Методические материалы к выполнению курсовых работ по курсу «Основы САПР»

Пример решения двухмерного уравнения Пуассона

 

∂ ²u/ ∂ x² +∂ ²u/ ∂ y² = f (x, y), (3.9)

где х, y – координаты; u(x, y) – искомая функция; f (x, y) – некоторая непрерывная

функция, определяемая выражением

f (x, y)=exp(-x)+ exp(-y), (3.10)

на прямоугольной области с граничными условиями

u (x_min, y ) = sin(y ²); (3.11)

u (x_max, y) = cos(3y ); (3.12)

du/dy| _{x, y1} =10sin(x²); (3.13)

du/dy| _{x, ym} =10sin(6x). (3.14)

Для решения дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных элементов в системе MATLAB воспользуемся приложением pdetool.

Запуск приложения осуществляется командой

pdetool.

При этом на экране монитора отображается главное окно приложения (рис. 3.18).

 

 

Рис. 3.18. Главное окно приложения pdetool

Для задания прямоугольной области решения необходимо активизировать

с помощью «мыши» кнопку с символом 􀀀, после чего навести курсор «мыши» на рабочее поле редактора, нажать левую кнопку «мыши» в левом верхнем углу (0, 1) задаваемой прямоугольной области, переместить курсор в правый нижний угол (1, -1) области, удерживая левую кнопку, после чего отпустить ее. Прямоугольная область будет зафиксирована (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Задание прямоугольной области решения задачи в pdetool

При необходимости корректировки координат и размеров области нужно

навести курсор «мыши» на изображение прямоугольника и дважды щелкнуть

левой кнопкой. На экране появится окно редактирования параметров области

с соответствующими полями (рис. 3.20). В первом и втором полях отображаются координаты левой нижней точки прямоугольника по осям х и y соответственно. В третьем поле – ширина прямоугольника, в четвертом – высота, в пятом – условное обозначение. Области решения произвольной формы могут быть заданы аналогичным образом с использованием кнопок, имеющих изображения прямоугольников, эллипсов и полигона. При этом результирующая область может быть определена как объединение или разность нескольких областей простой формы.

Для этого в поле Set formula указываются условные обозначения областей,

связанные знаком « + » в случае объединения или знаком « ~ » в случае разности (см. рис. 3.19).

 

 

Рис. 2.20. Окно редактирования параметров прямоугольной области

решения задачи в приложении pdetool

Для задания граничных условий необходимо активизировать манипулятором «мышь» кнопку с символом ∂ Ω, в результате чего окно приложения примет вид, показанный на рис. 3.21.

 

Рис. 3.21. Задание граничных условий в приложении pdetool

 

Все границы области показаны линиями со стрелками, причем по умолчанию на них заданы условия Дирихле (красные линии на экране). Для редактирования граничных условий необходимо дважды щелкнуть левой кнопкой «мыши» на выбранной границе и внести соответствующие изменения в полях окна редактирования граничных условий (рис. 3.22).

 

Рис. 3.22. Задание граничных условий на левой границе

Для редактирования вида дифференциального уравнения и ввода его

функций и коэффициентов необходимо активизировать манипулятором

«мышь» кнопку с символами PDE, после чего внести соответствующие изменения в полях окна редактирования, показанного на рис. 3.23

 

 

Рис. 3.23. Задание граничных условий на правой границе

 

 

Рис. 3.24. Задание граничных условий на нижней границе

 

 

 

Рис. 3.25. Задание граничных условий на верхней границе

 

 

Рис. 3.26. Окно редактирования уравнения задачи в приложении pdetool

Формирование триангулярной сетки с использованием метода Делоне

осуществляется за счет активизации кнопки с символом Δ (рис. 2.27). При необходимости увеличения числа узлов сетки следует активизировать кнопку (рис. 3.28).

 

 

Рис. 3.27. Генерация триангулярной сетки с использованием метода Делонев приложении pdetool

 

Рис. 3.28. Увеличение числа элементов сетки в приложении pdetool

Решение задачи осуществляется при активизации кнопки с символом

« = ». По умолчанию значения функции решения выделяются различными

цветами (рис. 3.29). Для графического вывода решения задачи в виде трехмерного (3D) изображения следует активизировать кнопку , после чего в появившемся окне редактирования параметров изображения внести в соответствующие поля данные, как показано на рис. 3.30.

