Уравнение теплопроводности и его формы

 

Уравнение теплопроводности получено феноменологическим путем. Феноменология – наука, которая описывает явления с помощью математического аппарата. Чаще всего для этого описания применяются балансные соотношения, такие как уравнение сохранения энергии, импульса, массы, уравнение состояния.

Уравнение теплопроводности можно считать частным случаем уравнения энергии. В рамках феноменологической теории рассматривается элементарный объем линейным размером dх, в который поступает количество теплоты Q₀, а выходит – Q₁. В этом объеме происходит поглощение части теплоты. За это отвечает удельная теплоемкость с и плотность ρ. Количество теплоты, которое может быть передано, зависит от коэффициента теплопроводности .

+ (1)

 

Это – уравнение теплопроводности в ортотропном теле (коэффициенты теплопроводности различны для трех главных осей: x, y, и z).

Первый член отвечает за аккумуляцию (накопление) теплоты.

Оператор – темп нагрева/охлаждения.

с – удельная теплоемкость Дж/(кг·К);

кг/м³;

С=сρ – объемная теплоемкость, Дж/(м³·К);

В правой части этого уравнения первые три составляющие характеризуют тепловые потоки, которые распределяются по трем главным осям.

Уравнение (1) нелинейное, так как коэффициенты, стоящие перед операторами , , , , зависят от искомой функции Т. Решая задачу, можем найти Т(x, y, z, ), т.е. эволюцию температурного поля. С математической точки зрения это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных.

Последний член уравнения – внутренние источники/стоки теплоты (удельное тепловыделение). Вт/м³; иногда говорят: мощность внутренних источников теплоты.

В инженерных приложениях большое распространение получили одномерные варианты уравнения теплопроводности. Классическая теория теплопроводности хорошо разработана для линеаризованных (линейных) уравнений.

Так, уравнение (1) в одномерном и линейном случае можно записать:

(2)

Как видно, пропала зависимость коэффициента от температуры. Это уравнение с постоянными коэффициентами. Для решения применяются классические методы: преобразования Фурье, Лапласа, разделения переменных.

Однако, на практике, особенно при анализе высокотемпературных процессов, считать коэффициенты постоянными нельзя.

С решением нелинейных уравнений теплопроводности успешно справляются численные методы: метод конечных элементов, граничных элементов, метод конечных разностей.

Для линейных уравнений получены замкнутые зависимости, которые именуются формулами. Для нестационарных многомерных процессов эти формулы имеют громоздкий вид. К тому же, для получения конкретных численных результатов необходимо использовать ЭВМ. По этой же причине в настоящее время предпочтение отдается численным методам, а аналитические зависимости используются для проверки численных решений. В ходе такой проверки нелинейная модель искусственно загрубляется. Вместо температурных зависимостей коэффициентов вводятся их постоянные значения.

Частным случаем уравнения (2) является случай достижения линейного стационарного температурного состояния. Тогда:

; (3)

Если в теле отсутствую внутренние источники теплоты, то:

=0; (4)

Для цилиндрической и сферической стенки уравнение (2) может быть записано следующим образом:

; (2a)

; (2б)

Не трудно увидеть, что отличие от уравнения (2) выражается вторыми членами в скобках.

В случаях, когда толщина стенки R₁–R₂ , , R₂ стенку можно рассматривать как плоскую.

В тонкостенных телах перепад температур по толщине мал; можно считать, что температура изменяется только во времени.

 

Tw2

qw, c

δ

TW1

Рис. 2.2

 

Таким образом, температура на фронтальной поверхности T_w1 равна температуре на тыльной поверхности T_w2: T_w1=T_w2=f( ). Уравнение теплопроводности в этом случае вырождается:

;

Конкретная структура зависит от условий теплообмена, определяется тепловыми нагрузками.

Одним из законов, регулирующих отвод (подвод) теплоты, является закон Стефана-Больцмана: ,

где Вт/(м²·К⁴⁾ – постоянная Стефана-Больцмана, – излучательная способность, степень черноты.

В случае одностороннего подвода теплоты и двустороннего отвода:

;

;

В частном случае нет изменения температуры

= 0 ;

В случае конвективного нагрева . В случае радиационного нагрева усваивается только часть теплоты, которая определяется поглощательной способностью А.

;

;

Температура, которая определяется по этой формуле и предыдущей, называется равновесной (равенство между количеством подведенной и отведенной теплоты).

 

2.1.2. Условия однозначности для решения уравнения
теплопроводности

 

Для однозначного решения уравнения теплопроводности к нему необходимо присоединить начальные, граничные, геометрические и физические условия.

Начальное условие: τ =0, Т = Т₀;

Т₀(x, y, z) – если начальное температурное поле неоднородно: в разных точках различная температура.

Граничные условия в теплофизике принято делить на условия первого, второго, третьего и четвертого рода.

Граничные условия 1 рода

x=0, Т=Т₁₍₂₎(τ );

В частном случае это постоянная температура, не изменяющаяся во времени.

Температура может быть измерена контактными или бесконтактными методами. Либо эта температура может быть увязана с некоторыми хорошо контролируемыми явлениями, такими как: испарение, плавление. Для измерения температуры используются термокраски.

Граничные условия 2 рода

х=0(l);

qw

x

q

Заключается в задании плотности теплового потока, уходящего в стенку(q).

где

x

– градиент температуры в теле;

 

Рис. 2.3

 

Граничные условия 3 рода

Заключаются в задании коэффициента теплоотдачи.

где – коэффициент теплоотдачи (коэффициент теплообмена), – температура окружающей среды (газообразной или жидкой);

f – «flow» - поток;

w – «wall» - стена.

Таким образом, – коэффициент пропорциональности, характеризующий интенсивность передачи теплоты от жидкого или газообразного носителя к твердому телу. Величина всегда положительна. Если стенка горячее, чем жидкая или газообразная среда, то характеризует остывание, в противном случае – нагревание.

– нагревание;

– остывание.

Граничные условия 4 рода

Задание равенства тепловых потоков на границе двух тел

;

;

;

Иногда такую форму записи именуют условием идеального теплового контакта.

 

Ti+1

i+1

i Ti

На границе двух тел нет скачка температур.

 

 

Рис. 2.4

 

В некоторых случаях граничное условие 4 рода может быть усложнено, в частности при возникновении физико-химических превращений на границе, при возникновении тонких нерегулярных прослоек. В этих случаях в уравнение добавляются дополнительные члены, описывающие возникающие физические явления.

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Gigabit Ethernet на витой паре категории 5
2. I. He могли узы смерти удержать Господа нашего.
3. I. Въезд патриарха в столицу. – Остановка и пребывание его в монастыре св. Афанасия и Кирилла в Кремле. – Возвращение патриарха Никона. – Въезд царя.
4. I. Его руки подняты для благословения.
5. I. Прочитайте текст и переведите его письменно.
6. I. Смотрите на Него, приготовляющего для Себя престол.
7. I. Устранитесь от ошибочных представлений о покаянии в грехе и печали по его поводу.
8. I. ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕКУЩЕГО СОСТОЯНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ СФЕРЫ КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВА
9. I. Что было хорошего в прежние времена?
10. II. Перепишите предложения. Подчеркните в них причастный оборот. Укажите формы причастий. Предложения переведите.
11. II. ФОРМЫ ПРЕДПРИЯТИЙ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА
12. III. Дождь идет там, где его меньше всего ожидают.