Математическая обработка измерений. Гаусс

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 33Следующая ⇒

К концу XVIII века экспериментальная основа естествознания всё более расширялась. Эксперименты проводились во всех естественнонаучных направлениях.

При проведении экспериментов с большим числом измерений особое значение имеют методы обработки результатов этих измерений. Такие методы обработки необходимы, в частности, при проведении геодезических работ - при измерении расстояний, углов, превышений. Результат измерений непременно содержит ошибку, являющуюся следствием весьма многих факторов, среди которых несовершенство измерительной аппаратуры, имеющей ограничения по точности, ошибки наблюдения, ошибки, лежащие в основе применяемого метода измерений и другие. Ошибки измерений исследуются методами теории вероятностей. Первая попытка подвергнуть вероятностному анализу погрешности физических измерений принадлежит Галилею. Задачи вероятностного характера решали Ферма, Паскаль, Гюйгенс, Декарт. Теория вероятностей развивалась в связи с азартными играми, решением задач, связанных со страхованием, демографией, теорией стрельбы. Однако, качественно новое значение теория погрешностей (ошибок) измерений получила на основе решения главным образом астрономических и геодезических задач. Наиболее эффективный метод обработки результатов измерений – способ наименьших квадратов был разработан немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 – 1855). Этот метод лёг в основу теории математической обработки результатов измерений, полученных при проведении различных физических экспериментов.

Карл Гаусс родился в бедной семье в маленьком доме в Брауншвейге. Отец Гаусса был фонтанным мастером, но занимался и другими ремёслами. С самого раннего детства Карл поражал своих домашних феноменальными способностями к счёту. Гаусс впоследствии в кругу друзей часто говаривал в шутку, что умел считать раньше, чем говорить. Биографы Гаусса описывают такой забавный случай. В числе других своих занятий отец Гаусса в летнее время брался за выполнение каменщицких работ. Для этого он нанимал рабочих и каждую субботу аккуратно рассчитывался с ними. Расчёт был сложен, поскольку за внеурочную работу в дни отдыха причиталась дополнительная оплата. В один из субботних вечеров, когда предстояла выплата причитавшихся рабочим денег, отец Гаусса, готовый приступить к выплате, вдруг услышал возглас трёхлетнего Карла: " Отец, счёт неверен, должно быть столько-то", и мальчик назвал сумму. Оказалось, что Карл, уже уложенный для сна в постель, вместо того, чтобы спать, следил за вычислениями отца и проверял расчёты. После проверки вычислений изумлённый отец действительно обнаружил ошибку, и число, названное Карлом, оказалось верным.

В 1784 году семилетний Гаусс поступил в Екатерининскую народную школу. Там он сразу же стал выделяться своими математическими способностями. На него обратили внимание высокопоставленные лица в Брауншвейге.

В 1788 году Гаусс перешел в гимназию, сразу во второй класс. Внимание и материальная поддержка герцога Брауншвейгского Карла Вильгельма Фердинанда позволили Гауссу в 1792 году поступить в Каролинскую Коллегию, а затем в 1795 году в Геттингенский университет. К этому времени Гаусс уже был знаком с творениями Эйлера и Лагранжа и ревностно занимался собственными математическими исследованиями. Именно в Геттингене в 1795 году он открыл способ (метод) наименьших квадратов. Гауссу в то время было восемнадцать лет! С этого времени жизнь Гаусса была посвящена математике и естествознанию. Гаусс закончил занятия в университете в 1798 году. К этому времени он закончил свои замечательные работы по теории чисел и начал работу над " Арифметическими исследованиями", вышедшими в свет в 1801 году при содействии герцога Брауншвейгского. Гаусс первую свою книгу ставил очень высоко. В ней проложены новые пути в самых различных разделах математики, а также в теоретической и практической астрономии.

В 1799 году Гаусс представил философскому факультету Гельмтедтского университета учёную " Записку", на основании которой ему была присвоена докторская степень (заочно). К концу девяностых годов Гауссом была расширена область применения способа наименьших квадратов, разработан новый аналитический метод вычисления Пасхи, применяемый сначала только к Юлианскому и Григорианскому календарям, а в последствии и к еврейскому календарю.

К этому времени имя Гаусса уже было широко известно в учёном мире Европы. Русское правительство вело переговоры о поступлении Гаусса на службу в Петербургскую обсерваторию, однако, эти переговоры не имели успеха.

Практическая астрономия всегда интересовала Гаусса. Большое научное значение получили его исследования по определению орбиты открытой в 1801 г. планеты Церера. Поначалу открытое светило посчитали кометой. Когда же открывший Цереру астроном Пиацци изменил своё мнение и высказал предположение, что это планета, светило было потеряно астрономами. Чтобы сделать " вторичное открытие" новой планеты более достижимым, астрономы должны были обратиться к вычислению её орбиты, располагая лишь небольшим количеством наблюдений, проведённых Пиацци. Гауссу удалось вычислить параметры орбиты Цереры, по которым она была, как бы вторично, открыта. Вскоре была открыта ещё одна малая планета, названная Палладой, орбиту которой вычислил Гаусс.

Летом 1807 г. Гаусс принял предложение занять место директора обсерватории Геттингенского университета и на всю свою жизнь свёл свою судьбу с этим университетом.

В первые годы пребывания в Геттингенском университете главным предметом занятий Гаусса было сочинение " Теория движения небесных тел по коническим сечениям, окружающим Солнце", в котором излагались методы вычисления орбит планет и комет, более совершенные, чем методы Ньютона и Эйлера. В этом же сочинение Гаусс впервые дал своё изложение оснований способа наименьших квадратов, которым он владел, как уже отмечалось, с1795 г. Несомненно, что к методу наименьших квадратов Гаусса привела практическая потребность обработки измерений таким образом, чтобы они приводили к наилучшей точности. Необходимо отметить, что к способу наименьших квадратов независимо от Гаусса пришел французский математик Лежандр, но приоритет признан за Гауссом.

В 1818-1832 гг. большое место в жизни Гаусса занимали геодезические исследования Ганноверского королевства. Экономическое и военное значение карт в начале XIX века существенно возросло, поэтому геодезические работы хорошо финансировались. Основная методика геодезических съёмок (триангуляции) была по сути своей проста. Начинающаяся с некоторой основной линии точно определённой длины, территория, подлежащая геодезической съёмке, покрывалась сетью треугольников. Стороны этих треугольников определялись пределами видимости, то есть всегда должны были быть в этих пределах. Координаты точек на местности вычислялись путём решения треугольников, при этом каждая " точка", координаты которой определялись, должна быть видна с двух направлений, а ещё лучше более чем с двух. Для контроля измерялись углы сравнительно больших треугольников, охватывающих малые. Такая работа требовала огромного числа измерений и предполагала большой объём вычислений. После 1815 г. практически все страны центральной Европы предприняли геодезические съёмки. Гаусс, уже имевший опыт геодезических съёмок, составил меморандум для своего правительства, в котором описал проект съёмок. Вскоре последовал положительный ответ, и Гаусс стал директором проекта. Специфика топографии Ганновера создала дополнительные трудности для съёмок. Плоская местность Ганноверского королевства была покрыта лесами. Необходимых для проведения измерений просек не хватало. Для облегчения измерений Гаусс придумал специальный прибор – гелиотроп, который стал любимым изобретением Гаусса. В этом приборе использовались подвижные небольшие зеркала, отражавшие рассеянный солнечный свет и передававшие его в виде узкого луча с одного пункта наблюдений на другой. Гелиотропы позволяли просматривать гораздо большие расстояния и работать при пасмурной погоде. Интересно отметить, что Гаусс считал гелиотроп подходящим средством связи между землянами и населением других планет. Гаусс всерьёз рассматривал такой вопрос, считая возможным существование цивилизаций на планетах и Солнце.

При проведении Ганноверской триангуляции Гаусс широко использовал метод наименьших квадратов, наиболее зрелое изложение, которого дано им в работе " Теория комбинаций наблюдений, подверженных наименьшим ошибкам", часть I (1821 г.) и часть II (1823 г.).

Остановимся вкратце на несколько необычном названии метода обработки измерений – " способ наименьших квадратов".

