Математическая модель ММГ RR-типа

Рассмотрим теперь математическую модель микромеханического вибрационного гироскопа RR-типа с карданным подвесом. Учтем при этом особенности пондеромоторных взаимодействий в гироскопе.

В первом приближении его система уравнений имеет следующий вид:

 

МДМ

(5.93)

 

,

 

где и углы поворота соответственно внутренней и внешних рамок вокруг их осей подвеса; A₁, B₁, C₁- главные моменты инерции внешней рамки соответственно относительно связанных с ней осей X₁, Y₁, Z₁ (при =0 трехгранник X₁Y₁Z₁ совпадает с трехгранником основания X₀Y₀Z₀, указанным на рис.5.33); A_2, B_2, C₂ - главные моменты инерции внутренней рамки относительно соответственно связанных с ней осей X₂, Y₂, Z₂ (при =0, =0 трехгранник X₂Y₂Z₂ совпадает с трехгранником основания X₀Y₀Z₀); b_{b ,} b_g - коэффициенты демпфирования соответственно вокруг осей внешней и внутренней рамок; G_b, G_g - угловые жесткости по осям внешней и внутренней рамок соответственно; w_x0, w_y0, w_z0 – проекции угловой скорости основания на связанные с ним оси X₀, Y₀, Z₀ (w_y0 – измеряемая компонента угловой скорости);

- проекции угловых ускорений основания на связанные с ним оси X₀, Y₀, Z₀; М_Д=M₀× cos wt – момент, развиваемый электростатическим вибрационным гиродвигателем системы возбуждения относительно оси внутренней рамки; M_ДM - момент, развиваемый электростатическим датчиком момента относительно оси внешней рамки. В первом уравнении системы (5.93) гироскопический момент является информационным; выходная координата – угол β.

Для съема информации о перемещениях внутренней и внешней рамок по углам g и b применяется емкостная система съема. ММГ работает в режиме обратной связи по моменту, реализуемой с помощью электростатического датчика момента. Электростатические гиродвигатель и датчик момента, а также емкостные датчики перемещений рамок создают пондеромоторные моменты, воздействующие на рамки подвеса, вносят отрицательные жесткости и демпфирование в колебательную систему рамок ММГ, изменяя при этом параметры подвеса. Соответствующие электроды этих элементов конструкции обозначены на рис. 5.44. Соотношения, определяющие совокупные параметры жесткости и демпфирования, фигурирующие в системе уравнений (7.70), в первом приближении имеют следующий вид:

 

Gγ Д

Gγ ДП

Gβ ДМ

Gβ ДП

Gγ Д;

Gγ ДП

Gβ ДМ

Gβ ДП

bγ Д

bγ ДП

bβ ДМ

bβ ДП

bγ Д;

bγ ДП

bβ ДМ

bβ ДП

(5.94)

где: b_bm –коэффициент демпфирования механической природы вокруг оси внешней рамки; b_bДП - коэффициент демпфирования, вносимый емкостным датчиком положения ДП внешней рамки; b_bДМ - коэффициент демпфирования, вносимый электростатическим датчиком момента вокруг оси внешней рамки; b_gm - коэффициент демпфирования механической природы вокруг оси внутренней рамки; b_gДП - коэффициент демпфирования, вносимый емкостным датчиком положения внутренней рамки; b_gД - коэффициент демпфирования, вносимый электростатическим гиродвигателем вокруг оси внутренней рамки; G_bm – механическая жесткость на кручение вокруг оси внешней рамки; G_bДП – отрицательная жесткость вокруг оси внешней рамки, вносимая емкостным датчиком ее положения; G_bДM – отрицательная жесткость вокруг оси внешней рамки, вносимая электростатическим датчиком момента; G_gm – механическая жесткость на кручение вокруг оси внутренней рамки; G_gДП – отрицательная жесткость вокруг оси внутренней рамки, вносимая емкостным датчиком ее положения; G_gД – отрицательная жесткость вокруг оси внутренней рамки, вносимая электростатическим гиродвигателем; U₀ , U₀₁ , U₀₂ , U₀₃ – опорные напряжения на электродах С₀, С₀₁, С₀₂, С₀₃ соответственно датчика положения внешней рамки, датчика момента внешней рамки, датчика положения внутренней рамки, гиродвигателя (рис.5.44); DU_01, DU₀₃ – управляющие напряжения на электродах соответственно датчика момента внешней рамки и гиродвигателя внутренней рамки; R – входное активное сопротивление усилителей датчиков положения внутренней и внешней рамок; d₀ – номинальная величина зазора между электродами и рамками подвеса; r₀ , r₀₁ - расстояния от оси внешней рамки до середин соответственно электродов датчика ее положения и датчика момента; r₀₂ , r₀₃ – расстояния от оси внутренней рамки до середин соответственно электродов датчика ее положения и гиродвигателя.

Моменты, развиваемые датчиком момента внешней рамки и гиродвигателем внутренней рамки, определяются следующими соотношениями:

МДМ

МД

(5.95).