При активизации кнопки Plot на экран будет выведен график, показанный

на рис. 3.31.

 

 

Рис. 3.29. Решение уравнения Пуассона в приложении pdetool

 

 

Рис. 3.30. Окно редактирования параметров графического представления

решения в приложении pdetool

Рис. 3.31. Представление решения уравнения Пуассона в виде 3D-изображени

 

6. Пример решения уравнений параболического типа

. В качестве примера решения уравнений параболического типа рассмотрим нестационарное уравнение теплопроводности

ρ (x, y)C(x, y)∂ T/∂ t–Δ (k(x, y)∙ Δ T)=f (x, y), (3.15)

где t – время; х, y – координаты; T(x, y) – искомая функция распределения абсолютной температуры по координатам; ρ (x, y) – плотность вещества; С(x, y) – удельная теплоемкость вещества; k(x, y) – коэффициент теплопроводности вещества; f(x, y) – плотность мощности источников тепла, на прямоугольной области с граничными условиями Дирихле или Неймана на границах x = x_min,

x = x_max, y = y_min, y = y_max и начальными условиями первого или второго рода на отрезке времени [t_min, t_max].

Зададим на отрезке [x_min, x_max] равномерную координатную сетку с шагом Δ х:

X = {x_i|i=1, 2, …, n}, (3.16)

на отрезке [y_min, y_max] равномерную координатную сетку с шагом Δ y:

Начальные условия первого рода для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде

T (x, y, t1)=g_t(x, y ), (3.17)

где t₁– начальный момент времени; g_t(x, y) – некоторая непрерывная функция соответствующих координат.

Начальные условия второго рода для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде

T/∂ t |x, y, t₁ = g_t (x, y). (3.18)

Проводя дискретизацию граничных условий Дирихле на равномерной сетке с использованием метода конечных разностей, получим

T₁, j, l =g₁(y_j ); (3.19)

Tn, j, l =g₂(y_j ); (3.20)

Ti, 1, l =g₃(x_i); (3.21)

Ti, m, l =g₄(x_i), (3.22)

где T_{1, j, l}, T_{n, j, l}, T_{i, 1, l}, T_{i, m, l}– значения функции T(x, y, t) в точках (x₁, y_j, t_l), (x_n, y_j, t_l), (x_i, y₁, t_l), (x_i, y_m, t_l), соответственно.

Таким образом, в результате дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений размерности n⋅ m⋅ s.

Ниже приведены результаты одного из вариантов численного решения уравнения (3.15) с граничными условиями (3.19) – (3.22) и начальными условиями (3.17) или (3.18) на равномерной сетке без комментариев.

Не приводя здесь код программы, отметим, что её описание необходимо сохранять в виде текстового файла с именем termo_2d.m и помещать его в каталог /WORK, находящийся в корневом каталоге системы MATLAB.

Вызов функции termo_2d может осуществляться следующими командами:

termo_2d;

x=termo_2d;

[x, y]=termo_2d;

[x, y, t]=termo_2d;

[x, y, t, T]=termo_2d(t0, ts, s, x0, xn, n, y0, ym, m, r, c, k, f, ...

vt, gt1, v1, g1, v2, g2, v3, g3, v4, g4).

При использовании первой, второй, третьей или четвертой команд функция будет выводить графически решение задачи при входных параметрах, принятых по умолчанию. На рис. 3.32. показано Окно приложения i_termo в процессе вывода результатов

 

 

 

Рис. 3.32. Окно приложения i_termo в процессе вывода результатов

 

Графики распределений температуры по координатам в различные моменты времени будут выводиться в отдельных окнах. После вывода всех графиков в новом окне будет показано изменение температуры во всех точках координатной сетки в динамическом режиме (movie).

Правила вывода информации при вызове функции termo_2d аналогичны соответствующим правилам для функции puass_2d.

Пусть необходимо решить задачу о нестационарном распределении температуры в медном стержне прямоугольного профиля длиной 20 см, шириной 1 см (плотность 8900 кг/м³, удельная теплоемкость 380 Дж/(кг⋅ К), коэффициент теплопроводности 385 Вт/(м⋅ К))на промежутке времени 10 с при условии отсутствия источников и стоков тепла в объеме стержня, если температура на концах стержня равна 300 К и тепловой поток через боковые границы равен нулю для начального распределения температуры, показанного на рис. 3.33.

 

 

 

 

 

Рис. 3.33. Распределение температуры по координатам в различные моменты времени: а) t = 0; б) t = 1 с; в) t = 2 с; г) t = 3 с; д) t = 4 с; е) t = 5 с.

 

Пример решения уравнения теплопроводности.

Используя метод сеток, решим уравнение теплопроводности при заданных начальных условиях: u(x; 0)=3x(1-x)+0.12;

u(0; t)=2(t+0.06); u(0.6; t)=0.84,

где х [0; 0.6].

Решение будем находить при h=0, 1 для t [0; 0.01] c четырьмя десятичными знаками, считая .

Решение:

1. В командном окне программы МАТLAB наберем следующую последовательность операторов:

> > h=0.1; s=1/6;

> > k=h^2*s

k =0.0017

> > Nx=0.6/h+1 % число узлов координатной сетки

Nx =7.0000

> > Nt=0.01/k+1 % число шагов по времени

Nt = 7.0000

> > for i=1: Nx+1 % задание пространственно-временной сетки

x(i)=(i-1)*h;

end;

> > x

x = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000

> > for i=1: Nt+1

t(i)=(i-1)*k;

end;

> > t

t = 0 0.0017 0.0033 0.0050 0.0067 0.0083 0.0100

% задание начальных и граничных условий

> > for i=1: Nx+1

tab (1, i) = (3*x(i)*(1-x(i)))+0.12;

end;

> > for j=1: Nt+1

tab (j, 1)=2*(t(j)+0.06);

tab (j, 7)=0.84;

end;

% матрица краевых условий

> > tab

tab =0.1200 0.3900 0.6000 0.7500 0.8400 0.8700 0.8400

0.1233 0 0 0 0 0 0.8400

0.1267 0 0 0 0 0 0.8400

0.1300 0 0 0 0 0 0.8400

0.1333 0 0 0 0 0 0.8400

0.1367 0 0 0 0 0 0.8400

0.1400 0 0 0 0 0 0.8400

% заполнение оставшейся части матрицы

> > for j=2: Nt+1

for i=2: Nx

tab(j, i)=1/6*(tab(j-1, i-1)+4*tab(j-1, i)+tab(j-1, i+1));

end;

end;

> > tab

tab =0.1200 0.3900 0.6000 0.7500 0.8400 0.8700 0.8400

0.1233 0.3800 0.5900 0.7400 0.8300 0.8600 0.8400

0.1267 0.3722 0.5800 0.7300 0.8200 0.8517 0.8400

0.1300 0.3659 0.5704 0.7200 0.8103 0.8444 0.8400

0.1333 0.3607 0.5612 0.7101 0.8009 0.8380 0.8400

0.1367 0.3562 0.5526 0.7004 0.7920 0.8322 0.8400

0.1400 0.3524 0.5445 0.6911 0.7834 0.8268 0.8400

% визуализация численного решения (рис 3.30)

> > surf(tab)

 

Т К

Y

X

Рис. 3.34. Графическое решение уравнения теплопроводности

 

8. Пример решения уравнений гипербо­лического вида

В этом примере рассмотрим расчет колебании тонкой пластины квадратной формы (рис. 3.13), описываемые обобщенным гипербо­лическим уравнением вида

Будем считать, что пластина жестко закреп­лена на левой и правой границах - u = 0, а два дру­гих ее края свободны - дu/дп = 0.

Расчет с помощью PDETool будем проводить в следующем порядке. Вначале установим вид рас­чета " Generic Scalar" в окне " Application" (этот режим выбран по умолчанию).