Известно, что если произведено несколько измерений одной и той же величины, то за значение измеряемой величины часто принимают арифметическую средину. Это правило оправдывается тем важным обстоятельством, что сумме квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины меньше, чем сумма квадратов уклонений тех же измерений от всякой другой, произвольно взятой величины. Вот почему сам способ вывода арифметической средины и все его следствия, имеющие колоссальное значение в методах обработки результатов измерений, называются способом наименьших квадратов.

В рамках способа наименьших квадратов Гауссом была выведена функция распределения вероятности ошибок измерений, носящая название " гауссовское распределение". Эта функция имеет фундаментальное значение и используется для описания случайных процессов в самых различных их проявлениях – в измерительной технике, при описании помех и сигналов в системах передачи информации, при расчёте вероятностей тех или иных событий и во многих других случаях.

Работы Гаусса по математической обработке результатов измерений привели геодезию в самую тесную связь с астрономией, позволили распространить методы вычислений, использовавшиеся традиционно в землемерии, на решение разнообразных измерительных задач.

Метод наименьших квадратов стал для Гаусса не только теоретическим средством в экспериментальных исследованиях. Гаусс всё больше придавал ему мировоззренческий характер, считал метод наименьших квадратов самым надёжным свидетельством связи математики с природой. Гаусс пришёл к убеждению, что любое природное явление можно исследовать математическими методами, что степень математизации естественных наук указывает на меру понимания законов природы. Кроме метода наименьших квадратов, Гаусс считал важнейшими для понимания природы теорию потенциала, включая закон Кулона, вариационное исчисление, экстремальные принципы, теорию чисел.

Ганноверская триангуляция привела Гаусса к двум крупным теоретическим работам, а именно: " Определение разности широт между обсерваториями Геттингена и Альтона из наблюдений с зенитным сектором Рамсдена" (1828 г.) и " Исследования по высшей геодезии", часть I (1843 г.) и часть II (1846 г.). Обе эти работы оказали огромное влияние на развитие геодезии и картографии.

В работе " Определение разности широт … " развит метод наименьших квадратов применительно к определению сжатия земной поверхности. В первой части " Исследований … " рассмотрен частный случай отображения эллипсоида на сферу. Одним из направлений высшей геодезии является задача отображения неплоских поверхностей на плоскость. Разработанный Гауссом математический метод позволяет применить в геодезии обычную сферическую тригонометрию.

Дифференциальная геометрия, в рамках которой решаются задачи отображения поверхностей, развивалась одновременно с интегральным и дифференциальным исчислением. Основы дифференциальной геометрии были заложены Эйлером и Лежандром. Гаусс активно включился в решение одной из важнейших проблем картографии – поиск наилучшей проекции Земли на плоскость. Для отображения сферы (глобуса) на поверхность проблема была в общем виде решена Ламбертом. В своём труде " Решение в общем виде задачи: изображение частей заданной поверхности на другой заданной поверхности с сохранением подобия в бесконечно малых частях", представленном на конкурс Датской академии наук, Гаусс выводит общий критерий конформности для отображений из произвольных областей в произвольные. По формулировке самого Гаусса задача состояла в том, чтобы " образ был похож на оригинал в своих мельчайших частях".

Геодезическая деятельность Гаусса постоянно пробуждала его интерес к основам геометрии, в частности к постулату Евклида о параллельных прямых. Гаусс был убеждён в возможности построения неевклидовой геометрии, но всю свою жизнь помалкивал о своих убеждениях, считая дискуссии по этому вопросу пустой тратой времени.

Первое математически корректное изложение свойств неевклидовой геометрии было опубликовано в 1831 г. Яношем Больяи. Отец Яноша Больяи был другом Гаусса. В письме к нему от 6 марта 1832 г. Гаусс отмечает, что знает результаты Яноша уже 30-35 лет, и поэтому не может хвалить работу Яноша, потому что " хвалить её значило бы хвалить самого себя" (это замечание не делает чести Гауссу).

Гаусс был одним из первых математиков в Европе, кто понял и оценил исследование Лобачевского по неевклидовой геометрии, опубликованное в брошюре " Геометрическое исследование по теории параллельных линий", вышедшей в Берлине в 1844 г. Именно в связи с идеями Лобачевского Гаусс начал учить русский язык. Его любимым поэтом был Пушкин.

