции

7. Найдем критические точки:

х₁=0; х²=12, х₂=

х₂= .

х²≠ 4, х≠ ±2 –не входят в область определения функции D(y), значит, экстремума в этих точках быть не может.

Разобьем числовую ось на 5 интервалов, составим таблицу и определим знак первой производной в каждом интервале.

х	(-∞; -2	-2	(-2 ; -2)	(-2; 2)	(2; 2	2	(2 ; +∞ )
у'(x)	+		-	-	-		+
у(x)	возрастает	-3	убывает	убывает	убывает	3	возрастает
		max				min

При переходе через точку х = -2 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум: у_max = у(-2 )= -3 .

Значит, А(-2 ; -3 ) - точка максимума.

При переходе через точку х = -2 первая производная меняет свои знаки с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: у_min = у(2 )= 3 . Значит, В(2 ; 3 ) - точка минимума.

8. Найдем вторую производную:

y''=0 при х=0 и y'' – не существует при х=±2; которые не входят в область определения функции. Составим таблицу, разбив числовую ось на интервалы и определим знак второй производной в каждом из них:

х	(-∞; -2)	(-2; 0)	(0; 2)	(2; +∞ )
y''(х)	-	+	-	+
у(х)	∩	U	∩	U

На интервалах (-∞; -2) и (0; 2) y''< 0 и дуга кривой выпукла; на интервалах (-2; 0) и (2; +∞ ), y''> 0 и тем самым график является вогнутым. При переходе через точку х=0 y'' меняет свой знак, поэтому х=0 - абсцисса точки перегиба. Следовательно, С(0; 0) – точка перегиба графика функции. График исследуемой функции показан на рисунке 5.

Рисунок 5. График функции

Дополнительные точки для построения графика:

х	-3	-5	-1	-1, 5
у	-5, 4	-5, 6		-2

Дифференциал функции.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