Начертим изображение пластины в графическом окне PDETool таким образом, чтобы ее центр совпал с началом координат (x = 0, у = 0) и стороны были равны, а = b = 2, где а - размер по оси x, b-размер по оси y (см. рис. 3.13).

 

 

Рис. 3.13. Модель пластины

Будем задавать граничное условие Дирихле и = 0 на левой и правой сторонах. На двух других сторонах примем условие Неймана дu/дп = 0.

Укажем, что задача описывается уравнением гиперболического типа, и введем соответствующие коэффициенты с = 1, а = 0, f = 0. d = 1 (рис. 3.13).

Рис. 3.14. Ввод параметров дифференциального уравнения

Зададим параметры решения и начальные условия - исходную деформацию пластины при t = 0:

Для этого воспользуемся диалоговым окном " Solve Parameters", которое можно открыть, выбрав пункты меню Solve—> Parameters... (рис. 3.15).

Рис. 3.15. Ввод параметров решения

 

Вначале выберем шаг, и верхний предел решения по времени. Для па­раметра Time введем строку " 0: 0.1: 10". Таким образом, расчет будет выпол­няться по времени в пределах; = 0...10 с шагом t=0, 1.

Начальные условия также запи­сываются с учетом особенностей язы­ка пакета MATLAB.

Начальная деформация указыва­ется строкой

" atan(cos(pi*x/2))",

а первая производная

" 3*sin(pi*x).*exp(sin(pi*y/2))".

Относительную и абсолютную погрешность примем равными 0, 01 и 0, 001. сохранив установленные по умолчанию значения.

Сформируем сетку и настроим графические параметры решения с по­мощью диалогового окна " Plot Selec­tion" (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Параметры анимации

Завершающий этап - запуск решения задачи. После окончания вычис­лений в графическом окне интерфейса PDETool отображается деформация пластины в момент времени t = 10, а в дополнительном окне - анимация ко­лебаний пластины (рис. 3.17).

Рис. 3.17. Анимация решения гиперболического уравнения

 

 

Объекты исследования.

1. Поплавковые инерциальные датчики: с цилиндрическим подвесом; со сферическим подвесом.

2. Роторные вибрационные динамически настраиваемые инерциальные датчики.

3. Электростатические сферические инерциальные датчики в вариантах:

гировертикали и гироскопа направления.

4. Волновые твердотельные инерциальные датчики.

5. Микромеханические инерциальные датчики в вариантах: камертонный микромеханический гироскоп; микромеханический гироскоп с кардановым подвесом чувствительного элемента; микромеханический гироскоп с дополнительной рамкой и поступательным движением чувствительного элемента.

6. Волоконно-оптические инерциальные датчики.

7. Лазерные инерциальные датчики.

Содержание курсовой работы.

1. Формулировка задания и краткая теория исследуемого инерциального датчика.

2. Принципиальная и (или) кинематическая схемы инерциального датчика.

3. Математические модели идеальной работы и модели погрешностей инерциального датчика.

4. Анимация принципа действия инерциального датчика.

5. Создание и описание пользовательского графического интерфейса в Matlab и методики исследований.

6. Моделирование поведения (свободных и вынужденных движений) инерциального датчика в среде Simulink с визуализацией.

7. Анализ динамических и частотных характеристик в ППП Control System Toolbox пакета Matlab с визуализацией.

8. Задачи исследования с окном приложения i_termo в процессе вывода результатов исследования:

8.1. Исследование конвективных потоков уводящих моментов в цилиндрическом зазоре поплавкового гироскопического датчика; определение демпфирующих моментов в цилиндрическом и сферическом зазоре поплавковых гироскопических датчиков.

8.2. Расчет, анализ и визуализация трехмерных неоднородных температурных полей роторного вибрационного гироскопического датчика.

8.3. Исследование температурных погрешностей электростатического сферического инерциального датчика.

8.4. Исследование процесса распространения тепла в полусферическом резонаторе ВТГ; исследование температурных деформаций полусферического резонатора ВТГ.

8.5. Определение температурных погрешностей микромеханического инерциального датчика в вариантах: камертонный микромеханический гироскоп; микромеханический гироскоп с кардановым подвесом чувствительного элемента; микромеханический гироскоп с дополнительной рамкой и поступательным движением чувствительного элемента.

8.6. Оценка теплового дрейфа, обусловленного термически индуцированной невзаимностью в волоконном контуре волоконно-оптического инерциального датчика.

8.7. Исследование погрешностей лазерного инерциального датчика.

Упругим подвесом ротора

Схема этого прецессионного ДНГ, работающего в режиме измерения угловых скоростей, представлена на рис. 5.4.

На основании 1 установлен приводной двигатель 2, на валу 3 которого с помощью внутреннего упругого карданного подвеса укреплен ротор 4. Карданный подвес составлен идентичными кольцами 5, 6, параллельно соединенными с валом и ротором упругими элементами 7, 8, 9, 10. При этом кольцо 5 соединено с валом упругим элементом 7, а с ротором – элементом 8; кольцо 6 соединено с валом упругим элементом 9, а с ротором - элементом 10. С основанием связана система координат (начало - в точке пересечения осей вала и упругих элементов, ось - ось вращения вала); с ротором связана система координат (оси расположены в экваториальной плоскости ротора и направлены по осям закрутки упругих элементов 10 и 8 соответственно). Поворот ротора относительно вала вокруг оси на малый угол осуществляется при закрутке упругих элементов 10 и 7, а поворот ротора на малый угол вокруг оси - при закрутке упругих элементов 8 и 9. При этом жесткость на изгиб упругих элементов не бесконечно велика, поскольку в силу особенностей кинематики схемы при одновременном движении ротора по углам и имеет место угол поворота ротора вокруг оси и, следовательно, изгиб упругих элементов в плоскости [5.5]. На рисунке 5.4 обозначены измерительные преобразователи 11, 12, осуществляющие измерение углов и поворота ротора относительно основания соответственно вокруг осей и , а также преобразователи моментов 13, 14, обеспечивающие формирование перекрестных компенсационных моментов, воздействующих на ротор соответственно вокруг осей и . Измерительные преобразователи 11, 12 осуществляют управление преобразователями 13, 14 соответственно через блоки усиления и обработки информации 15, 16. Управляющие напряжения преобразователей моментов, являющиеся выходными напряжениями ДНГ-ДУС, обозначены .

Рассмотрим качественную картину измерения ДНГ-ДУС компонент угловой скорости основания. Будем полагать, что плоскость ротора является плоскостью динамической симметрии, и для его экваториальных главных моментов инерции справедливо соотношение . Будем полагать также, что кольца подвеса также динамически симметричны и имеет место равенство их экваториальных главных моментов инерции Ј_xk=Ј_zk. Тогда, опуская возмущающие моменты, приложенные к ротору, пренебрегая в силу малости влиянием компоненты угловой скорости вращения основания (рис. 5.4), а также изгибными деформациями упругих элементов, и учитывая малость углов и поворота ротора относительно основания, линеаризованную модель движения ротора по углам и можно представить в следующем виде [5.5]:

 

(Ј_x+Ј_xk )γ ^״ -(Ј_y+2Ј_xk)Ω δ ^׳ +kγ ^׳ +(c-(2Ј_xk-Ј_yk)Ω ²)γ -kΩ δ =

(Ј_y+Ј_yk)Ω ω _ζ -(Ј_x+Ј_xk)ω ^׳ _ζ +Μ _ДМζ +Μ _Вζ ; (5.16)

(Ј_x+Ј_xk )δ ^״ +(Ј_y+2Ј_xk )Ω γ ^׳ + kδ ^׳ + (c-(2Ј_xk-Ј_yk )Ω ²)δ -kΩ γ =

-(Ј_y+Ј_yk )Ω ω _ζ -(Ј_x+Ј_xk )ω ^׳ _ζ +Μ _ДМζ +Μ _Вζ ,

 

где - угловая скорость вращения вала приводного двигателя; Ј_y, Ј_yk - осевые моменты инерции ротора и колец; k, c - приведенные коэффициенты момента сил вязкого трении и угловой жесткости упругих элементов на кручение; и - компенсационные и возмущающие моменты, воздействующие на ротор вокруг осей соответственно.

(5.17)

где - коэффициент усиления и передаточная функция компенсационного канала.

Отличительной особенностью уравнений (5.16) по сравнению с уравнениями (5.6) является отсутствие в правой части (5.16) гармонических членов на частоте , что определяется свойствами этого гироскопа как прецессионного гироскопа. Позиционные моменты в левой части (5.16) могут быть устранены при выполнении условия динамической настройки:

c-(2Ј_xk-Ј_yk)Ω ²=0 (5.18)

Физическая суть этого условия заключается в компенсации приложенных к ротору моментов сил упругости и , создаваемых упругими элементами, соответствующими динамическими моментами сил инерции (2Ј_xk-Ј_yk)Ω ²γ и (2Ј_xk-Ј_yk)Ω ²δ , развиваемыми кольцами подвеса ротора. При этом гироскоп становится практически свободным. Рассмотрим этот вопрос более подробно на частном примере.

Будем полагать, что основание, на котором установлен гироскоп, не вращается (ω _ξ =ω _ζ =0), а возмущающие и компенсационные моменты отсутствуют (Μ _Вξ =Μ _Вζ =0, Μ _ДМξ =Μ _ДМζ =0). Будем полагать также, что отсутствует угол поворота ротора относительно основания вокруг оси О_ξ на угол δ (δ =0), а угол поворота вокруг оси О_ξ равен γ. На рисунке 5.5 представлена соответствующая рисунку 5.4 схема ротора ДНГ с двумя кольцами (рамками) подвеса и соединяющими их упругими элементами.

По аналогии с (5.1) имеет место соотношение:

α -jβ =(γ -jδ )e^{-jΩ t}.

Отсюда, при δ =0 получим

α =γ cosΩ t, β =γ sinΩ t, (5.19)

где α и β – углы поворота ротора вокруг осей торсионов.

Определим сначала проекции на оси О_ξ и О_ς моментов сил упругости М_упрξ , М_упрζ , приложенных к ротору со стороны упругих элементов. Проекции этих моментов на оси x и z таковы (рис.5.5)

М_упрx=-cα, М_упрz=-cβ. (5.20)

Соответственно проекции моментов сил упругости на оси О_ξ и О_ζ имеют вид:

М_упрξ =-cα cosΩ t-cβ sinΩ t,

М_упрζ =cα sinΩ t-cβ cosΩ t. (5.21)

Подставляя в (5.21) соотношения (5.19), получим

М_упрξ =cγ, М_упрζ =0 (5.22)

Таким образом, дискретные упругие элементы вращающегося внутреннего карданного подвеса создают такой же М_упрξ , как если бы ротор был связан с валом сплошной упругой мембраной.

Определим теперь проекции на оси О_ξ и О_ζ моментов сил инерции М_инξ , М_инζ , приложенных к ротору со стороны колец 5, 6 через связи-упругие элементы. Со стороны кольца 5 на ротор могут передаваться моменты сил инерции только по оси Ox потому, что моменты, направленные по оси Oz, парируются моментами реакции в элементах 7 (см. рис.5.4), соединяющих это кольцо с валом и обладающих практически бесконечной жесткостью на изгиб вокруг оси Oz.

Аналогично со стороны кольца 6 на ротор могут передаваться моменты сил инерции только по оси Oz.

На рисунке 5.5 с учетом малости углов α , β обозначены: Ј_xkα ״ и Ј_xkβ ״ – моменты сил инерции, порождаемые угловыми ускорениями колец и приложенные к ротору по осям Ox и Oz соответственно; Ω α и Ω β – проекции угловой скорости вращения вала Ω на оси Oz и Ox соответственно; Ј_xkΩ β и Ј_xkΩ α - компоненты моментов количества движения колец по осям x и z за счет Ω β и Ω α. С учетом наличия у каждого из колец моментов количества движения также и по оси Oy, равного Ј_ykΩ, на рисунке 5.5 обозначены гироскопические моменты по оси Ox - Ј_xkΩ ²α, порождаемый Ј_xkΩ α иΩ , и Ј_ykΩ ²α, порождаемый Ј_ykΩ и Ω α, а также гироскопические моменты по оси Oz - Ј_xkΩ ²β, порождаемый Ј_xkΩ β и Ω, и Ј_ykΩ ²β, порождаемый Ј_ykΩ и Ω β.

Суммарные моменты сил инерции Минx и Минz, приложенные к ротору таковы:

М_инx= Ј_xkΩ ²α ­ Ј_ykΩ ²α ­ Ј_xkα ״ , (5.23)

М_инz= Ј_xkΩ ²β ­ Ј_ykΩ ²β ­ Ј_xkβ ״ .

Учетом (5.19) при условии постоянства угла γ, что в значительной мере справедливо для практически свободного гироскопа. (5.23) принимает вид:

М_инx= (2Ј_xk ­ Ј_yk)Ω ²γ cosΩ t, (5.24)

М_инz= (2Ј_xk ­ Ј_yk)Ω ²γ sinΩ t.

Проекции М_инξ , М_инζ моментов сил инерции, приложенных к ротору:

М_инξ = М_инxcosΩ t+ М_инzsinΩ t, (5.25)

М_{инζ =} М_инzcosΩ t ­ М_инxsinΩ t.

Из (5.25) с учетом (5.24) получим:

М_инξ =(2Ј_xk ­ Ј_yk)Ω ²γ, М_{инζ =}0 (5.26)

Как следует из (5.26), моменты сил инерции колец подвеса, приложенные к ротору ДНГ, имеют характер позиционных моментов. Условие отсутствия упругой связи ротора с основанием – условие равенства нулю суммы моментов сил упругости (5.22) и моментов сил инерции (5.26). Оно имеет вид:

c­(2Ј_xk ­ Ј_yk)Ω ²γ =0 (5.27)

и совпадает с условием динамической настройки (5.18).

Полагая, что выбором вида и параметров передаточной функции обеспечивается необходимое динамическое качество ДНГ как измерителя угловой скорости, из (5.16) с учетом (5.17), (5.18) и малости Ј_yk по сравнению с Ј_y (Ј_yk< < Ј_y) при квазипостоянных в установившемся режиме для получим:

(5.28)

где - кинетический момент гироскопа.

Тогда, имея ввиду, что K₀> > kΩ , для выходных сигналов ДНГ-ДУС имеем:

(5.29)

где - коэффициент передачи преобразователя моментов по напряжению.

Укажем теперь основные источники погрешностей ДНГ-ДУС [5.5, 5.6]. Из (5.16) непосредственно следует, что основные методические погрешности гироскопа определяются диссипативными моментами и , а также моментами сил инерции (Ј_x+Ј_xk)ω ^׳ _ζ , (Ј_x+Ј_xk)ω ^׳ _ζ , порождаемыми ускоренным вращением основания.

Инструментальные погрешности гироскопа, которые порождают смещение его нуля (дрейф) и нестабильность масштабного коэффициента, определяются динамической расстройкой (нарушение условия (5.18)) и возмущающими моментами и . Основными причинами динамической расстройки являются нестабильность , температурные и временные нестабильности угловой жесткости упругих элементов, температурные вариации моментов инерции колец Ј_xk, Ј_yk. Структуру возмущающих моментов , упрощенно можно представить следующим образом:

(5.30)

где n_ξ , n_η , n_ζ - компоненты перегрузок по осям основания ; М⁰_ξ , М⁰_ζ - моменты, не зависящие от перегрузок; - удельные, отнесенные к единице перегрузки, весовые коэффициенты моментов, пропорциональных первой степени перегрузки и нормальных к ней; - удельные, отнесенные к единице перегрузки, весовые коэффициенты квадратурных моментов, пропорциональных первой степени перегрузки и коллинеарных ей; - удельные, отнесенные к произведению единичных перегрузок весовые коэффициенты моментов, пропорциональных произведению перегрузок.

Моменты, не зависящие от перегрузки, порождаются пондеромоторными силами воздействия сторонних магнитных полей на ферромагнитные элементы ротора и силами воздействия электрических полей, например, на элементы измерительных преобразователей, силами газодинамической природы, воздействующими на ротор, влиянием привода. Моменты, зависящие от первой степени перегрузки и нормальные к ней, порождаются гравиинерциальными силами при наличии смещения центра масс ротора относительно неподвижной точки подвеса. Квадратурные моменты возникают вследствие технологического несовершенства упругого подвеса, в частности вследствие непересечения его осей; моменты, пропорциональные произведению перегрузок, порождаются неравножесткостью конструкции подвеса ротора в осевом и радиальном направлениях.

Отнесенные к кинетическому моменту гироскопа моменты (5.30) определяют вариант модели дрейфов ДНГ-ДУС. Параметры этой модели в свою очередь зависят от температуры. Вариации температуры относительно номинальной порождают также изменение крутизны измерительных преобразователей углов и, что весьма существенно, крутизны преобразователей моментов.

Высокий уровень метрологических характеристик ДНГ-ДУС можно обеспечить на основе использования этой или других адекватных моделей дрейфов [5.5, 5.6] путем предварительной калибровки и уточнения их параметров в процессе движения объекта [5.5, 5.11].

В таблице 5.1 представлены основные характеристики ряда серийно выпускаемых ДНГ-ДУС [5.7, 5.12, 5.13].

Эффект Саньяка.

Рассмотрим распространение двух встречных электромагнитных волн λ ₁, λ ₂ по замкнутому оптическому контуру (рис.5.6). Волны генерируются источником на контуре, расположенном в точке А. Контур вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр О, с угловой скоростью Ω. После обхода контура в противоположных направлениях волны интерферируют, причем при вращении контура интерференционная картина сдвигается, и величина сдвига пропорциональна скорости вращения.

Этот факт свидетельствует о том, что оптический путь, пройденный волнами по замкнутому контуру - разный; соответственно и времена полного обхода вращающегося контура разные. Определим эти параметры на основе упрощенного кинематического подхода.

Выберем на контуре малый участок BC=dl. Пока волна λ ₁ идет из точки B в точку С эта точка переместится в точку D, причем CD=dx. Перемещение dx, в свою очередь, определяется соотношением:

dx= vτ, (5.31)

где v- окружная линейная скорость участка BC; τ - время движения электромагнитной волны λ по участку BD

v=rΩ, τ =dl/c, (5.32)

где r - расстояние участка BC до центра вращения; c - скорость света. Отсюда

Соотношение(5.33) определяет приращение элементарного оптического пути dl. Приращение же Δ L оптического пути при обходе волной λ ₁ контура (изменение длины периметра) равно сумме приращений на отдельных участках и составляет:

(5.34)

 

где L - оптический путь волны в невращающемся контуре (оптический периметр контура).

Полагая в первом приближении, что произведение rdl равно удвоенной площади ∆ Ѕ треугольника OBC (5.6), а равен соответственно удвоенной площади S, охватываемой оптическим контуром, из (5.34) получим:

Предыдущая123456789101112Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. Cодержательные и организационные особенности построения курса «Основы технологии интеллектуальной адаптации коренных народов северных регионов»
2. I. 49. Основные принципы разработки системы применения удобрений.
3. I. Разработка и принятие Конституции.
4. I. ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТЬ ТЕРМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ПИЩЕВЫХ ПРОДУКТОВ
5. I.8. Работа является поклонением
6. II. 60. Порядок сертификации плодов, овощей и продуктов их переработки.
7. II. Выполнение дипломной работы
8. II. КАК ПИСАТЬ КУРСОВУЮ РАБОТУ
9. II. ПРОЦЕСС ВЫРАБОТКИ: ФОРМИРОВАНИЕ ВЫСШИХ ФОРМ ПОВЕДЕНИЯ БЕЗ ПРИНУЖДЕНИЯ И БОЛИ
10. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ
11. II. Структура и объем курсовой работы
12. II. ТЕКСТЫ ДЛЯ РАБОТЫ НАД ГОЛОСОМ.