В область физических исследований ввёл Гаусса Вильгельм Вебер, ставший в 1837 г. профессором физики в Геттингенском университете. Вместе с Вебером Гаусс принимает участие в решение конкретных технических и инженерных задач, однако, и здесь Гаусс остаётся верным себе – решение технических задач сопровождается глубокими теоретическими исследованиями. Гаусс развивает " теорию потенциала", усматривая в законе Кулона проявление фундаментального взаимодействия, присущего Природе. Большое внимание Гаусс уделял изучению земного магнетизма. Исследования Гаусса, как и его современников, занимавшихся вопросами земного магнетизма, имело целью составить карту магнитного поля Земли и собрать информацию о локальных, глобальных и временных изменениях этого поля. По инициативе Гаусса в 1833 г. была построена магнитная обсерватория в Геттингене.

Одним из самых знаменитых экспериментальных исследований Гаусса, проведённых совместно с Вебером, стал электромагнитный телеграф. Первый их действующий телеграф был построен в 1838 году. Он имел дальность действия примерно 5000 футов. Гаусс прекрасно понимал практическую значимость телеграфа и предлагал крупномасштабные проекты по его построению, которым, однако, не суждено было свершиться.

Нельзя не упомянуть исследований Гаусса в области оптики. Наиболее значимой в этой области являлась его статья " Диоптрические исследования", вышедшая в 1840 г. В ней он решает задачу сведения многокомпонентной оптической системы к однокомпонентной, то есть задачу " сложения" оптических систем, остающуюся актуальной для расчёта оптических систем и сегодня.

Преподавательскую деятельность Гаусс недолюбливал, но к старости он стал получать удовольствие от общения с аудиторией, от лекций по астрономии и математике, а в особенности по способу наименьших квадратов.

В 1849 году в Геттингене праздновался 50-летний юбилей по поводу получения Гауссом докторской степени. Во время торжества Гауссу были вручены многочисленные знаки признания его заслуг, почётное гражданство, ордена различных государств.

Со времени празднования юбилея прежде напряжённая научная деятельность Гаусса стала постепенно ослабевать. Ухудшилось состояние его здоровья. С января 1855 года Гаусс уже не принимал посетителей. В феврале величайшего математика не стало.

Гаусс видел в математике одно из главнейших средств развития человеческого духа, приравнивая в этом отношении математику к изучению классической литературы. Из древних математиков Гаусс выше всех ставил Архимеда. Больше всего внимания Гаусс уделял такому подходу к математическим исследованиям, при котором был бы возможен контроль за ходом вычислений, поэтому Гаусс старался подчинить вычисления геометрическим толкованиям.

Безграничная любовь Гаусса к математике не мешала ему признавать, что существуют вопросы более высокого свойства. В кругу друзей Гаусс сказал однажды: " Есть вопросы, решению которых я придал бы неизмеримо большее значение, чем решению математических вопросов, это именно вопросы об этике, о наших отношениях к Богу, о нашем назначении и нашей будущности; но это решение для нас недостижимо, как совершенно выходящие из области науки".

Гаусс был глубоко религиозным человеком. Он по-своему обосновал существование загробной жизни, представляя духовную жизнь как великую вселенскую систему права, проникнутую вечной истинной. Окончание жизни после смерти Гаусс считал не совместимым с этой системой права. Он считал так: " Если бы задача Высшего Существа в создании на отдельных небесных телах тварей с исключительной целью заставить их прожить 80 или 90 лет для того только, чтобы приготовить им... наслаждения, то это была бы жалкая задача. Живёт ли душа 80 или 80 миллионов лет, раз она должна погибнуть не важно, так как разница в промежутках времени в том или другом случае составляет, в сущности, незначительную отсрочку. В конце концов, время всё-таки должно пройти. Поэтому поневоле приходишь к взгляду (в пользу которого говорит очень многое другое даже и без строго научной обосновки), что наряду с этим материальным миром существует ещё и другое чисто духовное мироустройство с такими же многоразличиями, как и то, в котором мы живём – к нему-то мы и должны быть сопричислены".