Масштабные коэффициенты емкостных датчиков угловых положений внешней и внутренней рамок (для случая запитывания датчиков постоянными напряжениями U₀, U₀₂) таковы:

(5.96)

где K_bA, K _{g A}. – коэффициенты усиления усилителей датчиков положения соответственно внешней и внутренней рамок.

Управляющее напряжение DU₀₁ на электродах датчика момента формируется следующим образом (для варианта компенсации гироскопического момента гармоническим сигналом):

DU₀₁=K W_ф(s)K_bAb,

где K– коэффициент усилителя мощности; W_ф(s)=(T₁s+1)/(T₂s+1) – передаточная функция корректирующего звена.

На практике в системе уравнений (5.93), описывающих движение гироскопа, можно пренебречь:

- динамическими жесткостями вокруг осей соответственно внешней и внутренней рамок

- перекрестными позиционными моментами вокруг осей соответственно внешней и внутренней рамок:

- аддитивными инерционными моментами вокруг осей соответственно внешней и внутренней рамок:

Эти упрощения возможны по следующим причинам. Как показывают оценки, в диапазоне максимальных угловых скоростей основания порядка 10 рад/c, при типовых угловых скоростях колебаний рамок порядка 30 рад/c и их моментах инерции порядка 5 10^-11кгм² динамическая жесткость примерно на 6 порядков меньше механической жесткости подвеса, составляющей величину порядка 10^-2нм/рад. Перекрестный позиционный момент вокруг оси внешней рамки при тех же условиях и при достаточно большой величине углового ускорения порядка 100 рад/c² сравним с полезным гироскопическим моментом, порождаемым сравнительно малой угловой скоростью - порядка 1, 7 10^-5 рад/c, что также позволяет пренебречь этим позиционным моментом. Перекрестный позиционный момент вокруг оси внутренней рамки примерно на два-три порядка меньше момента, развиваемого гиродвигателем (M _Д »10^-7нм). Аддитивный инерционный момент вокруг оси внешней рамки для указанных выше угловых скоростей и ускорений основания эквивалентен по величине полезному гироскопическому моменту вокруг этой оси, порождаемому измеряемой угловой скоростью w_y0 порядка 1рад/с. Однако, этот аддитивный инерционный момент является квазипостоянным по сравнению с информационным гироскопическим и, поэтому, эффективно фильтруется высокодобротным подвесом внешней рамки, “настроенным” на частоту гироскопического момента. Аддитивный инерционный момент вокруг оси внутренней рамки также является квазипостоянным по отношению к гармоническому моменту гиродвигателя и также хорошо фильтруется высокодобротным подвесом внутренней рамки, при этом величина его примерно на два-три порядка меньше момента, развиваемого гиродвигателем.

Гироскопический момент вокруг оси внутренней рамки (второе уравнение в (5.93)) в режиме работы ММГ в качестве датчика угловой скорости также является возмущающим. При отсутствии обратной связи по моменту вокруг оси внешней рамки (датчик момента не используется) при максимальной измеряемой угловой скорости, например w_y0=10 рад/c, некомпенсированные колебания внешней рамки порождают этот возмущающий гироскопический момент по оси внутренней рамки, сравнимый по величине с моментом гиродвигателя. Использование компенсационного датчика момента позволяет значительно уменьшить величину возмущающего гироскопического момента за счет подавления угловой скорости по координате b; при этом в модели (5.93) указанным моментом можно пренебречь. При измерении малых угловых скоростей в ограниченном диапазоне порядка w_y0=(1-3) рад/c (гироскопический возмущающий момент примерно на два порядка меньше момента гиродвигателя) можно использовать ММГ в режиме прямого преобразования.

С учетом рассмотренных упрощений система уравнений (5.93) приобретает следующий вид:

МДМ;

(5.97)

где С= С₁ +С_2.

Движение внутренней рамки, обеспечиваемое гиродвигателем, в режиме резонанса имеет следующий вид:

, (5.98)

где w₀=w_g0 – собственная частота колебаний внутренней рамки; Q _g =A₂ w_g0/ b_g - добротность внутренней рамки.

Движение внешней рамки под воздействием гироскопического момента

М_г=(А₂ - В₂+С₂) w_y0g^¢ при резонансе в режиме прямого преобразования имеет следующий вид:

, (5.99)

где Q_b = C w_b0/ b_b - добротность внешней рамки; w_b0=w₀ - собственная частота колебаний внешней рамки.

UДУβ

Выходной сигнал U_ДУb ММГ датчика угла (ДУ) внешней рамки определяется соотношением:

(5.100)

Для выделения огибающей, пропорциональной измеряемой угловой скорости w_y0, выходной сигнал U_DУb датчика угла подвергается процедуре синхронного детектирования.

Предыдущая123456789101112Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. Задача линейного программирования, формулировка, математическая модель, алгоритм решения симплексным методом и в Excel. Постоптимизационный анализ решения задачи.
2. Математическая модель в пространстве состояний
3. Математическая модель задачи
4. Математическая обработка измерений. Гаусс
5. Математическая обработка результатов измерений при наличии только случайных ошибок
6. Математическая постановка задачи разработки комплексной системы защиты информации
7. ММГ LL-типа (гироскоп с кольцевым резонатором).
8. Раздел III. Теория вероятностей и математическая статистика.
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА