Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Сумма событий. Теоремы о вероятности суммы событий.

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В, называют суммой (или объединением) событий А и В иобозначают А + В.

Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называют разностью событий А и В и обозначают А – В.

Событие называют противоположным событию А, если событие А не происходит (т.е. содержит все точки, не содержащиеся в А). Для противоположных событий одновременно выполняются два соотношения: Ø.

Проиллюстрируем введенные понятия при помощи диаграмм Венна.

Пусть опыт состоит в том, что внутри квадрата выбирается наудачу точка. Обозначим через А событие " выбранная точка лежит внутри левой окружности" и через событие В " выбранная точка лежит внутри правой окружности".

События А, , А + В, А • В, А - В, В - А состоят в попадании выбранной точки внутрь областей, заштрихованных на соответствующих фигурах (рис. 4).

Примеры событий и действий над ними.

Рисунок 4. Диаграммы Венна.

События В₁, В₂, ..., В_n образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти в результате опыта, т.е. В₁+В₂+...+В_n= Ω.

Примеры событий, образующих полную группу:

1) выпадение герба и выпадение решетки при бросании монеты;

2) попадание и промах при одном выстреле;

3) появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости;

4) появление белого шара и появление черного шара при вынимании наудачу одного шара из урны, содержащей 3 белых и 4 черных шара;

5) ни одной опечатки, одна, две, три и более трех опечаток при проверке страницы напечатанного текста;

6) ни одного отказа, один, два и более двух отказов технического устройства за 24 часа работы.

Теорема 9. Если события А и В несовместны, то

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема 10 (расширенная теорема сложения). Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий А₁, а₂, ..., т.е. , то

Р(А) = .

Следствие 1 (вероятность противоположного события). Вероятность противоположного события вычисляется как единица минус вероятность исходного события: .

Теорема сложения

Для произвольных событий А и В верно Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(А·В).

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей двух событий без вероятности их пересечения.

Пример 20. Студент озабочен предстоящими экзаменами по английскому языку и истории. По его мнению, вероятность того, что он сдаст английский язык, равна 0, 4; вероятность того, что он сдаст по крайней мере один предмет равна 0, 6; вероятность того, что он сдаст оба предмета, равна 0, 1. Найти вероятность того, что он сдаст экзамен по истории.

Решение. Обозначим: событие А - студент сдаст английский язык; В - студент сдаст историю. Тогда по условию задачи Р(А) = 0, 4; Р(А·В)=0, 1; Р(А+В)=0, 6.

Согласно теореме сложения

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), откуда

Р(В)=Р(А + В) + Р(АВ) - Р(А), т.е.

Р(В)=0, 6+0, 1-0, 4 =0, 3.

Теорему сложения можно обобщить на случай трех событий:

P(A+B+С)=P(A)+P(B)+P(С)-P(A·B)-P(A·C)-P(B·C)+P(A·B·С).

Произведение событий. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называют произведением (или пересечением) событий А и В и обозначают А·В.

Понятие условной вероятности является основным инструментом теории вероятностей.

Вероятность события А в предположении, что уже произошло событие В, называют условной вероятностью события А при условии В и обозначают Р(А|В).

Теорема умножения

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло:

Р(А·В)=Р(А)·Р(В/А)=Р(В)·Р(А|В).

Из теоремы умножения следует формула для вычисления условной вероятности события Р(А|В)= .

Этой формулой можно пользоваться, если Р(В)≠ 0. Если же Р(В)=0 (т.е. событие В - невозможно), то по теореме умножения, Р(А|В)=0 и Р(А·В)=0. Таким образом,

Условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности.

Таким образом, рассмотрение условных вероятностей при одном и том же данном событии В равносильно выбору В в качестве нового пространства элементарных исходов с вероятностями, пропорциональными первоначальным. Коэффициент пропорциональности Р(В) необходим для того, чтобы сделать вероятность нового пространства равной 1. Все основные теоремы о вероятностях остаются справедливыми для условных вероятностей, взятых относительно некоторого фиксированного события В.

Пример 21. Страховую компанию может интересовать частота повреждений, вызванных молнией и приносящих фиксированный ущерб (событие А). Вероятно, эта компания имеет различные категории застрахованных объектов: индустриальные, городские, сельские и т.д. Изучение отдельного ущерба, нанесенного индустриальным объектам, означает исследование события А лишь в связи с событием В, где В - рассматриваемый объект является индустриальным; Р(А/В) - вероятность того, что ущерб причинен индустриальному объекту. Формула для вычисления условной вероятности применима очевидным образом. Однако для страховой компании, специализирующейся на индустриальных объектах, событие В совпадает со всем пространством элементарных исходов и Р(А/В) сводится к Р(А).

Пример 22. Пусть из N человек М_А человек страдает дальтонизмом и Nв являются женщинами. Обозначим через А и В соответственно события, состоящие в том, что случайно выбранный человек страдает дальтонизмом или что он является женщиной. Тогда ; . Рассмотрим множество, состоящее только из женщин. Вероятность того, что лицо, случайно выбранное из этого множества страдает дальтонизмом, равна , где N_АВ – число женщин-дальтоников, т.е. Р(А|В) .

События А и В называют независимыми, если вероятность произведения событий равна произведению соответствующих вероятностей Р(А·В)=Р(А)·Р(В).

Если события А и В независимы, то условная вероятность равна Р(А|В) безусловной Р(А), а условная вероятность Р(В|А) равна безусловной вероятности Р(В).

Понятие независимости событий играет значительную роль в теории вероятностей и ее приложениях. В практических вопросах для определения независимости данных событий редко обращаются к проверке выполнения равенства, данного в определении. Обычно для этого пользуются интуитивными соображениями, основанными на опыте.

Так, например, ясно, что выпадение герба на одной монете не изменяет вероятности появление герба на другой монете, если только эти монеты во время бросания не скреплены между собой. Точно так же рождение мальчика у одной матери не изменяет вероятности появления мальчика у другой матери. Это - независимые события.

События В₁, В₂, ..., B_S называют независимыми в совокупности, если выполнено: P(B_i₁·B_i₂ … B_ir) = P(B_i₁)·P(B_i₂)... P(B_ir).

Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их попарной независимости.

Пример 23. Студент пришел сдавать зачет, зная из 30 вопросов только 20. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на первый вопрос, преподаватель задает еще один?

Решение. Обозначим события:

А - студент сдал зачет;

В - студент ответил на первый вопрос преподавателя;

С - студент ответил на второй вопрос преподавателя.

Ясно, что - т.е. студент сдаст зачет, если либо он ответит на первый вопрос, либо не ответит на первый, но ответит на второй.

По теореме сложения

, но Ø (так как события В и не могут осуществиться одновременно), поэтому .

По условию задачи .

По теореме умножения Р( ·С)=Р(С| )·Р( ).

Далее, Р( )=1–Р(В)= ;

Р(С| ) - вероятность ответить на второй вопрос при условии, что студент не ответил на первый.

Р(С| )= , так как осталось 29 вопросов, из них студент знает 20.

Таким образом, .

Пример 24. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0, 8, а вторым 0, 7. Стрелки делают по одному выстрелу по цели одновременно. Определить вероятность того, что цель будет поражена, если стрелки стреляют независимо друг от друга.

Решение. Обозначим события:

А₁ - цель поражена первым стрелком;

А₂ — цель поражена вторым стрелком;

А - цель поражена.

Ясно, что А=А₁+А₂.

По теореме сложения

Р(А)=Р(А₁+А₂)=Р(А₁)+Р(А₂)–Р(А₁·А₂). По условию задачи Р(А₁)=0, 8; Р(А₂)=0, 7. Так как события А₁ и А₂ независимы, то по теореме умножения P(A₁·A₂)=P(A₁)·P(A₂).

Таким образом, P(A)=P(A₁)+P(A₂)–P(A₁)·P(A₂)=0, 8+0, 7–0, 8·0, 7=0, 94.

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 111213 14 15 16 Следующая ⇒