Завершая обзор, посвящённый математизации естествознания, отметим, что аппарат математического анализа, разработанный Ньютоном и Лейбницем, и математические обобщения и развития, сделанные Эйлером, Даламбером, Лагранжем, Лапласом, Гауссом и другими математиками XVIII в., создали методическую основу для исследований в самых различных направлениях естествознания, и, прежде всего, в механике, термодинамике, электродинамике, оптике.

3.2.4. Преобразование Фурье

Загляните в любой учебник для высшей школы по технической специальности. Наряду с интегральными и дифференциальными выражениями вы непременно увидите математические преобразования, в которых используются ряды Фурье или интегралы Фурье. В математике разработан аппарат Фурье – анализа, ставший одним из наиболее распространенных и эффективных инструментов при описании и исследовании самых различных процессов.

Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) родился в семье портного в Оксере (Франция). В восемь лет он остался круглым сиротой, но по ходатайству одной знатной дамы был определен в военную школу, находившуюся в управлении монашеским орденом бенедиктинцев. Увлечение математикой пришло с первых уроков. Жану не было достаточно тех знаний, которые давались на уроках математики и он стал заниматься самостоятельно, часто тайно, по ночам. Несмотря на отличные успехи в школе, желание Фурье стать после окончания школы артиллерийским офицером не было удовлетворено из-за неблагородства происхождения. Другим из двух возможных путей, определяемых выпускникам школы бенедиктинцев, была карьера священника. Фурье был определен в аббатство Сент – Бенуа, но пострижение не состоялось. Шел 1789г. Революционные события застали Фурье в Париже. Здесь он намеревался серьезно заняться математикой и даже представил в Академию наук записку о решении числовых уравнений всех степеней. Но занятия математикой отошли на второй план. Воодушевленный революционными идеями Фурье возвращается в родной Оксер и становится членом Народного собрания. Конец революционной деятельности Фурье был печален - он оказался в тюрьме. После освобождения Фурье вновь едет в Париж и преподает математику в различных школах. Его приглашают возглавить кафедру высшей математики во вновь организованной Политехнической школе. Фурье увлеченно работает, его лекции интересны и даже изящны. Жизнь, казалось, вошла в спокойное русло. Но идея египетского похода, план которого в свое время разработал Лейбниц, увлекает Фурье. Он становится одним из самых знаменитых участников “великого похода” Наполеона (1898 – 1901), возглавляет Египетский институт, в который входит сам Бонапарт. Фурье выполняет дипломатические поручения Наполеона, ведет военные переговоры, занимается организационными вопросами. Не оставляет он и математику.

После возвращения во Францию Фурье становится префектом департамента в Гренобле, занимается строительством горных дорог, осушением болот, каждодневной административной работой. В эти годы бурные события в Европе, будто бы, не касались Фурье. Но наступили “Сто дней” Бонапарта (1815г). Фурье бежит из Гренобля. Наполеон хотя и упрекает его в этом, считая такой поступок предательством, но все же назначает Фурье префектом в Лионе.

Окончательное падение Наполеона лишает Фурье всех его чинов. Однако, опала длится недолго. Уже в 1817г. Фурье избирается членом Французской академии. Начинается последний, наиболее плодотворный в научном отношении период в жизни Фурье. В 1922г. появилась его знаменитая, ставшая классической работа “Аналитическая теория тепла”, в которой Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности (закон Фурье) и разработал методы его интегрирования. В этой работе он использовал разложение функций в тригонометрический ряд, названный впоследствии рядом Фурье. С тех пор в математику вошли ряды Фурье и интегральное преобразование Фурье.

Остановимся хотя бы коротко на физиическом смысле ряда и интегрального преобразования Фурье.

Многие физические процессы в природе имеют периодический характер. Это прежде всего волновые процессы, такие как световые волны, радиосигналы, акустические волны. Эти процессы представляются периодическими функциями, например, в виде зависимости напряжения электрического сигнала от времени. Сама функция может иметь сложный вид, но ее можно представить при определенных условиях суммой синусоид – гармонических колебаний, или как еще говорят гармоник (рис12.). Совокупность гармоник называют спектром периодического сигнала.

Рис.12.Толкование ряда Фурье

Вспомним, что впервые понятие “спектр” появилось в связи с разложением солнечного света на цвета. Но если учесть, что каждый цвет представляет электромагнитные колебания с определенной частотой, то становится очевидной аналогия между этими спектрами. Спектр периодического процесса находится разложением периодической функции в ряд Фурье. Каждый член этого ряда является синусоидой, гармоникой, и в сумме эти синусоиды дают исходную периодическую функцию. Фурье показал как математически разложить исходную функцию в ряд, то есть нашел формулы, по которым в общем виде можно вычислить амплитуду, частоту и фазу каждой гармоники. Зачем же представлять функции рядом Фурье? Вот лишь одна из многих важных причин.

Из разложения в ряд Фурье ясно, какая или какие гармоники вносят наибольший вклад в мощность процесса, каковы параметры этих гармоник. Ряд состоит в общем случае из бесконечного числа гармоник, а разложение показывает, какими гармониками можно пренебречь и учитывать ограниченное их число, а может быть только одну. Описать гармонику математически просто – это синусоида, а сложную периодическую функцию описать бывает значительно сложнее.

Волновой характер имеют, как оказалось, не только физические, но и социальные процессы. Русский советский ученый Александр Леонидович Чижевский связал социальную активность с периодичностью солнечной активности, цикличностью самой природы и человека. Он писал: “Если бы мы попытались графически представить картину многообразия этой цикличности, то получили бы ряд синусоид, накладывающихся одна на другую или пересекающихся одна с другой.… В этом бесконечном числе разной величины подъемов и спусков складывается биение общемирового пульса, великая динамика природы, различные части которой созвучно резонирует одна с другой”. По сути дела это толкование разложения в ряд Фурье того самого “мирового пульса”, о котором пишет ученый.

Математический аппарат Фурье – анализа распространен и на непериодические процессы. С помощью интегрального преобразования Фурье можно найти распределение энергии непериодического процесса по частоте, то есть спектр. В отличает от спектра периодического процесса, где гармоники имеют дискретные частоты, спектр непериодического процесса оказывается непрерывно зависящим от частоты (или длины волны). В этом отношении спектр непериодического процесса имеет еще большее сходство со спектром света, в котором цвета непрерывно переходят один в другой.

Получение спектра непериодического процесса очень наглядно и просто реализуется в оптике. Допустим непериодический процесс, представляемый некоторой функцией S(x), например, линейно возрастающей, записан на фотопластинке, плотность которой изменяется по такому же закону (рис.13.).

Рис.13.Преобразование Фурье, осуществляемое оптической системой

Фотопластинка помещена в переднюю фокальную плоскость объектива. При освещении фотопластинки когерентным излучением на окне, в котором записана изменяющаяся плотность, возникает дифракция. Объектив строит изображение дифракционной картины в задней фокальной плоскости. Оказывается, что эта дифракционная картина представляет спектр функции S (x), то есть распределение энергии в процессе, описываемом функцией S (x) (в нашем примере это линейная функция), по частотам. Окно в пластинке должно быть достаточно малым, чтобы возникала заметная дифракция. Дифракционная картинка наблюдается в микроскоп.

Функция, описывающая дифракционную картинку, и соответственно спектр процесса, находится интегральным преобразованием Фурье.

Преобразование Фурье дает представление о двух сторонах одной и той же сущности и в этом смысле имеет определенное философское значение. Единый физический процесс, например, изменение солнечной активности, может быть выражен математически двумя способами: в виде функции изменения процесса во времени и в виде функции изменения (распределения) процесса по частотам. Любые изменения процесса адекватно отразятся и в той и в другой области – и во временной, и в спектральной (частотной).

По существующей гипотезе вся информация о Вселенной, записана в так называемом информационном поле. Эта информация организована не посредством параметров пространства и времени (в нашем примере как функция S(x)), а в виде преобразования Фурье этой пространственно – временной функции, то есть в форме спектра. Человеческое сознание, если оно проникает в информационное поле, производит обратное преобразование Фурье, чтобы представить информацию в привычной форме. На этом принципе основана голографическая модель информационного поля Вселенной, на которой мы остановимся в последнем разделе книги.

ГЛАВА 4. ТЕРМОДИНАМИКА

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 141516 17 18 19 Следующая ⇒